线性代数练习题——向量与线性方程组

1、练练练习习习题题题（三三三）向向量量与与线线性性方方程程组组2007-12-28国际关系学院1(一）向量 能否由1 ,2 ,3表示出来?若可以表示，请写出表达式。 1 = (1,3,2),2 = (3,2,1),3 = ( 2,5,1), = (4,11,3) 1 = (0,1,1),2 = (1,0,1), 3 = (1,1,0), = (1,1,2) 1 = (1,1,1,1),2 = (1,0,2,1),3 = (1,2,4,3), = (2,0,0,3)2007-12-28国际关系学院21 = (1,3,2),2 = (3,2,1),3 = ( 2,5,1), = (4,11,3) 解

2、(1)令1 ,2 ,3的一个线性组合等于,即有k1 , k2 , k3 使 k11 + k22 + k33 = 用分量写出是k的线性方程组，又可写成： AX=b。其中k14X = k2b = 11k332007-12-28国际关系学院3下面用初等变换法解矩阵方程从而求得 k1 , k2 , k3 。(A,b)=由最后的矩阵（A化为单位阵）得：k1 = 2, k2 = 0, k3 = 1即 = 21 3。 且表示式唯一。2007-12-28国际关系学院41 = (0,1,1),2 = (1,0,1),3 = (1,1,0), = (1,1,2)(A,b)=则有 = 1 2（此线性组合表示式不唯一

3、,如 = 21 + 3 ）2007-12-28国际关系学院51 = (1,1,1,1),2 = (1,0,2,1), 3 = (1,2,4,3), = (2,0,0,3) (A,b)=R(A) R(A,b)线性方程组无解，即不能由 1 ,2 ,3 线性表出。2007-12-28国际关系学院6(二）向量组 1 , 2 , 3 可由向量组 1 ,2 ,3 线性表示。试将向量组 1 ,2 ,3 由 1 , 2 , 3线性表示解(A,b)=2007-12-28国际关系学院72007-12-28国际关系学院8解法二111Q111 0111112=021322007-12-2811111211=01111

4、121021112223012国际关系学院10211220129(三） （判断题）1、向量组1 ,L, s (s 2) 中，至少有一个向量可由其余向量线性表出，则向量组 1 ,L, s 线性相关；2、向量组 1 ,L, s (s 2) 线性相关的充要条件是：组中任一向量均能被其余向量线性表示。3、如果存在不全为0的数k1 ,L, ks，使k11 + L+ ks s 0 ，则 1 ,L, s 线性无关。4、若对任一组不全为0的数k1 ,L, ks总有k11 + L+ ks s 0 ，则向量组1 ,L, s 线性无关。2007-12-28国际关系学院105、如果存在数 k1 = 0,L, ks =

5、 0有k11 + L+ ks s = 0 ,则向量组 1 ,L, s 线性无关6、如果向量组 1 ,L, s 的一个线性组合等于0向量。则向量组 1 ,L,s 线性相关。7、如果存在一组全不为0的数 k1 ,L, ks ，使k11 + L+ ks s = 0 ，则 1 ,L, s 线性相关。8、1 ,L, s (s 2) 线性无关的充要条件是：任意两个向量均线性无关。2007-12-28国际关系学院11本命题：由 1 ,L, s 线性无关 当然有任意两个向量均线性无关。（如若不然，有某两个相关，则肯定全组相关了。）但任意两个无关，全组未必无关，如：1 = (1,0),2 = (0,1),3 =

6、 (1,1) 显然满足两组无关，但 1 ,2 ,3 是相关的 ，3 = 1 + 2答案：1对，2 错，3 错，4 对，5 错，6 错，7对，8 错。2007-12-28国际关系学院12(四） （选择题）设矩阵A为mn矩阵，R(A)=rn, 则c(a) A的列向量组中，任意r个向量线性无关。(b) A的列向量组中，任一向量可由其他r个列向量线性表示。(c) A的列向量组中，任意r+1个列向量线性相关。(d) A的任一r阶子式不等于0。2007-12-28国际关系学院13矩阵的秩=r=列秩。 列向量组的秩为r。有某r个列向量无关。但任意r+1个列向量必相关。不能得到任意r个列向量无关。(a)不成立

7、。由rn, 列向量组线性相关，也只能得出“至少有一个列向量可由其余向量线性表示。（b）不成立。R(A)=r,是说至少有一个r阶子式不为0.（d）不成立。(a)、(b)、(d)均不成立，应选（c)。2007-12-28国际关系学院14（五）.选择题、齐次线性方程组Ax=0（A为mn矩阵）仅有零解的充要条件为A的 c a、行向量线性无关; b、行向量线性相关c、列向量线性无关; d、列向量线性相关 A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是ba、r=n;b、rnc、rn ;d、rn2007-12-28国际关系学院15(六） （选择题）向量组 1 ,2 ,L,s 的秩为r，则下列结

8、论那个不一定成立。c(a) 向量组 1 ,2 ,L,s 中至少有一个r个向量的部分组线性无关。(b) 向量组 1 ,2 ,L,s 中任何r个向量的线性无关部分组与1 ,2 ,L,s 可互相线性表示。(c) 1 ,2 ,L,s 中r个向量的部分组均线性无关。(d) 1 ,2 ,L,s中r+1个向量的部分组均线性相关。答：只有(c)未必成立。而a、b、d 都是成立的。2007-12-28国际关系学院16(七）设n阶方阵 A = (1,2 ,L,n ) ，B = (1, 2 ,L, n ) ， AB = ( 1, 2 ,L, n ) ，记向量组I：1,2 ,L,n II：1, 2 ,L, n ， I

9、II： 1, 2 ,L, n ，如果向量组III线性相关，则 D (A) 向量组I线性相关.(B) 向量组II线性相关.(C) 向量组I与II都线性相关.(D) 向量组I与II至少有一个线性相关.2007-12-28国际关系学院17解 因为向量组 III 线性相关，所以 AB 不可逆，即|AB| = |A|B| = 0，得|A| = 0 或|B| = 0，所以矩阵 A 与 B 至少有一个不可逆，即向量组 I 与 II 至少有一个线性相关，选(D).2007-12-28国际关系学院18（八）设 1 = (1,1,1)2= (1,2,3) 3 = (1,3, t)当t=时，1 ,2 ,3线性相关；

10、这时向量 3可;表示为向量1 ， 2的线性组合：3 =2007-12-28国际关系学院19解法一：由1 ,2 ,3线性相关性知，以1 ,2 ,3 为列向量的矩阵的行列式应为零，即1111 2 3 = 01 3 t计算左边的行列式有t5=0于是 t=5 时，1 ,2 ,3线性相关.设有 k1 , k2 使 3 = k11 + k222007-12-28国际关系学院20即 (1,3,5) = k1 (1,1,1)+ k2 (1,2,3)也就是k1k1k1+ k2 = 1+ 2k2 = 3+ 3k2 = 51 1 11 0 1230121350001解得k1=1,k2=2, 3 = 1 + 2220

11、07-12-28国际关系学院21解法二：1 1 11111 0 1(1 ,223012012,3 ) = 13t0200t 51t 1t=5时，R(A)=23, 1 ,2 ,3 线性相关。且易见3 = 1 + 22 ,2007-12-28国际关系学院22(九）设齐次线性方程组为x1 + 2x2 + L+ nxn = 0则它的基础解系中所含向量的个数为 n 1 .2007-12-28国际关系学院23(十）求向量组 1 = (1,4,1,0)2 = (2,1,1,3)3 = (1,0,3,1)4 = (0,2,6,3)的秩及一个极大无关组.解：以1 ,2 ,3 ,4 , ,为列向量得矩阵A,并对A

12、实施初等变换如下:12101 2104102r4r0 7 42r32r1 1A =11 3 60 3 4 60 3130 3132007-12-28国际关系学院241 210121001 4 14r33r201 414r3rr2 r42230 3 4 600 16 480 31 30000于是,向量组 1 ,2 ,3 ,4 , 的秩是3,且1 ,2 ,3 , 是该向量组的一个极大无关组.2007-12-28国际关系学院25(十一） 当为何值时,齐次线性方程组( + 3)x + x + 2x = 0 123x1 + ( 1)x2 + x3 = 03( +1)x1 + x2 + ( + 3)x3

13、= 0仅有零解?有非零解?2007-12-28国际关系学院26解：方程组的系数行列式D = + 312 113 + 3r 2 r3 3 20r1( 2+3)r 1132 2 + 3 2 + 3 0= (3 )( 2 + 3) (3 2 )( 2 + 3)= 2 ( 1)当0 且1 时,系数行列式不等于 0 , 此时齐次线性方程组仅有零解.当0 或1 时,齐次线性方程组有非零解2007-12-28国际关系学院27(十二） 求解方程组:x1 + x2 3x3 x4 = 13x x 3x + 4x = 4解：对方程组的增广矩阵可施行初等行变换:B=(A,b)2007-12-28国际关系学院28在化简

14、后得到的方程组中,令 (x3 , x4 ) = (1,0); (0,1)则得原方程组对应的齐次方程组的一个基础解系:133T237T=,1,0=,0,122442007-12-28国际关系学院29再令x3=x4=0，又得原方程组的一个特解51T =,0,044因此，原方程组的通解为其中k1, k2 为任意实数.2007-12-28国际关系学院30（十三）.设有两组向量组：1 ,2 ,3 ,4 , 1 , 2 , 3 , 4 , 它们满足：1 = 1 22 = 2 33 = 3 44 = 4 1问向量 1 ,2 ,3 ,4 ,线性相关吗？解1 +2 +3 +4,= (1 2 )+(2 3)+(3

15、 4 )+(4 1) =0 1,2,3,4,线性相关。2007-12-28国际关系学院31(十四）设有向量组（A）:（a,b,0）(a,2b,1)(1,2,1),(2,4,2),其中a,b为未知参数，则能否找到一组 a,b的值，使向量组(A)的极大无关组中所含量的个数等于3。解：一定能。首先，注意到：2(1,2,1)(2,4,2）=0故只需取其中的一个参加关于极大无关组的选择.然后，对余下的三个向量，令整理后得方程组2007-12-28国际关系学院32欲使 k1 = k2 = k3 = 0只要使其系数行列式不等于零，即aa1D =b 2b 2= ab 2a b 0011若取a1,b2,便有D2

16、0，此时便有3个向量组成的向量组(a, b, 0) (1, 2, 0)(a, 2b, 1)(1, 4, 1)(1, 2, 1)为向量组的极大无关组.2007-12-28国际关系学院33(十五）设A是一个mn 矩阵，是一个非零的实数，问矩阵A与A的秩相等吗？(十六）设A与B都是mn矩阵，会出现R( A + B) R(A)+ R(B)的情况吗？解：会出现， 例如取120B450A =030060570则A + B =090R(A) = 2, R(B) = 2, R( A + B) = 2R( A + B) = 2 R( A) + R( B) = 42007-12-28国际关系学院34(十七）设 x

17、1 是Ax=b 的一个解，x2 是Ax=0的一个解，则 x1 x2 是Ax=b 的解吗？解：是。因为x1是Ax=b的一个解，所以Ax1 = b（1）又 x2 是Ax=0的一个解，所以Ax2 = 0(2)于是由(1) (2)得: Ax1 Ax2 = b 0 = b即 A(x1 x2 ) = b因此 x1 x2 是Ax=b的一个解2007-12-28国际关系学院35(十八）设 1 ,2 是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，问 1 + 2 ,21 2 , 是否也可以构成该方程组的基础解系？解：设k1 (1 + 2 )+ k2 (21 2 ) = 0即 (k1 + 2k2 )1 + (k1 k2 )2

18、 = 0由于 1 ,2 是基础解系，所以 1 ,2 线性无关，因此得k1 + 2k2 = 0k1 k2 = 0解得：k1 = k2 = 0 ，故 1 + 2 ,21 2 线性无关显见，1 + 2 ,21 2也是该齐次线性方程组的两个解，故是该方程组基础解系2007-12-28国际关系学院36(十九） 设 1 , 2 , 1 , 2 均是三维列向量，且 1 ,2 线性无关，1 , 2 线性无关，证明存在非零向量 ，使得 既可由 1 , 2 线性表出，又可由 1 , 2 线性表出.当122 331 = 3 , 2= 5 ; 1=, 2= 43451时，求所有既可由 1 , 2 线性表出，又可由线性

19、1 , 2 表出的向量.2007-12-28国际关系学院37证： 四个三维向量 1 , 2 , 1 , 2 必线性相关，故知存在不全为零的 k1 , k2 , 1 , 2 ，使得k11 + k2 2 + 1 1 + 2 2 = 0成立，即 k11 + k2 2 = 1 1 2 2 成立，其中 k1 , k2 不全为零，（否则，由 1 1 2 2 = 0 ，可推出 1 = 2 = 0 ，这和 k1 , k2 , 1 , 2 不全为零的矛盾）.令 = k11 + k2 2 = 1 1 2 2 0则即为所求. 得证存在非零向量，使得既可由 1 ,2 线性表出，又可由 1 , 2 线性表出.2007-12-28国际关系学院38： 由（1）知， = k11 + k2 2= 1 1 2 2 ，得k11 + k22 + 1