九年级上册数学北师大版 第三章　概率的进一步认识 B素养拓展区

1、第三章概率的进一步认识,数学九年级上册北师,专题1 概率的计算方法,专项素养拓训,1.在某校运动会4400 m接力赛中,甲、乙两名同学都是第一棒,参赛同学随机从四个赛道中抽取赛道,则甲、乙两名同学恰好抽到相邻赛道的概率为 ( ) A. 3 16 B. 1 4 C. 3 8 D. 1 2,答案,1.D【解析】画树状图如下: 由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中甲、乙两名同学恰好抽到相邻赛道的结果有6种,所以甲、乙两名同学恰好抽到相邻赛道的概率为 6 12 = 1 2 .故选D.,类型1用树状图或表格求概率,2.甲、乙、丙、丁四人在做踢毽子游戏:第一次由甲将毽子踢给乙、丙、丁中的某一人,从第

2、二次起都由持毽子者将毽子再随机踢给其他三人中的某一人,假设每个人在每一次踢毽子时都不会失误,则第二次踢毽子后,毽子回到甲的概率为 .,答案,2. 1 3 【解析】画树状图如下: 由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中符合要求的结果有3种,所以P(第二次踢毽子后,毽子回到甲)= 3 9 = 1 3 .,类型1用树状图或表格求概率,3.如图,转盘被等分成4个扇形,转盘上1,2,3,4四个数字分别代表鸡、猴、鼠、羊四种生肖邮票(每种邮票各两枚,鸡年邮票面值“80分”,其他邮票面值都是“1.20元”),转动转盘后,指针每落在某个数字所在的扇形一次就表示获得该种邮票一枚(指针落在分界线时重转). (1

3、)任意转动转盘一次,获得猴年邮票的概率是 ; (2)任意转动转盘两次,求获得的两枚邮票可以邮寄一封需2.40元邮资的信件的概率.,类型1用树状图或表格求概率,答案,3.【解析】(1) 1 4 (2)根据题意,列表如下: 由表格可知,共有16种等可能的结果,满足“转动转盘两次,获得的两枚邮票可以邮寄一封需2.40元邮资的信件”(记为事件A)的结果有9种,所以P(A)= 9 16 , 即任意转动转盘两次,获得的两枚邮票可以邮寄一封需2.40元邮资的信件的概率是 9 16 .,类型1用树状图或表格求概率,4.2019江苏南京中考某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动,要求每位学生选择两

4、天参加活动. (1)甲同学随机选择两天,其中有一天是星期二的概率是多少? (2)乙同学随机选择连续的两天,其中有一天是星期二的概率是 .,答案,4.【解析】(1)根据题意,画树状图如下.,类型1用树状图或表格求概率,答案,由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中有一天是星期二的结果有6种, 故P(其中有一天是星期二)= 6 12 = 1 2 . (2) 2 3 乙同学随机选择连续的两天,有3种等可能的结果,即(星期一,星期二),(星期二,星期三),(星期三,星期四),其中有一天是星期二的结果有2种,故P(其中有一天是星期二)= 2 3 .,类型1用树状图或表格求概率,5.节能灯根据使用寿命分

5、为优等品、正品和次品三个等级,其中使用寿命大于或等于8 000小时的节能灯是优等品,使用寿命小于6 000小时的节能灯是次品,其余的节能灯是正品.质检部门对某批次的一种节能灯(共200个)的使用寿命进行追踪调查,并将结果整理成下表(假设节能灯的使用寿命均不超过9 000小时). (1)根据表中的数据,求a,b,c的值; (2)某人从这200个节能灯中随机购买1个,求这个节能灯恰好不是次品的概率.,类型2用频率估计概率,答案,5.【解析】(1)a=20200=0.1,b=2000.15=30,c=60200=0.3. (2)这批节能灯中,优等品有60个,正品有110个,次品有30个. 所以此人购

6、买的这个节能灯恰好不是次品的概率P= 110+60 200 =0.85.,类型2用频率估计概率,专题2 概率的应用,专项素养拓训,6.小敏的爸爸买了一张某项体育比赛的门票,她和哥哥两人都很想去观看,可门票只有一张.读九年级的哥哥想了一个办法,拿了8张扑克牌,将数字为2,3,5,9的四张牌给小敏,将数字为4,6,7,8的四张牌留给自己,并按如下游戏规则进行:小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张,然后将抽出的两张扑克牌数字相加,若和为偶数,则小敏去;若和为奇数,则哥哥去. (1)请用画树状图法或列表法求小敏去看比赛的概率; (2)哥哥设计的游戏规则公平吗?若公平,请说明理由;若不公平,请你设计一

7、种公平的游戏规则.,类型1用概率说明事件的合理性,答案,6.【解析】(1)列表如下: 从表格可知,所有可能出现的结果共有16种,这些结果出现的可能性相等,而和为偶数的结果共有6种,所以小敏去看比赛的概率P= 6 16 = 3 8 .,类型1用概率说明事件的合理性,答案,(2)不公平. 由(1)得哥哥去看比赛的概率P=1- 3 8 = 5 8 , 因为 3 8 5 8 ,所以哥哥设计的游戏规则不公平. 设计的游戏规则: 规定数字之和小于等于10时小敏(哥哥)去,数字之和大于等于11时哥哥(小敏)去,则两人去看比赛的概率都为 1 2 . (答案不唯一,只要满足两人去看比赛的概率相等即可),类型1用

8、概率说明事件的合理性,7.某商场为了吸引顾客,举行抽奖活动,并规定顾客每购买100元的商品,就可以随机抽取一张奖券,抽得奖券“紫气东来”“花开富贵”“吉星高照”就可以分别获得100元、50元、20元的购物券,抽得“谢谢惠顾”不赠购物券;若顾客不愿意抽奖,则可以直接获得10元的购物券.小明购买了100元的商品,他看到商场公布的前10 000张奖券的抽奖结果如下: (1)求“紫气东来”奖券出现的频率; (2)请你帮助小明判断,抽奖和直接获得购物券,哪种方式更划算?并说明理由.,类型1用概率说明事件的合理性,答案,7.【解析】(1) 500 10 000 = 1 20 , “紫气东来”奖券出现的频率

9、为 1 20 . (2)抽奖更划算.理由如下: 平均每张奖券获得的购物券金额为100 500 10 000 +50 1 000 10 000 +20 2 000 10 000 +0 6 500 10 000 =14(元). 1410,选择抽奖更划算.,类型1用概率说明事件的合理性,8.2019湖北恩施州中考为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度,现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查(把调查结果分为四个等级,A级:非常满意;B级:满意;C级:基本满意;D级:不满意),并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解决下列问题: (1)本次抽样调查测试

10、的建档立卡贫困户的总户数是 ; (2)扇形统计图中,的度数是 ,并把条形统计图补充完整;,类型2概率与统计的综合,(3)某县建档立卡贫困户有10 000户,如果全部参加这次满意度调查,请估计非常满意的户数约为多少; (4)调查人员想从5户建档立卡贫困户(分别记为a,b,c,d,e)中随机选取两户,调查他们对精准扶贫政策落实的满意度,请用列表或画树状图的方法求出选中贫困户e的概率.,类型2概率与统计的综合,答案,8.【解析】(1)60 (2)54 C级户数为60-9-21-9=21. 补全条形统计图如图所示: (3)估计非常满意的户数约为 9 60 10 000=1 500.,答案,(4)由题可

11、列如下树状图: 由树状图可以看出,所有可能出现的等可能结果共有20种,其中选中贫困户e的结果有8种, P(选中贫困户e)= 8 20 = 2 5 .,类型2概率与统计的综合,9.现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱.某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理,绘制了如下的统计图表(不完整): 请根据以上信息,解答下列问题: (1)写出a,b,c,d的值并补全频数直方图. (2)本市约有37 800名教师,用调查的样本数据估计日行走步数超过12 000步(包含12 000步)的教师有多少名? (3)若在50名被调查的教师中,选取日行走步数超过16 000步(包

12、含16 000步)的两名教师与大家分享心得,求被选取的两名教师恰好都在20 000步(包含20 000步)以上的概率.,类型2概率与统计的综合,答案,9.【解析】(1)a= 8 50 =0.16,b= 12 50 =0.24,c=500.2=10,d=500.04=2. 补全频数直方图如下: (2)0.2+0.06+0.04=0.3=30%,37 80030%=11 340(名). 所以估计日行走步数超过12 000步(包含12 000步)的教师有11 340名.,类型2概率与统计的综合,答案,(3)设日行走步数在16 000 x20 000的3名教师分别为A,B,C, 日行走步数在20 00

13、0 x24 000的2名教师分别为X,Y,列表如下: 由表格可知,一共有20种等可能的结果,其中两名教师恰好都在20 000步(包含20 000步)以上的结果有2种,所以被选取的两名教师恰好都在20 000步(包含20 000步)以上的概率为 1 10 .,类型2概率与统计的综合,综合素养拓训,在互联网大数据时代,数据处理和分析能力逐渐成为必备素养,而数据分析也是数学的核心素养之一.在教材中,数据分析主要以统计和概率来体现,本章就是对概率的进一步认识.对于“概率”的拓展,侧重应用意识和创新意识,例如第1题,以电视台的智力竞答节目为背景,通过分析不同情形发生的概率,使最优途径了然于胸;第2题,通

14、过频率估计概率的模型,探寻估算不规则图形面积的方案,也是核心素养中数学建模方面的体现.,1.概率帮你做决策锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目,答对最后两道单选题就可顺利通关,第一道单选题有3个选项,第二道单选题有4个选项,这两道题锐锐都不会,不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项). (1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用,那么锐锐通关的概率是 ; (2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用,那么锐锐通关的概率是 ; (3)如果锐锐每道题各用一次“求助”,请用画树状图或者列表的方法来分析他顺利通关的概率.,答案,1.【解析】(

15、1) 1 4 由题意,知第一道题肯定能答对,第二道题答对的概率为 1 4 ,所以锐锐通关的概率为 1 4 . (2) 1 6 如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用,易知此时共有6种等可能的结果出现,其中锐锐两道题都答对的结果有1种,所以锐锐能通关的概率为 1 6 .,答案,(3)如果锐锐每道题各用一次“求助”,分别用A,B表示第一道单选题剩下的2个选项,a,b,c表示第二道单选题剩下的3个选项, 画树状图如图所示: 由树状图知,共有6种等可能的结果,锐锐顺利通关的结果只有1种, 所以锐锐顺利通关的概率为 1 6 .,2.概率中的方案设计小红和小明在操场上做游戏,他们先在地上画了半径分别为2

16、m和3 m的同心圆(如图),然后蒙上眼睛,并在一定距离外向圈内掷小石子,掷中阴影部分时小红胜,否则小明胜,未掷入圈内(半径为3 m的圆内)或掷在边界上重掷. (1)你认为游戏公平吗?为什么? (2)游戏结束,小明边走边想:能否用频率估计概率的方法,来估算不规则图形的面积呢?请你设计一个方案,解决这一问题.(要求画出图形,说明设计步骤、原理,并给出计算公式),答案,2.【解析】(1)不公平.理由如下: P(掷中阴影部分)= 94 9 = 5 9 ,即小红获胜的概率为 5 9 ,则小明获胜的概率为 4 9 , 5 9 4 9 ,游戏不公平.,答案,(2)能利用频率估计概率的方法估算不规则图形的面积

17、. 设计方案:设计一个可测量面积的规则图形将不规则图形围起来(如正方形,其面积为S),如图所示; 往图形中掷点(如蒙上眼睛往图形中随意掷小石子,掷在正方形外或边界上不做记录); 当所掷次数充分大时,记录并统计结果,设掷入正方形内m次,其中n次掷入不规则图形内; 设不规则图形的面积为S1,用频率估计概率, 即掷入不规则图形内的频率 P(掷入不规则图形内),而P(掷入不规则图形内)= 1 ,故 1 ,即S1 .,答案,1.D【解析】设正面上的图案是“ ”的3张卡片分别用A1,A2,A3表示,正面上的图案是“”的卡片用B表示,画树状图如下: 由树状图可知,共有12种等可能的结果,2张卡片正面上的图案

18、相同的结果有6种.故从中随机抽取2张,这2张卡片正面上的图案相同的概率是 6 12 = 1 2 .故选D.,一、选择题 1.2018河南中考现有4张卡片,其中3张卡片正面上的图案是“ ”,1张卡片正面上的图案是“”,它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取2张,则这2张卡片正面上的图案相同的概率是 ( ) A. 9 16 B. 3 4 C. 3 8 D. 1 2,答案,2.D【解析】A项,抛一枚硬币,出现正面朝上的概率为0.5,不符合题中试验的结果;B项,掷一个正六面体的骰子,出现3点朝上的概率为 1 6 ,不符合题中试验的结果;C项,一副去掉大小王的扑克牌洗匀后,从中任抽

19、一张牌的花色是红桃的概率为0.25,不符合题中试验的结果;D项,从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球,取到的是黑球的概率为 1 3 ,符合题中试验的结果.故选D.,2.2018广西玉林中考某小组做“用频率估计概率”的试验时,绘出的某一结果出现的频率折线图如图,则符合这一结果的试验可能是 ( ) A.抛一枚硬币,出现正面朝上 B.掷一个正六面体的骰子,出现3点朝上 C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃 D.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球,取到的是黑球,答案,3.C【解析】根据题意画树状图如下. 由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中两次抽取的卡片上的

20、数字之积为偶数的结果有12种.故所求概率为 12 16 = 3 4 .故选C.,3.2018湖北武汉中考一个不透明的口袋中装有四张完全相同的卡片,把它们分别标上数字1,2,3,4.随机抽取一张卡片,然后放回,再随机抽取一张卡片,则两次抽取的卡片上的数字之积为偶数的概率是 ( ) A. 1 4 B. 1 2 C. 3 4 D. 5 6,答案,4.A【解析】m=325%=12.故选A.,4.2019河北唐山开平区二模在一个暗箱里放有m个除颜色外其他完全相同的球,这m个球中只有3个黄球,每次将球搅拌均匀后,任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱,通过大量重复试验发现,摸到黄球的频率稳定在25%左右,推算

21、m的值大约是 ( ) A.12B.9C.4D.3,答案,5.B【解析】画树状图如下: 由树状图可知,共有9种等可能的结果,小强获胜的结果有3种,所以小强获胜的概率是 3 9 = 1 3 .故选B.,5.小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”的游戏,随机出手一次,则小强获胜的概率为 ( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3,答案,6.B【解析】画树状图如图所示: 由树状图可知,共有20种等可能的结果,其中点P(m,n)在平面直角坐标系中位于第四象限的结果有4种,所以点P(m,n)在平面直角坐标系中位于第四象限的概率为 4 20 = 1 5 .故选B.,6.2019山东德州陵城区

22、二模点P的坐标是(m,n),从-5,-3,0,4,7这五个数中任取一个数作为m的值,再从余下的四个数中任取一个数作为n的值,则点P(m,n)在平面直角坐标系中位于第四象限的概率是 ( ) A. 2 5 B. 1 5 C. 1 4 D. 1 2,答案,7.C【解析】将题图左边转盘中蓝色部分等分为3份,分别记为蓝a、蓝b、蓝c,红色部分记为红d,将题图右边转盘中红色部分等分为3份,分别记为红1、红2、红3,蓝色部分记为蓝4.列表如下: 由表格可知,共有16种等可能的结果,其中可配成紫色的结果有10种,所以可配成紫色的概率是 10 16 = 5 8 .故选C.,7.2019辽宁本溪模拟用如图所示的两

23、个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏,分别旋转两个转盘,若其中一个转盘转出红色,另一个转盘转出蓝色即可配成紫色,则可配成紫色的概率是 ( ) A. 3 8 B. 1 2 C. 5 8 D. 2 3,答案,8.B【解析】 根据题意,列表如下: 由表格可知,共有16种等可能的结果,而落在以A(-2,0),B(2,0),C(0,2)为顶点的三角形内(包含边界)有(-2,0),(0,0),(1,0), (2,0),(0,1),(1,1),(0,2),共7种,所以落在以A(-2,0),B(2,0),C(0,2)为顶点的三角形内(包含边界)的概率是 7 16 .故选B.,8.如图,一个质地均匀的正四面体的

24、四个面上依次标有数字-2,0,1,2,连续抛掷两次,朝下一面的数字分别作为M点的横、纵坐标,则点M落在以A(-2,0),B(2,0),C(0,2)为顶点的三角形内(包含边界)的概率是 ( ) A. 3 8 B. 7 16 C. 1 2 D. 9 16,答案,9. 1 3 【解析】根据题意,画树状图如图所示: 从树状图中可以看出,共有6种等可能的情况,积是正数的有2种情况,所以任取两个不同的数,积为正数的概率是 2 6 = 1 3 .,二、填空题 9.从-3,1,-2这三个数中任取两个不同的数,积为正数的概率是 .,答案,10. 1 4 【解析】根据题意,列表如下: 直线y=mx+n不经过第三象

25、限,m0,n0,直线经过第一、二、四象限,m0,直线y=mx+n不经过第三象限的概率为 4 16 = 1 4 .,10.有四张背面完全相同的卡片,正面上分别标有数字-2,-1,1,2,把这四张卡片背面朝上,洗匀后,随机抽取一张,记下数字为m;放回搅匀,再随机抽取一张卡片,记下数字为n,则y=mx+n不经过第三象限的概率为 .,答案,11. 1 7 【解析】|m|1,|n|3,且m,n都是整数,m=-1,0,1;n=-3,-2,-1,0,1,2,3.关于x的方程x2+nx+m=0有两个相等的实数根,=n2-4m=0.列表如下: 从表格中可看出共有21种等可能的结果,能使=n2-4m=0成立的有序

26、整数(m,n)共有3对,分别为(1,-2),(0,0)和(1,2),故P(关于x的方程x2+nx+m=0有两个相等的实数根)= 3 21 = 1 7 .,11.如果任意选择一对有序整数(m,n),其中|m|1,|n|3,每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的,那么关于x的方程x2+nx+m=0有两个相等实数根的概率是 .,三、解答题 12.2019江苏苏州中考在一个不透明的盒子中装有4张卡片,4张卡片的正面分别标有数字1,2,3,4,这些卡片除数字外都相同,将卡片搅匀. (1)从盒子中任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数数字卡片的概率是 ; (2)先从盒子中任意抽取一张卡片,再从余下的3张卡

27、片中任意抽取一张卡片,求抽取的2张卡片标有的数字之和大于4的概率.(请用画树状图或列表等方法求解),答案,12.【解析】 (1) 1 2 (2)根据题意,列表如下: 由表可知,共有12种等可能的结果,其中抽取的2张卡片标有的数字之和大于4的有8种, 所以抽取的2张卡片标有的数字之和大于4的概率为 8 12 = 2 3 .,答案,13.【解析】(1) 1 2 (2)画树状图如下: 由树状图可知,共有8种等可能的结果,其中甲至少胜一局的结果有7种. 所以甲队最终获胜的概率为 7 8 .,13.2018江苏连云港中考汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则:两队之间进行五局比赛,其中三局单打,两局双打,五局比赛必须全部打完,赢得三局及以上的队获胜.假如甲、乙两队每局获胜的机会相同. (1)如果前四局双方战成22,那么甲队最终获胜的概率是 ; (2)现甲队在前两局比赛中已取得20的领先,那么甲队最终获胜的概率是多少?,14.2018内蒙古巴彦淖尔中考小美周末来到公园,发现在公园一角有一种“守株待