数字图像处理学：第3章 图像处理中的正交变换（第3－7讲）

1、数字图像处理学 第3章 图像处理中的正交变换 （第七讲）,3. 6 小波变换,用尺度函数 构造的小波 可通过伸缩和平移形成正交集，而且 具有紧支集、平滑性、对称性是十分困难的。为此Daubechies提出了一种解决办法。她的思路是先由 的Fourier变换,(3553),求出 H() ，再通过无穷乘积定义:,进而讨论使 正交的条件，为最后构造小波创造了条件。,设 是三角多项式，系数 是实数,则有：,（3554）,Q是实系数代数多项式，因为 所以 是 的偶函数, 将其表示成 的多项式，,利用 ，可等价地表示为 的多项式，记为 , ，注意到 则有：,（3555）,而,(3556),因此:,(355

2、7),由Riesz定理，求出,Riesz定理：如果,则存在,使得,其中 可写成 在最简单的情况下 ，上式可简化为：,（3558）,求出 ，代入,(3559),就可以确定 H() 及尺度系数 hn 及小波系数 gn 。这样由 H() 和Riesz定理给出的小波基函数称做Danbechies紧支集小波。,(3560),(3561),对应的尺度函数和小波函数记为,7 . B样条小波分析,样条是一类分段光滑又在各段连接处具有一定光滑性的函数。它在数据的插值、拟合与平滑方面有很好的稳定性和收敛性，是函数逼近的有力工具。样条函数可以表示成变量的多项式，在小波分析中用得最多的是B样条函数（Cardinal

3、B-spline）。B-样条具有最小的支撑长度，而且有利于计算机实时处理。,n阶B样条是Harr尺度函数与其自身作m次卷积运算后所得的函数为 Nm(t) ，可得到：,这里把分段常数空间记为 S1 ,分段多项式空间记为 Sm ，m是多项式的阶数。当m为正整数时 Sm 称为基数样条空间，这是样条小波的基本空间。,(3562),(3563),(3564),即：,(3565),其中 N1(t) 就是定义域 0,1) 上为常数的特征函数 0,1)(t) ， B-样条有如下递推公式：,(3566),图328 示出了N1(t) , N 2(t) ,N3(t),的波形，由图可见 N1(t) 不连续，N2(t)

4、 连续，但一阶导数不连续，N3(t) 有连续的一阶导数，因此，它比较常用。,图 328 m=1,2,3 时的基数B-样条波形,如果基数B-样条函数表示为对称于原点垂直轴的形式，则相应的波形如图329所示。,图329 B -样条函数的对称形式与构造,Nm (t) 在频域中的形式可由Fourire变换得到：,(3567),当 m=1 时就是Haar系，当m=2 时就是Franklin小波。在一般情况下 。其支撑区是 0,m ，,(3568),这里，P是2m阶多项式，当m是偶数时，该展开式为：,(3569),其正交尺度函数表达式为：,经双尺度方程求出 ：,(3570),又可通过 Fourire反变换

5、求出 。,研究基数样条函数的目的是为了构造具有紧支撑的样条小波。其首要工作是构造尺度函数 。对于基数样条函数来说，其简单的构造公式如下：,(3571),其中分母：,当m=1时：,当m=2时：,求得,后即可构造规范正交系,对于m=2,则有如下解析表达式：,(3572),此后便可在时域或频域推导出样条小波 ，最简单的方法是由 求出 ，然后由下式求出 。,(3573),此后，对其施以Fourier反变换就可以得到小波函数 。,当m=2时， 已知 则滤波函数 H2 () 可由下式求得：,(3574),(3575),同理可求得m=3的 3() 和 3() 。,图330 示出了B-样条小波的基函数 与小波

6、函数 。图（a）是线性样条基函数，图(b)是二次样条基函数。,图 330基数-B样条小波波形,二次样条基函数,线性样条基函数,样条小波是框架理论的一部分，基数B-样条小波 和 在m是偶数时是对称的，当m是奇数时是反对称的，它们都有广义线性相位。基数B-样条小波是一个新的研究课题，在信号分析与图像压缩中得到较好的成果。,3.65 小波包：,任一函数可以表示为小波展开，但小波函数 并不是唯一的，由于研究对象是多种多样的，究竟选择哪一种小波作为分解和重构的基函数是学者们关注的问题。因此，我们希望针对不同的处理信号能有一个选择基函数的准则。正象Meyer在1990年日本东京国际数学大会上指出的那样，,

7、小波分析固然是研究突变信号的有力工具，但在处理变信号时却不如Gabor分析，而在实际处理中两种信号总是交替出现的。因此，人们往往交替使用小波分析和窗口Fourier分析。正交小波包是一种建立选择“最好基”准则，并给出具体运算方法的数学工具，它对小波分析与综合应用是至关重要的。,一般来说，小波包分析包括小波基包和小波框架包，通俗地说就是从多分辨分析出发采用滤波的思路建立小波基库。在数据压缩方面，Coifman和Meyer等人建立了一个广泛的函数目录库，称为小波包(Wavelet Packet)。,由此构成了一个可数的无穷多正交基，该小波包将Gabor函数和小波函数统一为一个集，这个集通过尺度参数

8、(频率参数) q ，空间参数 k ,振荡参数 n 控制零平均的局部化振荡函数,其中 k 对应中心位置，q 对应空间支撑宽度，n 对应空间振荡次数，,于是通过一个“母小波”的伸缩和平移就可产生一个小波包族，对于给定的信号可选择最合适的函数来分解它，选择的准则可以是信息熵最小。,小波包的基本数学模型可作如下分析：,令 wn(t)满足双尺度方程，即：,（3578）,(3579),其中 hn 与 gn 间存在正交关系。,显然, 当n=0时就是尺度函数 ；当n=1时就是小波函数 。,(3580),(3581),这里：,为尺度函数 ， 为小波函数 。,所以，函数集 可以看成是 的推广，用来统一表征尺度函数

9、 与小波函数 。如果 对应尺度函数方程, 对应小波函数方程，并引入下列符号,（3582）,(3583),这样Hilbert空间的正交分解 可用 分解统一表示，即:,(3584),推广到 (非负整数)的一般情形,(3585),这样，把n分解为2n与2n+1两部分，使 和 是 的子空间， 对应于 ， 对应于 , 可以用 记 ，得到小波空间 的分解。,由 可知，多分辨分析按不同的尺度j把Hibert空间分解为子空间 ，针对上式(3586)令 ， ；反复迭代可得到小波包如下：,(3586),(3587),这种 空间分解的任意子空间序列表达式为:,与此相对应的是规范正交基:,(3588),通常把 或 叫

10、做小波包。,显然尺度函数 和小波函数 都是它的最简单形式。小波包与小波函数相比较它具有划分较高频率倍频程的能力，从而提高了频率的分辨率，能获得更好的频域局部化。,由上面的分析可见，,对于小波 来说，按尺度 j 的二进分频方式，在 子空间的第 j 个频带内是提取局部信息的频率窗口。,(3589),是小波的均方根带宽。,对于小波包 来说，是把第j个频带 进一步二进划分方式细致分割为 个，“子频带” ，以便获得子频带内的局部化信息，尺度为j时，所有子频带 的并就是整个第j个频带 ，即,（3590）,这意味着把Hilbert空间 正交分解为W子空间和U子空间两部分，即(小波包分解),（3591）,容易

11、看出小波包分解比小波分解增加了 成份。 由 说明小波基函数涉及到尺度参数j和平移参数k，也就是小波基函数由这两个参数来刻划，而小波包涉及三个参数，即：尺度参数j，平移参数k和频率参数f，小波包基一般表示为 。,研究小波包的目的在于建立小波包基库，以便从中选择最合适的基来分解信号或逼近被分析函数。这里便有一个选择准则问题，利用熵的概念，设H是Hilbert空间， ，且 ，如果假设 是空间H的正交直和，则有熵的定义为：,(3592),用熵作判据的理由是用正交基的可加性 可用熵的可加性度量。其物理概念是测量函数与基之间的距离越小越好。,假定E预先给定，x = xi 是可分空间V中的数据序列或矢量，若

12、从小波包基库中选出某一正交基为B，而 表示以基B展开x时的系数序列，如果 E(Bx) 是最小的，则B是熵值最小意义下的最优基。B选择算法比较简单，它是一种搜索算法。,(3593),搜索步骤可按下式进行：,这里： Bkn 按二进间隔划分的标准正交基，对于某一k值，假如对所有的 0n2k 我们选取 Akn ；对于 0n2k-1 选取 Ak-1 ，令熵E最小。,其中， ， 分别表示x以基 展开和以基 展开的熵值。,661 二维连续小波,(1) 二维连续小波变换的定义 二维连续小波以变换的定义如下：,(3314),逆变换为,(3315),(2) 二维小波的容许条件 1）紧支撑集； 2）均值为零，即,(

13、3) 二维Morlet小波,在二维平面上定义矢量 t （t1,t2) ， 且 ，则Morlet小波定义为：,其Fourier变换为：,(3317),(3316),式中,为一常数,上角标,代表小波的方向,(3318),2. 二维离散正交小波,由一维 正交小波基推广到二维 是很自然的思路，这种推广有三种不同的方法。,(1) 由尺度函数 出发建立多分辨分析；,定义下式为二维尺度函数,(3319),(3320),则有滤波函数为：,该滤波函数应满足正交条件,(3321),然后求在相应的尺度函数,下的正交小波基。,当 =1,2,3,时,(3322),(2) 由一维小波,出发,定义二维正交小波,(3323)

14、,其中两个变量 t1 和 t2 各自分别伸缩变化。,(3) 由一维多分辨率分析出发,设有空间 ，引入一维多分辨分析张量积,(3324),应满足如下条件:,(3325),二维尺度函数可定义于下：,(3326),它是 的正交基， 是由函数 的平移生成的。,对于尺度 的情况下，,(3327),(3328),由此，可生成空间 ，如果用 表示 中的正交补空间，则有,正交补空间 由三个子空间的直和组成，其中 由正交基 生成， 由 给出，而 则对应,(3329),(3330),(3331),通常可定义三个小波，即：,当 时是 的规范正交基， 当m固定时是 的规范正交基。,二维离散正交小波以主要解决二维多分辨

15、分析问题。如一个二维函数 ,当分辨率为m时，函数 的二维小波离散化逼近可以通过内积运算得到，即：,(3332),函数的离散化细化逼近可通过 与 的补空间 的规范化正交基向量的内积得到。即：,(3333),(3334),(3335),这种逼近过程如图331所示。,图 331二维离散小波逼近函数 原理图,这里把 看成是原始图像数据，由 矩阵组成，第一层为 ，第二层为 等。在广义的情形下，可以把看成是一幅图像采样后的二维离散数据，在小波级数展开中， 到 上的投影 是 的一个逼近，它给出了图像的轮廓， 到 上的投影 是 到 的细节补充。,(3336),反映图像水平方向的信息；,(3337),反映图像垂

16、直方向的信息；,（3338）,反映图像对角线方向的信息。,因此，二维小波基中,3.6.7 MALLAT算法,1988年Mallat受到塔式算法的启发在多分辨分析的指导下建立了Mallat算法，它的作用可与FFT在Fourier变换中的作用相提并论。具体算法可描述于下：,(3339),设 是给定的多分辨率分析尺度空间，尺度因子m=0,，相应的尺度函数为：,小波函数为：,(3340),(3342),当m=1时，则：,由 ,若 则正交小波分解为：,(3341),类似地则有,令：,当尺度因子m=1转到m=2时,有：,由 可得：,(3343),为建立 和 的系数之间的关系,（3344）,代换角标n=k,

17、j=n则有:,由此可得：,（3345）,由此推广至系数表达的一般式：,(3346),该式就是由小波系数 和 重构函数f(t)的正交展开式系数 的公式。,函数f(t)的小波展开系数 与 用双尺度差分公式表示可按下式计算：,(3347),同理：,(3348),计算步骤可按下列方法进行：,由 计算 和 ，再由 计算 和 ，直至尺度到m为止。,上述的分析从信息处理的观点来看，可认为是一种滤波运算。我们不仿对比一下：,由上述计算可知，Mallat算法本质上不需要知道尺度函数 和小波函数 的具体结构，只由系数就可以实现f(t)的分解与重构，因此，称为快速小波变换。,一个线性系数h(t)对信号x(t)的滤波

18、处理可做如下数学描述：,(3349),如果在频域计算则显然：,(3350),离散化处理，即,比较,可把它们看成是 与 , 的卷积运算，其差别只是对 而言是n对所有的k值做卷积，即所谓的“全滤波”。,而 、 则是2n对所有可能的k值做卷积，缺少了n的奇数(2n+1)部分，即所谓的“半滤波”。,比较 与 ,它们都是离散卷积，也就是滤波处理。 其区别只是n对k的偶数序列(2k)作卷积运算，造成 、 的取值个数比 、 多一倍，因而称之为“倍滤波”。,令：,（3351）,(3352),则可把滤波处理表示成简洁地形式,即：,由此，由a1,b1完全重构 a0 的条件是 ，H和G是一对共轭正交滤波器组。,（3

19、353）,由上述可见，在低频 与高频 两个子带内进行数据序列的分解与重构的滤波算法就是子带编码或正交镜像滤波算法。图中的 表示半滤波， 表示倍滤波。,Mallat算法可用下图332来描述：,2,2,2,+,2,图 332 数据分解与重构流图,研究小波包的目的在于建立小波包基库，以便从中选择最合适的基来分解信号或逼近被分析函数。这里便有一个选择准则问题，利用熵的概念，来测量函数与基之间的“距离”，该距离越小越好，也就是说二者的差越小越好，符合这一结论的是熵值越小越好。,图333是利用小波对心电图压缩及解压缩的图形。图334是利用小波进行图像压缩的例子。,(a) (b) 图 333心电图小波压缩的例子,(a)为压缩后并解压缩图形，(b)为原图形,（a）原像 （b）压缩解压缩图像 图 334 图像小波变换压缩实例,上边我们仅对小波理论做了简要的分析，近年来小波理论及应用的研究热情始终有增无减，这促使了小波理论的发展，使其应用越