代数的初步认识

1、代数初步认识单元备课汇景实验学校 数学科目标分析单元总目标从算术到代数是人们认识过程中的一个飞跃，也是学生学习数学的一个转折点。这一部分知识是小学数学课程中一个十分重要的内容，其总目标为：1、 辩证地认识数量关系；2、 培养学生的抽象概括能力，提高学生列方程解题的能力。3、 能对比用算术解题和方程解题的异同，并会选择合适的方法解决问题。用字母表示数简易方程、列方程解文字题比和比例、比例尺课时目标1理解用字母表示数的主要意义；（数、数量关系、公式、运算定律、规律等）2学会含有字母的乘法算式的简写、略写方法；（字母与字母相乘，只有乘号才能省略不写，加号、减号、除号不能省略不写。）3知道一个数的平方

2、的含义及读、写方法；（凡是两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方；凡是两个相同的数相乘时，也可以写成这个数的平方。这是初中幂和乘方的基础。）4掌握运用计算公式求值的方法；（代公式计算。代公式计算首先要写出计算所需要的公式；然后把相应的数值代到公式中，代数值时，前面要用等号连接，上、下对齐，把数代进去的时候，乘号就不能省略了；最后算出的结果不写单位名称，只在答中注明就可以了。）1、知道等式与方程的区别，会判断一个等式是不是方程（等式包含方程；等式的性质可帮助解方程，如等式两边可以同加、同减、同乘、同除同一个数可以帮助学生解决如8+5=413这类方程。）2、知道方程的解和解方程是两个不同的概

3、念。（解方程是过程，而方程的解是结果。）3、会根据加法和减法、乘法和除法的关系解形如axbc，axbxc的简易方程。（这是以乘法分配律为依据，并为初中的合并同类项作好准备。）4、掌握解方程的步骤和书写格式，认真培养学生验算的良好习惯。（一定要指导学生实际验算，平时多进行口头验算，不要让验算成为可有可无的步骤。格式中注意“=”号对齐。）1、理解比的意义和性质，会求比值和化简化；（相除、比、分数三者有区别也有联系；化简比的方法不一定要用比的基本性质，这样有时反而复杂，直接用求比值的方法更好，但要注意结果的表现形式。）2、理解比例的意义，认识比例的各部分名称，掌握两个比组成比例的条件是比值相等。3、

4、理解比例的基本性质，会根据比例的基本性质解比例。会解比例；4、会看地图上的比例尺。（加强比例尺与分率句的联系，沟通比例与分数应用题之间的联系）5、理解正、反比例的意义；（先要让学生明确正、反比例是在两数有乘、除法运算关系的范围内研究，加减法中的形似神不是甭谈。）6、会判断两个量是否成正比例和反比例；7、会用比例的知识解答比较容易的应用题；单元知识结构图数量关系用字母表示数简易方程比、比例、比例尺正、反比例教学重点剖析单元重点1、让学生学会概括、归纳，寻求规律（什么规律？）；2、会用正确的数量关系和适当的运算符号和（）、 、 用含有字母的式子表达某些用文字叙述的数学内容，使其简明、方便。3、会用

5、代入法求含有字母的式子的值，并注意其格式（注意与解方程的格式区分开来。）1.理解方程的意义、掌握解简易方程求x的依据、方法及格式；2、理解并掌握列方程解的一般步骤，学会按步骤设未知数列方程求解；3、根据题目的特点，选择合理简便的解答方法。弄清几组概念之间既有联系又有区别，形成知识体系：（1）、比、除法、分数三者之间存在着相互转化的关系。掌握它们之间的关系，有利于沟通知识的联系，培养学生灵活运用知识的能力；知道它们之间的区别，可以加深对知识的理解。（2）、正比例和反比例之间的区别和联系；（3）、线段比例尺和数值比例尺之间的互化。要素分析用含有字母的式子表示要注意以下几点：(1)数字与字母相乘、或

6、字母与字母相乘时，通常使用“.”号或省略不写如：ab记作ab；(2)数字与字母相乘时；一般把数字写在字母的前面如：a3记作3a；(3)要弄清楚题中的数量关系词语对应的运算符号，例如“和”、“大”、“加”等词语对应“”还是“”号；“积”、“倍”、“乘”等词语对应“”号等。正确理解数量关系。（4）弄清运算顺序和括号的使用。1方程的意义（1）等式的意义：表示等号两边两个式子相等关系的式子叫等式。如：3+6.5=9、7-4.2=2.8、3.60.5=1.8、3.5+x=9.5等都是等式。（2）方程的意义：含有未知数的等式叫方程。判断一个式子是否是方程，首先要看这个式子是不是等式，接着再看这个式子中是否

7、还含有未知数。如x3.2=8、11x=363、x+7.6=11.4等都是方程。（3）方程与等式的关系：等式的范围比方程的范围大。方程都是等式，但等式不一定是方程。如：357=5、2x=0、x3.5=4、11.2-x=11.14等都是等式，但357=5不是方程。2解简易方程解方程的依据：一个加数=和-另一个加数一个因数=积另一个因数被减数=差+减数 减数=被减数-差被除数=商除数除数=被除数商3、有些题目用直叙的方式描述1、理解比的意义和性质。（就用教材中的意义和性质）2、两个数的比是一个有序的概念，颠倒两个数的位置，就会得出另一个比。因此，要能按语言叙述的顺序，搞清楚哪个量与哪个量相比。3、比

8、的基本性质是化简比的依据，求比值与化简比是不同的。它们之间既有联系又有区别，求比值是根据比的意义，用前项除以后项的方法计算，其结果是一个数。（写比值不要求写单位名称）化简比是根据比的基本性质，把比的前项和后项同乘以或除以同一个数（除外），其结果是一个比。4、比的知识在生产和生活中应用比较广泛。学习比例的知识也要以比的知识为基础。如，比例尺和按比例分配是比的概念的应用；按比例分配即应用比的概念把一个数量按照一定的份额来进行分配。解答这一类问题，能帮助学生加深理解比的意义、比与分数的关系。学生应掌握按比例分配问题的解答方法，会根据各个部分量之间的比，说出各部分量与总量之间的关系。在教学中，适当沟通

9、按比例分配问题与分数应用题之间的关系，有利于学生灵活解题，发展他们的思维。未遇到“求知数”时用算术方法比较简便，当直叙的方式描述知结果反过来求过程中的某数时用方程方法比较简便。与其他重点的联系1、用字母表示数中的重点，是列简易方程的基础，也有助于用顺向思维解决比和比例中的未知项。2、（什么内容？）有助于提高学生的抽象思维能力和解题能力，而且后面学习分数应用题、几何初步知识、比和比例等内容时要直接运用，从而为后面的学习打下较好的基础。例如分数除法应用题，先教学列方程解，便于学生理解和掌握。又如正、反比例的概念，用含有字母的式子表示其本质特征和变化规律，简单明了，便于运用。3、简易方程中的重点是用

10、字母表示数的直接应用，也是比和比例中比例尺、用比例解决问题的应用。4、比和比例中的重点是依托于前两者的重点的理解和应用。策略1、从学生已有的经验发。以学生常见的数量关系为例，使学生理解字母所表示的数可以是不确定的、变化的数。知道在同一个问题里，不同的量要用不同字母表示，而在特定条件下，某一个字母表示的内容有其特定的意义。如长方形面积公式ab中，表示面积；而在距离公式vt中，表示距离。对含有字母的式子，如a，要使学生的认识从具体的数的运算，抽象概括到认识a既表示加法运算关系，是一个式子，又表示运算的结果。这是从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程，调整了学生的原有认知结构，组建新的认知结构。2、将

11、数学语言叙述的数量关系写成数学式子或将数学式子用数学语言叙述出来。会用字母表示运算定律和公式，并能应用。 3、使学生会求含有字母式子的值。将数代入含有字母的式子求它的值，是个从一般到个别的具体化过程。它可以帮助学生更好地理解用字母表示数的意义，也为解方程时的验算打下基础。1、列方程解题和用算术方法解应用题的区别是：列方程解应用题时，未知数可以参加列式和运算。由于学生不习惯于未知数参加解题过程，不善于找数量之间的相等关系，所以，要使学生学会分析未知数和确定数量之间的相等关系，并根据数量之间的相等关系列出方程。掌握常见的数量关系是列方程解应用题的基础，对学生进行一些数量关系的训练，有利于提高解题能

12、力。但要防止学生不从应用题的题意去分析思考解答方法，而是通过等式变形的办法从一个方程中演变出几种不同形式的方程算是“一题多解”。(2)要培养学生认真审题，合理分析，仔细计算，负责检验的学习态度和学习习惯。 1、教材中不要求根据比例的意义和性质，用四个数组成八个比例，但学生掌握这种技巧，对于很多关于“比例的基本性质”的灵活运用就比较容易掌握。2、根据正、反比例的意义，判断两种相关联的量是不是成正比例或反比例，会有一定的难度。如可按如下步骤思考：判断是哪几种量；判断这几种量是不是相关联的量；判断哪一种量是常量；确定两种变化着的量之间所存在的关系；根据正、反比例的意义作出结论。 3、通过具体例子来帮

13、助学生弄清正比例与反比例的共同点和不同点。用正比例和反比例的知识解应用题，是让学生学会一种思考方法，教学中不应只满足于解题的结果，而要重视指导和训练学生的解题思路。学生比较难准确使用运算符号和括号用含有字母的式子表示。例如：根据文字叙述题恰当地设未知数列方程。寻找应用题中数量间相等关1、在比例尺这一知识的学习中，学生常把单位弄错；或者不能灵活运用“对应”简便解题，这是对同类数量教学难点剖析具体表现已知姐姐比弟弟大4岁，用a表示弟弟的岁数，那么姐姐的岁数是a4。也可以用a表示姐姐的岁数，那么弟弟的岁数是a4。对此，学生首先要理解两人岁数之间的关系，并把用语言叙述的这一关系改用含有字母的式子表示，

14、这是教学中的一个难点。对小学生来说，初学时往往感到很不习惯。系的方法列方程正确运用解简易方程的依据是这一知识的难点。根据应用题中数量关系的具体情况，灵活选用算术解法或方程解法解答应用题。比的结果理解不透，或对比例的知识“倍比”不会灵活运用。2、学生习惯于用“归一”“归总”法解题，而不习惯用比例的知识解题。原因分析由具体的量抽象到数，是学生认识上的一次飞跃，但学生还是容易掌握的。而现在要从确定的数过渡到用字母表示数，每一个字母代表的是某个范围内的数，一般来说是不确定的，可变的。这是认识上的又一次飞跃，对于学生来说是比较抽象的，较难理解的。由具体的数和用运算符号组成的式子过渡到含有字母的式子，是从

15、个别上升到一般的抽象化过程，而把具体的数代入含有字母的式子求它的值，则是与上述过程相反的过程，即从一般到个别的具体化过程。因此求含有字母的式子的值可以帮助学生更好地理解用字母表示数的意义，而且代入公式求值很有用处，在解方程验算时也要用到，需要在开始接触字母公式时就进行练习，所以它是用字母表示数这一节教材的重要组成部分。限于学生的知识水平和接受能力，教材上没有出代数式和求代数式的值这两个术语，只是在例题和练习题中安排了一些这方面的题目。用“算术法”和“代数法”解同一个问题的区别。在“算术法”中，未知数处于特殊地位，解题时一般由已知数为先导，逐渐向前探索，在解题基本结束时才确立已知数与未知数之间的

16、关系，这使题目的条件无法得到充分利用，导致解题困难。而“代数法”解题中，先用字母代替未知数，等于增加了一个条件，这个字母成为后续的分析和解决问题的有力“拐杖”。在寻找等量关系时，未知数始终和已知数处于同等地位，这就可以在解题过程中从整体出发，全面考虑情况，这为等量关系的建立提供了极大方便。虽然未知数介入运算，在列式、计算上都比较简捷。但是学生对于字母的介入还是感到抽象。在判断“成正、反比例的量”时，对于数量的变化举例不够，学生对于成正比例的两个量的关系理解不透。书上P11的例题是讲“一列火车”的时间和路程的变化；书上P12的例题2“一间布店”的“某种花布”的数量和总价的关系；书上P13的例题3

17、是讲“一种袋装面粉”的总重量和袋数的关系；练习题的设计也只是谈单一物体的变化情况，很少有两个物体同时变化，研究相同的数量关系的数的变化，形式的改变，学生一下子未能转过弯来。解决策略1、指导学生掌握一些习惯写法。如字母与数的乘积，先写数后写字母，字母要按顺序写，乘号写成“”或省略不写。如a写成a或a，ab写成4ab或ab，a写成a，正确地检验方程的解求得是否正确，技巧在于不要把检验流于形式，要做认真的验算。这是弥补选错依据的唯一方法。进行把文字叙述“翻译”成等式的训练，是正确地设未知数列从生活经验中找到了两个相关联的量，并学会了判断这两个量是否成正比例，在解决实际问题过程中，学生还有一种创意的解

18、题方法列表法分析题目和列比例式，如：P24的做一做：相同字母相乘，如aa，一般写成a，读作“a的平方”；在式子中每一个字母都不注明单位名称，计算结果也不注明单位名称，只在答句里写上单位名称。2、将数学语言叙述的数量关系写成数学式子或将数学式子用数学语言叙述出来。遇到一个问题，要能弄清其中的基本数量关系，进而用含有字母的式子表示出来；另一方面，给一个含有字母的式子，要能了解它的数学意义。3、加强基本数学语言的训练。如：n为整数，2n表示偶数，2n1表示奇数；ab=0表示a、b中至少有一个为零；a/b=0表示，a= 0，但 b0；等等都可以开始进行训练。语言叙述时要注意运算顺序， +、-、.、-（

19、分数线）读为和、差、积、商。方程解文字叙述题的有效方法。适当加强了看图列方程、根据题意把方程写完全等练习。这些练习，题目已用x表示未知数，可以促使学生把未知数x和已知数放在一起分析和列式，对学生逐步习惯于根据数量间的相等关系列方程有很大帮助桶数38总价780？学生发现可以从表中找出对应关系，从而轻而易举地列出了比例式：法1：3：8=780：x（从表看，左右比即倍数比3桶是8桶的几分之几，它的价格就是8桶的几分之几）法2：8：3= x ：780 （从表看，右左比即倍数比8桶是3桶的几倍，它的价格就是3桶的几倍）法3：780：3=x：8（从表看，下上比每桶的单价是相等的）法4：3：780=8：x（

20、从表看，上下比每元能买的桶数是相等的。）这种数学上的“对应”也有助于解决比例尺中的求图上距离或实际距离的问题。例题的教学策略课本P92没有具体的例题，只是简单地说明字母可以简明地表达数量关系、运算定律和计算公式，在教学前我们可以按“常见数量关系”、“运算定律”和“平面图形、立体图形计算公式”分类整理、进行类比或对比学习。如P92：用a，b，c表示三个自然数（C不为0），那么同分母相加的计算法则应该怎样写？（）,由此引导学生养成习惯学会用字母表示平时学习中遇到的一些规律、法则，使之简单明了。增加：例 一个商店原有80千克桔子，又运来了12筐桔子，每筐重a千克（1）用式子表示出这个商店里桔子质量的

21、总数课本P93例题1一个数的比这个数的25%多10，这个数是多少？这道题既揉合了分数、百分数应用题的知识又结合着“差比”的知识，用算术法解并不容易。但不妨让学生自由选择自己喜欢的方法来做。从而对比出用方程解的优越性；在解答过程中，可以把分数、百分数化小数计算，也可以百分数化分数计算。允许列方程的多样性。课本P9596是通过列表法对比学习比和比例、求比值和化简比这两组成内容。而对于比例尺和正、反比例就没有具体的例题。对于线段比例尺和数字比例尺可适当增加比例尺的后项为1的例题。正、反比例也可以用表格式加强学习；可适当增加以下例子：x与y成反比例关系，根据条件完成下表。x15203040y40024

22、0200100（2）根据这个式子，求当a15时，商店一共有多少千克桔子？错例的估计与采集学生对于a的平方的读、写法及其所表示的意义，错误仍是特别多。此外，以下类型的题目也是学生错得比较多的： 用代数式表示(1)比x的2倍大3的数；(2)比a的大1的数与4b的商；(3比m的倒数大n的数.例1 解方程（要求检验）错误：（1）4x=25 x=254 x=100(2)6x-1.5x=9.9解：5.5x=9.9 x=1.8验算：左边=61.8+1.51.8=9.9 左边=右边 x=1.8是原方程的解分析：（1）这题的错误有三处，第一处错误是没有写“解”字，第二处错误是数量关系不正确；第三处错误是没有验算

23、。（2）此题中6x+5x5.5x，验算时61.8+1.51.89.9。因为这种验算只是流于形式，错误并没有查出来。例2 用方程解下面各题（1）x的5倍减去2.5除5的商，差是6，求x。（2）从1.8里减去什么数可以得0.85与1.2的积？错误：（1）5x-2.55=6 解：5x-0.5=6 5x=6.5 x=1.3(2)解：1.8-x=0.851.2 1.8-x=1.02 x=1.8-1.02 x=0.78分析：（1）本题错误有两处。第一处错在“解”字没有写在方程式的前面；第二处错在“2.55”，根据题意应是“52.5”。（2）此题中的“解”字后面没有写“设未知数为x”的内容，因此造成了这里的

24、“x”表示什么不明确的错误。改正：（1）解：5x-52.5=6 5x-2=6 5x=8 x=1.6（2）解：设这个数为x 1.8-x=0.851.2 1.8-x=1.02 x=1.8-1.02 x=0.78一长方形的周长是240米，长是宽的1.4倍，求长方形的面积。( 长 + 宽 )2=周长解：设宽是x米，则长是(1.4x)米。(1.4x+x)2=2402.4x=2402x=1202.4x=50（长方形的宽）501.4=70(米) （长方形的长）7050=3500(平方米)答：长方形的面积是3500平方米相关的训练1 填空：(1)7x+5x表示( ) 加( )，一共是( + )个x，得( )。

25、(2)5x+4x表示( ) 减( )，是( )个x，得( )。(3)x0.6 x( ) 2 直接写得数9x+5x b0.4b6.3x29 5x+4x3xa+4a= 4.80+1.2a=3判断正误，对的画“”，错的画“X”(1)5x4.7x=1.7x ( )(2)8x+0.06x8.06x ( )(3)3.5xx3.4x ( )列方程并求解(1)某数的8倍加上10等于它的10倍减去8，求这个数。(2)4.9减去2.9与0.5的积比x的5倍少1.65，求x。 (3)一个数加它的1.8倍是0.56，求这个数。练习：在一幅比例尺是1400000的地图上，量得A地到B地的距离是25厘米，A地到B地的实际

26、距离是多少千米？解：设A地到B地的实际距离是x千米1400000=25：xx=10000000答：A地到B地的实际距离是10000000千米（不把单位统一）一幅城区改造图的比例尺是：0 100 200 300米在图上量得某两地间的距离是2厘米，两地之间的实际距离是多少米？（怎样解最简便？）此外，以下类型的题目也是学生错得比较多的：（1）24:（ ）=（ ）15= 6/2 =18:（ ）=（ ）:1（2）汽车4小时行280千米，路程与时间的比是（ ），比值是（ ）。（3）用0.25、0.75、24和（ ）可以组成一道比例式。（4）从A地到B地，甲车需行10小时，乙车需行8小时，则甲乙两车行完全程的时间比是（ ），速度比是（ ）。3、若8x=10y，那么x是y的（ ），x、y成（ ）比例关系。（5）选择A