大学物理：第六章 振动学基础2

1、第6章,振动学基础（二）,6.4 简谐振动的合成,1、两个同方向同频率简谐振动的合成,当一个物体同时参与两个(或多个)简谐振动时, 物体任意时刻的振动位移为物体单独参与每个分振动的位移之矢量和, 这个结论称为运动的叠加原理。,P 点的运动就是这两个同方向振动的合运动。,质点 p 同时参与两个 x 方向的简谐振动。,若两个 x 方向的简谐振动的方程分别为:,即: 两个同方向且同频率简谐振动的合成仍是简谐振动，且合振动的频率与两分振动的频率相同。,用旋转矢量法求合振动,式中 分别为合振动的振幅、角频率和初相。,合振动的振幅与初相,由合振幅公式知, 合振幅的大小与两分振动的相位差有关。,两种特殊情况

2、:,(1) 两分振动同相,合振幅最大(加强),(2) 两分振动反相,合振幅最小(减弱),这种情况下, 若 A1 = A2 , 则 A = 0 , 质点静止。,(3) 一般情况下， 不是 的整数倍，合振幅就介于 和 之间。,例题 两个同方向的简谐振动曲线（ 如图所示） (1)、求合振动的振幅。(2)、求合振动的振动表达式。,解,合振动振幅,合振动初相,x,合振动的表达式,两个简谐振动同方向，同频率 ，反相,解,例题 两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的相位差为 。若第一个振动的振幅为 ，求： (1)第二个振动的振幅；(2)两个简谐振动的相位差。,2、两个同方向不同

3、频率简谐振动的合成,合振动不是简谐振动,合振幅随时间变化,设一质点同时参与两个同方向, 振幅相同且频率很接近 的简谐振动, 并取二者同相的时刻开始计时, 因而 相同.,合振动表达式,拍频 单位时间内合振幅加强或减弱的次数,1 秒内， 转 圈，而 转 圈 ，两者同相或反向的次数各为, 且频率相近,从相量图上看:,合振动的波形图,3、相互垂直的简谐振动的合成,（1） 相互垂直、频率相同,合振动的轨迹方程,这是一个椭圆方程，椭圆的具体形状由相位差 决定。,讨论几种特殊情况：,这是直线方程，即合振动的轨迹是一条过原点的直线。,（1）,正椭圆方程,（2）,（3）,直线方程,对应不同相位差的合运动轨迹,(

4、2) 相互垂直、周期或频率成简单整数比,合运动具有稳定封闭的轨迹,李萨如(J.A.Lissajous)图形,作业,P188191页 6, 7, 16 计 21,6.5 阻尼振动 受迫振动 共振,1、阻尼振动(damped vibration),速度不太大时, 阻力,称为阻力系数,物体的运动方程:,m, k, 为常数.,令, 无阻尼时振子的 固有角频率, 阻尼(damping)因子,方程成为,用代数方法求解.,特征方程,特征根,即 位移随时间周期性变化, 但振幅按指数规律衰减.,(1) 弱阻尼时，即,讨论三种情况:,方程的解为:,式中 , A0, 为两积分常数.,为阻尼振动的振幅.,弱阻尼时的振

5、动曲线,阻尼振动不是谐振动,(2) 过阻尼(overdamping),方程的解为:,c1, c2 是两积分常数. 显然 t 增大时, x 逐渐趋向平衡位置(非周期振动).,过阻尼的 曲线,(3) 临界阻尼(critical damping),方程的解为:,c1, c2 是两积分常数. 也是非周期振动, 系统离开平衡位置后很快回到平衡位置.,(重根),临界阻尼的 曲线,三种情况下的振动曲线,生产实际中, 可根据不同要求, 用不同方法去控制阻尼的大小.,令,2、受迫振动(forced vibration),设周期性外力(策动力(driving force)为,运动方程:,在阻尼较小的情况，此微分方

6、程的解为,即: 受迫振动可以看成两个振动的合成。一个是阻尼振动(第一项)；另一个是振幅稳定的振动(第二项)。经过一段时间后, 第一项表示的分振动减弱到可忽略,余下振幅稳定的等幅振动。,即: 稳定状态下的受迫振动是谐振动, 但本质不同.,（1） 稳态受迫振动的角频率等于策动力的角频率，而不是振动系统的固有角频率。,（2）稳态受迫振动的振幅和初相不是决定于振子初始条件, 而是依赖于振子的性质, 阻尼的大小以及策动力的特征.,受迫振动的振幅,即: A 与 ， , , 有关。 当 或 , 振幅 A 均很小。,求振幅 A 的极值可得，当策动力的角频率等于,振幅 A 取最大值,共振,即: 在阻尼很小的情况下，当策动力的角频率 等于系统的固有角频率 时，产生位移共振(resonance) 。,不同阻尼下, 受迫振动的振幅随策动力频率变化的情况如图,情景再现,1940年7月1日，桥龄仅4个月的美国Tocama大桥在一场不算太强的大风中坍塌。风产生的周期性效果导致大桥共振，大桥在风中坚强的摇曳了近一天，最终轰然坠下,美国塔科马海峡大桥的共振断裂,