球的体积教学

1、“球的体积”教学 编者按：马明先生的这篇用“祖暅原理”来推导“球的体积公式” 的教案，风靡全国久矣。然现行高中立几教材对“球的体积公式” 已不用“祖暅原理”来推导，而采用 “分割，求近似和转化为准确和”的方法。本书之所以再次转载，是因为这篇教案魅力不减，仍极具教学参考和鉴赏阶值。 一、教案描述： 通过“球的体积”的教学，不仅要求学生熟记球的体积公式，更要培养学生观察、估算、猜想、构造和论证能力，并注意完善学生认知结构. 若只要求学生记住有关公式，剩下的就是反复练习解几个一元方程：已知半径求体积；已知体积求半径，这是降低教学要求，把高中课降为初中课的做法 师:（板书）已知球的半径为R，求V=？（

2、出示小黑板图23）思维从问题开始 球 ，你一定能23.观察图:为了计算半径为R球的体积，可以先计算半球的体积V师半球 V这三个量之间正确地写上不等符号（学生完成）得V、V、在圆锥圆柱半球. VVV圆锥圆柱半球 用以强化认识过程温故而知新,提供类比,让学生目测大小: 由于是已知的，便得双重不等式（板书）师:133?、RR VV =圆锥圆柱 3 向“量化”过渡=? V你能猜测半球 1 引诱学生猜想.猜想是发现的开始 生: 诱导一下 331333?RRV得”, 改写为“1”师:(R“的系数 333师:可以大胆一些,准许猜错. 23?R? =生: V对吗半球 3 ,思维活跃者此答案不一定出自成绩最好的

3、学生,而是胆大者. 这太冒险了3/32/31/3嘛!然而,师:有一定理由因为 使学生仍处于激奋境地既鼓励,又提出更高要求, 用行动支持敢于大胆猜想的学生. :我们不妨做一个试验,用以验证这个猜想师,这对激发学生学习兴趣数学实验教学法理、化有实验,数学也可以有实验,美国盛行“” 培养学习能力都十分有利都是铁皮制成的,的半球面,再取半径和高都是R的圆桶和圆锥各一个取一个半径为R发然后把半球内的细沙倒入圆桶内,(容器.将圆锥放入圆桶内图24),再将半球容器装满细沙 现圆桶恰好被装满? 你能将实验结果用一个等式表达出来吗师: 构造一个等式”“鼓励学生将实验结果量化()是十分重要的数学方法 2 =V V

4、V生1:板书半球圆柱圆锥12333?RR=R- V= 板书生2: V=V圆锥圆柱半球 3343?R 师:于是得=) V(板书球 3=3:2:1 :且 V V V圆锥半球圆柱. 实验结果是否可靠中学数学是建立在推理的基础上的师:,?还要进行论证才行 中学理、化是建立在实验基础上的 用数学工具去证明实验结果学生兴趣盎然, 3 师:我们现在的任务是证明这个实验结果,或者说,是要证明图23右边充满细沙的几何体与 左边充满细沙的21333?R=R-R.该几何体的体积=而右边几何体的体积是已知的.板书半球是等积形. 33; 我们就可以将它做为半球的参照体暅原理中的“条件”.如果再能证明它又符合祖它的计算公

5、式是已知的它:,所引入的几何体必须符合两个条件 为了运用祖暅原理且用平行于这两个平,;该几何体与原几何体要夹在两个平行平面之间符合祖暅原理的条件符合以上两个条件的几何体可叫做原几截得的截面面积总相等.面的任意一个平面去截时,暅,在前面推导柱、锥的体积的多次教学中应该引用这个术语，让学生熟悉祖何体的参照体 原理与该术语的关系剩下的问题是要这说明它与半球可以夹在两个平行平面之间,该几何体与半球同高(R),. 证明它与半球的等距截面的面积相等25).图,截面分别是圆面和圆环面(用与底面平行的任一平面去截图24的两个几何体 22l?rR?,如果截面与平面的距离为l那么圆面半径圆环面的大圆半径为R,小圆

6、半径 l为,因此222), (Rr=S= l圆 4 2222l), =SR(Rl圆环 所以S=S环圆 这两个几何体的体积相等,即根据祖暅原理, 122?RRR?R V=3半球 23?R? 3 43?R 所以V = 球 3: 可以写成定理形式猜想”得到证明,由此,“ !是学习数学的最重要的素质质从猜想到证明是“”的升华 R,那么它的体积是定理:如果球的半径是 43?R =V球 3? 你准备怎样记忆这个结论呢师:根据各个学生的学习.在这里都是有效的,都是可行的不管是意义识记或是机械识记, 习惯,不必强求一律1 验”“生1:根据细沙实33?RR? 32 =V=V V圆锥圆柱半球3?R? 3 43?R

7、? V =球 3. 就行了 V: V=3:2:1:2:生我保要记住 V圆锥半球圆柱. 采用拟柱体的体积公工试试看,?师:还有其它的记忆方法吗例如,把球体视为拟柱体也有必要去数学教师有可能看来这是有争议的数学教师要不要培养学生的记忆能力?., 5 培养学生的记忆能力 生:板演 1?/S4Sh?S? V=拟柱体 062?R?0,S?SS?h?2R, ,对于球01?2?0R?2R0?4 6V所以= 球 43?R = 3 随时复习与应用拟柱体公式? 这能作为球体积公式的证明吗师:. 但可以作为一种记忆方法不能作为证明,生:球体不是拟柱体,球心是这些小锥体的顶点师:还有其它的记忆方法吗?例如,将球体分割

8、成许多小的锥体 是可贵的数学思想是曲面,而是球面的一小部分()请看图26.锥的底面不是平面体而这许多小锥于是V=许多小锥体之和,球 ，又因为所有小锥体的底的高可视为球半径R面2 ，=球面积=4R之和 1?hS?S 21= V所以3球12? R?4R 3 4 3?R? 3 发展学生的空间想象能力小锥体与球体拟柱体,.同样，这也不能作为球体积公式的证明但是,使人感到兴趣的是还给人以和谐,它不仅可以帮助人们记忆,给人们和谐的感觉这种内部的一致的这种“默契”, !美的感受升华了 6 师:现在再请大家自己解答一个问题板书 不十分困难的例题由学生自己解答,然后再对照课本并进行议论,有时比教师直接讲解要收效

9、大些,不妨一试 3). 钢比重是7.9g/cm5.0cm , 求它的内径(有一种空心钢球,重142g,测得外径等于师:这是课本的例题,解完后自行对照课本.同时由一位学生板演 议论: (略) 师:今天这堂课的关键是构造一个球的参照体,而“细沙实验”帮助我们解决了这个问题.你能离开实验,经过分析直接构造这个参照体吗? 代替小结,将课内效果引向课外直接构造参照体 二、教案分析 这份教案显然是写给别人看的,如果只是为了自己教学,我想,只要记下教学过程就行了: 1 提出问题V=? 求2 目测圆柱、半球、圆锥这三者之间的大小关系 23?R? V 得猜想：3半球 34 细沙实验验证“猜想” 5 构造参照体，

10、证明“猜想” 6 得定理谈记忆 7 例题小结作业 我为什么要采取上面这几个环节？理由如下： 目前的数学教材是从少数公理和原理出发，通过演绎，将知识展开.于是,过程14都可以省略.并且,“参照体”也是由教材直接给出的(不需要构造).师生的任务只是用演绎法推得23?R?.这就是“内化”过程V.由于教材总是把知识和方法用定论的形式直接呈现在学半球 3生面前,新、旧知识的衔接点直接给出,内化任务很快就完成.因此,这种做法的优点是直截了当,节约时间;缺点是学生缺乏一个完整的认识过程,把知识或方法不是作为“过程”而是作为“结果”直接抛给学生.长此以往,越“抛”越多,学生头脑中很难形成一个有效的认知结构,结

11、果成绩分化,出现大量差生. 反之,插入环节14,则环节5的“构造参照体”(这是全课的关键)就十分自然.从“目测”到“实验”, 这是强化“发现”,而环节5则是内化.这种先发现后内化的过程又是在教师指导下进行的,教师的主导作用和学生的学习积极性十分融洽. “目测”、“大胆猜想”、“实验”等环节，所有差生都有发言权,优生也不乏味;从“实验”到“构造参照体”, 随流而下,直闯关键(出现参照体),终达彼岸(得定理).最后“谈记忆”,生动活泼,乃至升华; “小结提问”,余味不尽. 7 的数学教学程实质是思维过直学, “的教盖截了当”则掩,了“思维过程”不把知识和方法这种“奉送”的做法势必回避了教而是作为结

12、果抛给学生,是作为思维过程暴露在学生面前,. ,学生的数学素质很难得到提高学思想的培养.长此以往也就回本教案采用了“细沙实验”,最后,还要说明一点, “构造参照体”是本课的难点,何而“好班”就不应该回避构造困难,避了“构造性困难”,因此本教案是为普通班设计的,.的关键所在)况“构造参照体”是运用祖暅原理的关键,也是学习这一段教材(从柱体开始: 建议根据学生情况补充下述内容因此, 参照体与祖暅原理此几何体必须符合,为了利用祖暅原理计算某个几何体的体积,常要构造另一个几何体即该几何体与原几何体能,两个条件(1)它的计算公工是已知的;(2)它符合祖暅原理的条件截得的截面面,夹在两个平行平面之间,且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时或,.为了下面的叙述方便起见,把符合这两个条件的几何体叫做原几何体的参照体积总相等. 简称参照体2求该旋H),y轴为旋转轴,其方程为y=x,(0y例1 旋转体的母线是抛物线的一部分 转体的体积得截