山东专用2021新高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.3.1平面向量的数量积学案含解析

1、第三节平面向量的数量积与平面向量的应用举例课标要求考情分析1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.1.本节是高考中的重点考查内容，涉及数量积的运算，投影，模(长度)与夹角等多方面内容2命题形式多种多样，以选择题，填空题为主，属中低档题，常与三角，平面几何，解析几何等相结合考查.知识点一平面向量数量积的定义及几何意义1向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则aob就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是0，2平面向量的数量积定义设两

2、个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积知识点二向量数量积的运算律1abba.2(a)b(ab)a(b)3(ab)cacbc.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线知识点三平面向量数量积的性质设a(x1，y1)，b(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角coscosab的

3、充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两个向量的夹角的范围是.()(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(3)ab0，则a与b的夹角为锐角；ab0，则a与b的夹角为锐角或零角；ab0)，则b(4,0)，c(2，t)，e，所以()(4,0)(4,0)20，故选d.【答案】d命题方向2向量数量积的几何意义【例2】在abc中，ab10，bc6，ca8，且o是abc的外心，则()a16b32 c16d32【解析】解法1：由题意得ab2bc2ca2，所以abc为直角三角形，

4、则点o为斜边ab的中点，所以|cosbac|232，故选d.解法2：由题意得ab2bc2ca2，所以abc为直角三角形，则点o为斜边ab的中点，所以在上的投影为4，则4|32，故选d.【答案】d方法技巧平面向量数量积的计算方法(1)已知向量a，b的模及夹角，利用公式ab|a|b|cos求解.(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解.(3)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算.1(方向1)(2019全国卷)已知(2,3)，(3，t)，|1，则(c)a3b2c2d3解析：因为(1，t3)，所以|1，解得t3，所以(1,0)，所以21302，故选

5、c.2(方向1)在abc中，ab3，ac2，bac120，点d为bc边上一点，且2，则(c)a. b. c1 d2解析：解法1：2，2()，则232321，故选c.解法2：以a为坐标原点，ab所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示则a(0,0)，b(3,0)，c(1，)，2，(4，)，则d，(3,0)，则301，故选c.3(方向2)已知向量a(，1)，b(3，)，则向量b在向量a方向上的投影为(a)a b. c1 d1解析：设向量a与b的夹角为，向量b在向量a方向上的投影为|b|cos.考点二平面向量数量积的性质应用命题方向1平面向量的模【例3】(1)已知向量a(1，)，|b|3，且a与

6、b的夹角为，则|2ab|()a5 b. c7 d37(2)已知在直角梯形abcd中，abad2cd2，abcd，adc90，若点m在线段ac上，则|的取值范围为_【解析】(1)a(1，)，|a|2，|b|3，a与b的夹角为，ab3，|2ab|24a24abb21612937，|2ab|，故选b.(2)建立如图所示的平面直角坐标系则a(0,0)，b(2,0)，c(1,2)，d(0,2)，设(01)，则m(，2)，故(，22)，(2，2)，则(22，24)，|，当0时，|取得最大值2，当时，|取得最小值，|.【答案】(1)b(2)命题方向2平面向量夹角问题【例4】(1)(2019全国卷)已知非零向

7、量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()a. b. c. d.(2)已知a，b是两个非零向量，且|a|b|ab|，则a与ab的夹角为_【解析】(1)设a与b的夹角为.因为(ab)b，所以(ab)babb20，所以abb2，所以cos.又a与b的夹角的取值范围为0，所以a与b的夹角为，故选b.(2)设a与ab的夹角为，由|a|b|得|a|2|b|2，又由|b|ab|得|b|2|ab|2，则ab|a|2，|ab|2|a|22ab|b|23|a|2，|ab|a|.cos.又知0，.【答案】(1)b(2)命题方向3垂直问题【例5】(1)已知非零向量m，n满足3|m|2|n|，它们

8、的夹角60.若n(tmn)，则实数t的值为()a3 b3 c2 d2(2)平面四边形abcd中，0，()0，则四边形abcd是()a矩形 b正方形 c菱形 d梯形【解析】(1)由题意得cos.n(tmn)，n(tmn)tmnn2t|m|n|n|2|n|2|n|20，解得t3.故选b.(2)因为0，所以，所以四边形abcd是平行四边形又()0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形abcd是菱形【答案】(1)b(2)c1(方向1)已知非零向量a，b满足ab0，|a|3，且a与ab的夹角为，则|b|(d)a6b3c2 d3解析：ab0，|a|3，a(ab)a2ab|a|ab|cos，|ab|3，将|

9、ab|3两边平方可得，a22abb218，解得|b|3，故选d.2(方向1)已知向量a，b为单位向量，且ab，向量c与ab共线，则|ac|的最小值为(d)a1 b.c. d.解析：向量c与ab共线，可设ct(ab)(tr)，ac(t1)atb，(ac)2(t1)2a22t(t1)abt2b2，向量a，b为单位向量，且ab，(ac)2(t1)2t(t1)t2t2t1，|ac|，|ac|的最小值为，故选d.3(方向2)(2019全国卷)已知a，b为单位向量，且ab0，若c2ab，则cosa，c.解析：设a(1,0)，b(0,1)，则c(2，)，则cosa，c.4(方向3)已知向量与的夹角为120，

10、且|3，|2.若，且，则实数的值为.解析：由，知0，即()()(1)22(1)32940，解得.“两法”搞定向量模的最值问题【典例】已知向量a，b满足|a|4，b(ab)0.若|ab|的最小值为2(r)，则ab的值为()a0 b4c8 d16【解析】解法1：利用|a|2a2，求|ab|的最小值|ab|2(ab)2a222(ab)b2.因为|a|4，所以a216.因为b(ab)0，所以b2ab.于是|ab|21622(ab)ab162ab(ab)2，所以|ab|2的最小值为ab(ab)24，解得ab8.解法2：利用|ab|的几何意义如图，设a，b，则ab.因为b(ab)0，所以obba.设a，则点p是直线oa上的动点，过点b作bcop，垂足为c，则|ab|，即|ab|的最小值为|2.又|a|4，所以bc是rtoab的斜边oa上的中线，故|b|2.从而abb28.【答案】c【素养解读】(1)本例的实质是定直线外的定点到定直线上的动点的距离的最值问题(2)解决与向量的模有关的问题，常见的策略有：利用|a|2a2；利用向量的模的几何意义已知点a，b，c在圆x2y21上运动，且abbc.若点p的坐标为(2,0)，则|的最大值为(b)a6 b7c8 d9解析：解法1：由圆周角定理及abbc，知ac为圆的直