高等数学教学课件：w-1-7

1、第七节 函数的连续性,一、函数在一点的连续与间断 二、间断点及其分类 三、连续函数的四则运算 与初等函数的连续性 四、闭区间上连续函数的性质,重点: 连续的定义和性质 难点：连续的性质、间断点类型,一、函数在一点处的连续与间断,1.定义,例1,证,由定义知,例2,证明,见教材P36:例 1.4.5,2. 单侧连续,定理,例3,解,右连续但不左连续,3 .函数的增量,4. 连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,例如,二、间断点及其分类,2.跳跃间断点,定义3,1.可去间断点,例4,解,解,注意

2、可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点,例5,如例5中,例6,解,注意: 第二类间断点是左、右极限有一个不存在的或都不存在的点,例7,解,注意 不要认为函数的间断点只是有限的几个点,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点,仅在 x = 0 处连续, 其余各点处处间断,在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续,判断下列间断点类型,三、连续函数的运算 与初等函数的连续性,定理1,例如,1. 四则运算,2. 反函数与复合函数的连续性,定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数,例如,反三角函数在其定义域内皆连续,定理3,证,将上两步合

3、起来,意义,1.极限符号可以与函数符号互换,例9,解,例10,解,同理可得,定理4,注意定理4是定理3的特殊情况,例如,3. 初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的,定理5 基本初等函数在其定义域内是连续的,均在其定义域内连续,定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的,定义区间是指包含在定义域内的区间,1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续,例如,只在0点有定义，没有定义区间,注意,注意2. 初等函数求极限的方法代入法 , 即,例11,例12,解,解,例13,解,四、闭区间上连续函数的性质,定义,例如,1. 最大值和最小值定理,定理1(最大值和

4、最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,证,2、介值定理,定义,几何解释,几何解释,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值,例14,证,由零点定理,例15,证,由零点定理,例16,分析 首先确定闭区间的的端点，然后再证明函数能取到区间的每一个值,证,说明 该例反映了连续函数得又一性质: 非常数的连续函数将闭区间映为闭区间,练习,提示 利用例2的结论,1.函数在一点连续必须满足的三个条件,3

5、.间断点的分类与判别,2.区间上的连续函数,第一类间断点: 可去型, 跳跃型,第二类间断点: 无穷型, 振荡型,间断点,见下图,五、总结,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,4.连续函数的四则运算与初等函数的连续性,连续函数的和差积商的连续性,复合函数的连续性,初等函数的连续性,定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法,两个定理; 两点意义,反函数的连续性,四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理,注意1闭区间； 2连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法: 先利用最值定理,再利用介值定理,2.辅助函数法: 先作辅助函数F(x),再利用零点定理,5.连续函数在闭区间的性质,作 业,P54: 1, 2(单), 4, 5(单13,15不做), 6, 8, 10, 11,思考题一,思考题一解答,且,但反