重庆刘伟函几综合演绎精彩

1、函几综合 演绎精彩400714 重庆市北碚区江北中学 刘伟QQ：709568023 手机-mail：函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一。函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化。由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题。将函数知识与几何知识有机结合编制出综合题作为压轴题是中考命题的一大特点，也是今后中考命题的一大趋势。本文特从2009年各地的中考试题中略选几例，谈一谈解决这类问题的策

2、略和复习方法。一、几何元素间的函数关系的问题 1、线段与线段之间的函数关系 由于这类试题的主要要素是几何图形，因此，在解决此类问题时首先要观察几何图形的特征，然后依据相关图形的性质（如直角三角形的性质、特殊四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的基本性质、圆中的比例线段等等）找出几何元素之间的联系，最后将它们的联系用数学式子表示出来，并整理成函数关系式，在此函数关系式的基础上再来解决其它的问题；解决此类问题时，要特别注意自变量的取值范围。ADCBP确 MQ60图1 例1（2009年襄樊市）如图1，在梯形中，点是的中点，是等边三角形 （1）求证：梯形是等腰梯形； （2

3、）动点、分别在线段和上运动，且保持不变设求与的函数关系式； （3）在（2）中：当动点、运动到何处时，以点、和点、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；当取最小值时，判断的形状，并说明理由（1）证明：是等边三角形，。是中点，。，。梯形是等腰梯形（2）解：在等边中，。 。 ， 。（3）解：当时，则有，则四边形和四边形均为平行四边形，。当时，则有，则四边形和四边形均为平行四边形，。当或时，以P、M和A、B、C、 D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形此时平行四边形有4个为直角三角形。，当取最小值时，。是的中点，而。2、面积与线段间的函数关系解决此类问题注意到以下两点

4、：（1）常见图形的面积公式，（2）学会灵活地将非特殊图形的面积转化为特殊图形的面积，将同底（或等高）的两个三角形的面积之比转化为它们的高（或底）之比，将相似三角形的面积之比转化为相似比（或周长的比、对应边上的高的比、对应边上的中线的比等）的平方。例2(2009年浙江省嘉兴市)如图2，已知A、B是线段MN上的两点，CABNM图2以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC，设（1）求x的取值范围；（2）若ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：ABC的最大面积？解：（1）在ABC中，解得（2）若AC为斜边，则，即，无解若AB为斜边，则，解得，满足若B

5、C为斜边，则，解得，满足或（3）在ABC中，作于D，设，ABC的面积为S，则CABNM（图2-1）D若点D在线段AB上，则，即，即（）CBADMN（图2-2）当时（满足），取最大值，从而S取最大值若点D在线段MA上，则同理可得，（），易知此时综合得，ABC的最大面积为 二、函数图像中的几何图形的问题 纵观历年各地的中考试题，几乎无一例外地出现函数中的几何问题，在解决这类问题时要灵活运用函数的有关知识，并注意挖掘题目中的一些隐藏条件，注意数形结合、数学建模、分类讨论等数学思想的运用。 1、三类基本初等函数中的图形面积问题： 解决这类问题时，通常要将坐标系中的图形进行分割，一般情况是将它分割成一些

6、两边（或三边）在坐标轴上或者两边（或三边）平行于坐标轴的三角形（或梯形、矩形）等；同时要注意点到坐标轴的距离与点的坐标间的区别，正确利用点的坐标来表示线段的长度。例3已知二次函数。（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。（2）设a0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式。（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。解（1）因为=所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。（2）设x1、x2是的两个根，则，因两交点的距离是，所以。即：，变形为：，所以：，整理得：

7、，解方程得：。又因为：a0，所以：a=1所以：此二次函数的解析式为。（3）设点P的坐标为，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，所以：AB=。所以：SPAB=，所以：即：，则。当时，即，解此方程得：=2或3当时，即，解此方程得：=0或1综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(2,3), (3,3), (0, 3)或(1, 3)。2、三类基本初等函数中的三角形、四边形、圆的问题这类题目一般由13问组成，第一问往往是求函数的解析式，然后在此基础上再与几何中的三角形（全等、相似或特殊三角形是否存在等问题）四边形（面积的函数关系式、特殊四边形是否存在）和圆（直线与圆的位置关系的判断、圆中的比例式

8、是否成立）结合起来，利用初中的主干知识全面考查学生综合运用所学知识解决问题的能力。例4（2009年广东广州）如图4，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ABC的面积为。（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。 解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OCAB=,得AB=， 设A（a,0）,B(b,0)AB=b-a=，解得p=,但p0,所以p=。 所以解析式为： （2）令y=0，解方程得，得,所以A(,0),B(2,0),在直角三角形AOC中可求得AC=,同样可求得BC=,，显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形。AB为斜边，所以外接圆的直径为AB=,所以. （3）存在，ACBC,若以AC为底边，则BD/AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式为y=-2x+b，把B(2,