§2.5　二次函数 2

1、,二 次 函 数,步步高大一轮复习讲义,1. 二次函数的定义与解析式,一般式：_. 顶点式：_, 顶点为_. 零点式：_,其中_是 方程ax2+bx+c=0的两根.,y=ax2+bx+c (a0),y=a(x-m)2+n(a0),y=a(x-x1)(x-x2)(a0),(m, n),忆 一 忆 知 识 要 点,(1)二次函数的定义 形如:f(x)ax2bxc (a0)的函数叫做二次函数.,(2)二次函数解析式的三种形式,x1, x2,对称轴:_顶点:_,2二次函数的图象和性质,上递减,上递增,上递增,上递减,忆 一 忆 知 识 要 点,3.二次函数f(x)ax2bxc (a0)与轴两交点的距离

2、,当b24ac0时，图象与x轴有 两个交点M1(x1, 0) , M2(x2, 0)，,4. 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在m, n上的最值,(2)若 m, n, 则,当 x0m 时, f(x)min=f(m), f(x)max=f(n);,当 x0n 时, f(x)min=f(n), f(x)max=f(m).,(1)若 m, n, 则,f(x)min= f(x0)=,二次函数的区间最值问题，一般有三种情况： 对称轴、区间都是给定的 对称轴动，区间固定 对称轴定，区间变动 对称轴、区间都动 解题思路：抓住“三点一轴”数形结合,5、不等式 ax2+bx+c0 恒成立问题,. ax

3、2+bx+c0在R上恒成立. ,ax2+bx+c0在R上恒成立. ,. f(x)=ax2+bx+c0(a0) 在 m, n 上恒成立. , f(x)min0(xm, n),f(x)=ax2+bx+c0) 在 m, n 上恒成立. ,求二次函数的解析式,【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数,二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：f(x)ax2bxc (a0)； (2)顶点式：f(x)a(xh)2k (a0)； (3)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0) 已知函数的类型(模型),求其解析式,用待定系数法,根据题设恰当选用二

4、次函数解析式的形式,可使解法简捷,（1）x在区间0,3内,（2）x在区间3,5内,例3.函数f(x)=x2-2x3在闭区间t，t+1(tR)上的最小值记为g(t). (1)试写出g(t)的函数表达式； (2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值,1.函数f(x)=2x2-mx+3，当x(-,1时是减函数，则m的取值范围 _. 2.关于x的方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的二根比1大，另一根比1小，则a的范围是 . 3二次函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x)且f(x)=0有两个实根x1,x2，则x1x2等于_.,练习,二次函数的图象与性质,【例2 】已知函数 f(x)x22ax3

5、，x4, 6 (1)当a2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围,使yf(x)在区间4, 6上是单 调 函数； (3)当a1时, 求f(|x|)的单调区间,应有a4或a6，即a6或a4.,二次函数的图象与性质,(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型： 轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论； (2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解,已知函数f(x)4x24ax4aa2在区间0, 1内有一个最大值5，求a的值,二次函数的综合应用,【例3】 若二次函数

6、f(x)ax2bxc (a0) 满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1. (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间1, 1上，不等式 f(x)2xm恒成立, 求实数m的取值范围,解:(1)由f(0)1得，c1. f(x)ax2bx1. 又f(x1)f(x)2x， a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x， 即2axab2x， 因此，f(x)x2x1.,(2) f(x)2xm等价于x2x12xm， 即x23x1m0. 要使此不等式在1,1上恒成立, 只需g(x)min0, x1, 1 即可,二次函数的综合应用,g(x)x23x1m在1, 1上单调递减， g(x)ming(1)m1， 由m

7、10得，m1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(,1),二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点,02,分类讨论在二次函数中的应用,(1)求a的取值范围，是寻求关于a的不等式，解不等式即可； (2)求f(x)的最小值，由于f(x)可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起 (3)对a讨论时，要找到恰当的分类标准,02,分类讨论在二次函数中的应用,分类讨论的思想

8、是高考重点考查的数学思想方法之一.本题充分体现了分类讨论的思想方法.在解答本题时有两点容易造成失分:一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论.除此外,解决函数问题时，以下几点容易造成失分： 1.含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误； 2.分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出大小关系； 3.解一元二次不等式时,不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起,思路受阻.,02,分类讨论在二次函数中的应用,作业布置,作业纸:,课时规范训练:P.1-2,预祝各位同学， 2013年高考

9、取得好成绩!,一、选择题,二、填空题,A组专项基础训练题组,三、解答题,一、选择题,二、填空题,B组专项能力提升题组, ,涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a0)的实根分布问题, 一般情况下要从四个方面考虑:, f(x) 图象的开口方向;,方程 f(x)=0的判别式;,区间端点处函数值的符号., f(x) 图象的对称轴与区间的关系;,1. 二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 实根分布问题,忆 一 忆 知 识 要 点,方程 f(x)=0 有两正根 ,方程 f(x)=0 有两负根 ,方程 f(x)=0 有一正根一负根 ,忆 一 忆 知 识 要 点,记 f(x)=ax2+bx+c(a0)

10、,1. 二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 实根分布问题,2. 二次函数图象和性质,二次函数 y=ax2+bx+c (a0),(1)开口方向: a0时,开口_,a0时,开口_,向上,向下,(2)顶点、对称轴：,顶点坐标为_ ;对称轴方程为_ .,(3)与坐标轴的交点 与y轴的交点是_; 当0时，与x轴两交点的横坐标x1、x2分别是方程ax2 bxc0的两根且|x1-x2|=_; 当0时,与x轴切于一点_; 当0时，与x轴_,不相交,(0, c),(4)在对称轴的两侧单调性相反.,(5)当b=0时为偶函数,当b0时为非奇非偶函数.,有两不等实根x1, x2,x|xx2,有两相等 实根x1=x

11、2,无实根,x|xx1,R,3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系,x|x1xx2,4. 不等式 ax2+bx+c0 恒成立问题, ax2+bx+c0在R上恒成立 , f(x)=ax2+bx+c0(a0) 在 m, n 上恒成立, f(x)min0(xm, n), ax2+bx+c0在R上恒成立 ,f(x)=ax2+bx+c0) 在 m, n 上恒成立,对勾函数,奇偶性:奇函数,单调性,【例1】 已知函数 在区间0, 1 上的最大值是2，求实数 a 的值.,对称轴为,当0 1，即0a2时，,得a=3或a=-2,与0a2矛盾.不合要求；,当 0，即a0时，y在0，1上单调递减，

12、,有ymax=f(0)=2，,当 1，即a2时，y在0，1上单调递增，,综上，得,有ymax=f(1)=2,已知函数f(x)=-x2+8x,求函数f(x)在区间 t, t+1上的 最大值h(t). 解： f(x) =-x2+8x=-(x-4)2+16. 当t+14时，f(x)在t,t+1上单调递减. 此时h(t)=f(t)=-t2+8t.,综上可知,练一练,例2.设不等式 mx2-2x- m+10 对于满足|m|2的一切值都恒成立，求实数 x 的取值范围.,解：设 f(m)=mx2-2x-m+1,【点评】解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围

13、，谁就是参数.,则 f(m)是一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当-2m2时，线段在x轴下方,所以实数 x 的取值范围是,【1】,练一练,与直线y=k有交点,【2】若方程x2-2x=k在区间-1,1上有解,则实数k的取值范围为_.,-1k3,由图象，得,练一练,【3】方程x2-mx+1=0的两根为,且 则实数m的取值范围是_.,练一练,由图可知，,方法2:设f(x)=x2-mx+1, 则 f(0)=1.,【3】方程x2-mx+1=0的两根为,且 则实数m的取值范围是_.,练一练,例3.已知函数f(x)|x24x3|. (1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性； (2

14、)求集合Mm|使方程f(x)mx有四个不相等的实根.,(2)由图象可知，yf(x)与ymx图象有四个不同的交点，直线ymx应介于x轴与切线l1之间.,解:,作出图象如图所示.,(1)递增区间为1,2和3，)， 递减区间为(，1和2, 3.,得 x2(m4)x30.,由0，得,当 时，,舍去.,所以集合Mm|0m42 .,例3.已知函数f(x)|x24x3|. (1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性； (2)求集合Mm|使方程f(x)mx有四个不相等的实根.,则问题转化为,mg(x)min,解：m-2x2+9x在区间2，3上恒成立，,（1）变量分离法(分离参数),例4. 关于x的不等式 在区间 2, 3上恒成立,则实数m的取值范围是_.,不等式恒成立问题,【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题,问题等价于f(x)max0,解：构造函数,（2）转换求函数的最值,例4. 关于x的不等式 在区间 2