多元函数的极值及其求法

1、第八节 多元函数的极值及其求法教学目的：(1) 理解多元函数极值和条件极值的概念；(2) 掌握二元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值的充分条件，会求二元函数的极值；(3) 会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。教学重点：多元函数极值的求法教学难点：用拉格朗日条件极值求最大值应用问题教学方法：讲练结合教学时数：2课时一、问题的提出实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得

2、最大收益？每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.二、多元函数的极值及最大值、最小值1、二元函数极值的定义：定义8.1设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点：若满足不等式，则称函数在有极大值；若满足不等式，则称函数在有极小值；极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.例如：(1)函数在处有极小值；(2)函数在处有极大值；(3)函数在没有极值2、多元函数取得极值的条件：定理8.1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：， .(证明略)推广 如果三元函数在点具有偏导数，则它在有极值的必要条件为 ， ， .仿照一元函数，凡能使一阶偏

3、导数同时为零的点，均称为函数的驻点.注意：极值点为驻点；驻点不一定是极值点例如, 点是函数的驻点，但不是极值点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理8.2（充分条件） 设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又,，令，则在处：（1）当时具有极值，当时有极大值，当时有极小值；（2）当时没有极值；（3）当时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论(证明略)例1 求的极值解（1） 这里, , , , （2）解方程组得驻点,（3）关于第一个驻点,有且因此, 在点取得极小值关于第二个驻点,有因此,在点不取得极值求函数极值的一般步骤：第一步:解方程组求出实数解，得驻点.第二步: 对于每一个驻

4、点，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步:定出的符号，再判定是否是极值.练习: 求由方程确定的函数的极值解：将方程两边分别对求偏导 由函数取极值的必要条件知,驻点为,将上方程组再分别对求偏导数,故,函数在有极值.将代入原方程,有,当时，,所以为极小值；当时，,所以为极大值.3、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.例2 求二元函数在直线，轴和轴所围成的闭区域上的最大值与最小值.解： 先求函数在内的驻点，解方程组得区域内唯一

5、驻点,且,再求在边界上的最值，在边界和上,在边界上，即于是,由,得比较后,可知为最大值,为最小值.在通常遇到的实际问题中，如果根据实际问题的性质，知道函数的最大值（最小值）一定在的内部取得，而函数在内只有一个驻点，则该驻点就是函数在内取得最大值(最小值)的点.例3 用铁皮制造一个体积为的有盖立方体水箱，问怎样选取它的长、宽、高才能使所用材料最省？解 设立方体的长、宽分别为，它的高为立方体的表面积为求导,得令,解得驻点为根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即长、宽、高都为时，所用材料最省三、条件极值、拉格朗日乘数法无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，

6、并无其他条件.实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果问题的实质：求在条件下的极值点条件极值：对自变量有附加条件的极值1.可将条件极值转化为无条件极值如上例，从条件解出代入效果函数,得,化为无条件极值问题。2.拉格朗日乘数法 先找目标函数在约束条件下取得极值的必要条件.分析: 若函数在点取得所求的极值，则, (1)假设与在点的某邻域内均具有一阶连续偏导数，且由隐函数定理可知：方程确定一连续且具有连续导数的函数代入，得 (2)于是函数在点取得所求极

7、值，相当于函数在点处取得极值。所以 (3)由可得代入(3)，得 (4)(1)和(4)就是函数在条件下在点取得极值的必要条件.记则上述必要条件就变为, (5)若引入辅助函数 (6)则极值点满足:即(5)式中的点是的驻点。函数称为拉格朗日函数，参数称为拉格朗日乘子. 拉格朗日乘数法：要求函数在条件下的可能极值点,（1）构造Lagrange函数；（2）令（3）解解出，其中就是可能的极值点的坐标.说明：此法可推广到多自变量，多条件情形.要找函数在条件，下的极值，先构造函数其中均为常数，可由偏导数为零及条件解出，即得极值点的坐标.例4将正数12分成三个正数之和 使得为最大.解：令，则 解得唯一驻点，而所求问题确实存在最大值,故最大值为例5 在第一卦限内作椭球面 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设为椭球面上一点,令,则， ， 过的切平面方程为 ,化简为 ,该切平面在三个轴上的截距各为 ，,所围四面体的体积,在条件下求V的最小值,令 ,由得