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文档简介

1、1,11.4 函数展成幂级数,11.4.1 泰勒级数,11.4.2 函数展成幂级数的方法,2,求和函数的问题,函数展成幂级数的问题,?,3,以f (x)为和函数，,2.如果能展开 是什么?,3.展开式是否唯一?,1.在什么条件下才能展开成幂级数?,若存在幂级数在其收敛域内,11.4.1 泰勒(Taylor)级数,则称f (x)能展成幂级数,即,4,的某邻域内有n+1阶导数, 则f (x)可表为:,公式(1)是函数f(x)在x0处展开的泰勒公式,其中 介于x与x0之间,回顾,Rn(x)是拉格朗日型余项.,若函数f (x)在x0,第6章第3节泰勒公式:,(1),5,如函数f (x)在x0的某邻域内

2、是,(2),称幂级数(2)为函数f (x)在x0处的,f (x)是否可展为如下的幂级数:,自然会想到:,泰勒级数.,无穷阶导数,特别的,为函数f (x)的,麦克劳林级数.,当x0 = 0时,称幂级数,6,问题,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f (x)?,不一定.,?,7,证,定理1,设,由泰勒公式,的泰勒级数,其部分和为,由此关系式，结论显然成立,泰勒级数是否收敛于f (x),取决于是否有,8,定理2(函数幂级数展开的唯一性),所以, 若f (x)能展开成幂级数，,故,f (x)的展开式是唯一的.,则该幂级数,一定是其泰勒级数，,9,1. 将函数直接展开为麦克老林级数的方法,(2)写出麦克老林级

3、数,并求收敛半径R.,如,则级数在收敛区间内收敛于f (x).,11.4.2 函数展开成幂级数的方法,?,10,例,解,其收敛半径,泰勒公式的余项,（介于0, x之间）,（麦克劳林级数）,11,所以在 上恒有,于是有展开公式,因级数,的收敛半径,12,例,解,其收敛半径,R = +,余项,（介于0, x之间）,13,于是,有展开公式,14,例,解,所以收敛区间是,对不同的,敛散性不同.,可以证明在收敛域内：,15,牛顿二项式展开式,16,双阶乘,如,17,常见的展开式,18,2.间接展开法,根据展开的唯一性, 它与直接展开法得到的结果是一致的.,利用常见展开式及等比级数的和等,通过,逐项求导,逐项积分,变量代换,四则运算,恒等,变形,等方法,求展开式.,19,(1) 变量代换法,例,将 展开为x的幂级数,并指出收敛域.,解,20,例,将 展开为x的幂级数,并指出收敛域.,解,21,例,解,22,23,例,(2) 逐项求导,逐项积分法,展开为x的幂级数.,解,24,例,展开为x的幂级数.,解,25,有,26,练一练,解,27,解,练一练,28,29,(3) 四则运算,例,30,例,将 展为x的幂级数.,解,相乘得,31,例 求常数项级数 的和.,解,考虑幂级数,设,32,33,泰勒级数收敛于函数的充分必要条件,函数展开成泰勒级数的方法:,小结,函数幂级数展开的唯一性,间接展开法

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