八年级数学竞赛培优专题及答案21 梯形VIP

1、 专题21 梯形 阅读与思考 梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特殊四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直角梯形等相关概念及性质.解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加辅助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的辅助线的方法有：（1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰）；（2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线）；（3）过较短底的一个顶点作另一底的垂线；（4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形如图所示： 例题与求解【例1】如图，在四边形ABCD中，AB/CD，D2B，AD和CD的长度分别为，那么AB的长是_. （荆州市竞赛试题）解题思路：平移一腰，构造平行四

2、边形、特殊三角形 【例2】如图1，四边形ABCD是等腰梯形，AB/CD由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形（1）求四边形ABCD四个内角的度数；（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图 （山东省中考试题） 解题思路：对于（1）、（2），在观察的基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关系，从作出梯形的常见辅助线入手；对于（3），在（2）的基础上，展开想象的翅膀，就可设计出若干种图形 【例3】如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ABDC，且ACBD，AF是梯形

3、的高，梯形的面积是49cm2，求梯形的高. （内蒙古自治区东四盟中考试题） 解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手 【例4】 如图，在等腰梯形ABCD中，AB/DC，AB998，DC1001，AD1999，点P在线段AD上，问：满足条件BPC900的点P有多少个？ （全国初中数学联赛试题） 解题思路：根据ABDCAD这一关系，可以在AD上取点构造等腰三角形 【例5】 如图，在等腰梯形ABCD中，CD/AB，对角线AC，BD相交于O，ACD600，点S，P，Q分别为OD，OA，BC的中点 （1）求证：PQS是等边三角形；（2）若AB5，CD3，求PQS的面积；（3）若P

4、QS的面积与AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等. 【例6】如图，分别以ABC的边AC和BC为一边，在ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半 （山东省竞赛试题） 解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质关键是要构造能运用条件EPPF的图形 能力训练A 级1. 等腰梯形中，上底：腰：下底1：2：3，则下底角的度数是_.（天津市中考试题）2. 如图，直角梯形ABCD中，ABBC，AD3，BC5，将

5、腰DC绕点D逆时针方向旋转900至DE，连接AE，则ADE的面积为_. （宁波市中考试题） 3如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CD，A，12，且梯形的周长为30cm，则这个等腰梯形的腰长为_. 4.如图，梯形ABCD中，AD/BC，EF是中位线，G是BC边上任一点，如果，那么梯形ABCD的面积为_. （成都市中考试题）5.等腰梯形的两条对角线互相垂直，则梯形的高和中位线的长之间的关系是 ( ) A B C D无法确定 6. 梯形ABCD中，AB/DC，AB5，BC，BCD，CDA，则DC的长度是( ) A . B8 C. D. E. （美国高中考试题） 7如图，在等腰梯形ABCD中，ACBC

6、AD，则DBC的度数是 ( ) A.300 B.450 C.600 D.900 （陕西省中考试 8如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，AD2，BCDC5，点P在BC上移动，则当PAPD取最小值时，APD中边AP上的高为( )A B C D3 （鄂州市中考试题）9如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ABCD，点P为BC边上一点，PEAB，PFCD，BGCD，垂足分别为E，F，G求证 ：PEPFBG（哈尔滨市中考试题） 10. 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，E，F分别为AB，AC中点，BD与EF相交于G求证： 11.如图，等腰三角形ABC中，ABAC，点E、F分别是AB、A

7、C的中点，CEBF于点O求证：（1）四边形EBCF是等腰梯形； （2） （深圳市中考试题） 12.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，过点E作EF/BC交CD于点F，AB4，BC6，B（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN/AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP 当点N在线段AD上时（如图2），PMN的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；若改变，请说明理由 当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由 （江西省中考试题) B

8、级1. 如图，在梯形ABCD中，AB/DC，ADBC，AB10，CD4，延长BD到E，使DEDB，作EFAB交BA的延长线于点F，则AF_.（山东省竞赛试题） 2.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABDC10cm，AC与BD相交于G，且AGD，设E为CG中点，F是AB中点，则EF长为_.（“希望杯”邀请赛试题）3.用四条线段：作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为_. （湖北赛区选拔赛试题）4.如图，梯形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O点，且AO：CO3：2，则两条对角线将梯形分成的四个小三角形面积之比为_. （安徽省中考试题） 第4题图 第5题图 第6题

9、图5.如图，在四边形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，若DEC的面积为S，则四边形ABCD的面积为 ( )A B2S C D （重庆市竞赛试题）6.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，B，C，E，M，F，N分别为AB，BC，CD，DA的中点，已知BC7，MN3，则EF的值为 ( )A4 B C5 D6 （全国初中数学联赛试题）7. 如图，梯形ABCD中，AB/DC，E是AD的中点，有以下四个命题：若ABDCBC，则BEC；若BEC，则ABDCBC；若BE是ABC的平分线，则BEC；若ABDCBC，则CE是DCB的平分线.其中真命题的个数是 ( )A1个 B2个 C3个 D4个 （重庆市竞

10、赛试题） 8.如图，四边形ABCD是一梯形，AB/CD，ABC，AB9cm，BC8cm，CD7cm，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于 ( )A1cm B1.5cm C2cm D2.5cm （“希望杯”邀请赛试题）9.如图，在梯形ABCD中，AB/DC，M是腰BC的中点，MNAD.求证：（山东省竞赛试题） 10.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M.求证：点M为EF的中点.（全国初中数学联赛试题） 11.已知一个直角梯形的上底是3，下底是7，且两条对角线的长都是整数，求

11、此直角梯形的面积.（“东方航空杯”上海市竞赛试题）12.如图1，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形OABD的边BD的三等分点（）交AB于E，AB12，四边形OEBF的面积为16.（1）求值.（2）已知，点P从A出发以0.5cm/s速度沿AB、BD向D运动，点Q从C同时出发，以1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，经过多少时间，四边形PQCB为等腰梯形（如图2）.（3）在（2）条件下，在梯形PQCB内是否有一点M，使过M且与PB，CQ分别交于S，T的直线把PQCB的面积分成相等的两部分，若存在，请写出点M的坐标及CM

12、的长度；若不存在，请说明理由. 专题21梯形例1 ab例2上底角为120，下底角为60；梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长；能拼出菱形，以下图形供参考：例3 7cm提示：过A作AEBD交CB延长线于E，则SAECS梯形ABCD.例4(1）如图a，若E为AD中点，则BEC90且CE,BE分别平分BCD，ABC；如图b，在BC上取一点M，使ABMB，连结AM,DM，则AMD90；如图c，将a，b组合，则四边形GEHM为矩形.图a 图b 图c当P为AD中点时，可以证明BPC90；在AD上截取APAB，可以证明BPC90，故满足条件BPC90的点P有2个.例5连结SC,PB.OCD,OAB均为等边三

13、角形，S，P，Q分别为OD,OA,BC中点，SQBCADSPPQ.故SPQ为等边三角形.SBDOOB,CS,BC7.SPQ的边长SQBC.SSPQ()2.(3）设CDa，ABb(ab),BC2SC2BS2(a)2(b)2a2b2ab.SSPQ(a2abb2).又，则SAODab.又,则SAODab.,8 (a2abb2)7ab.即2a25ab2b20，化简得. 故CD：AB1:2.例6如图，分别过E,F,C,P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ就是点P到AB的距离，且有ERPQCTFS，故四边形ERSF为直角梯形，PQ(ERFS).易证RtAERRtCAT，RtBFSRtCBT，E

14、RAT，FSBT，又ATBTABERFS，故PQAB.A级1.602.3 3.6cm 4.8cm2 5.B 6.D 7.C8.C提示:如图，作点D关于直线BC的对称点D，连结DD交BC于E，连结AD交BC于P，过D作DFAP于F,故PAPD此时最小.由BEAD2，EC3，则可得：DE4，DD8,则AD2.又ADDFADDD,则DF.9.提示：过P点作PQBG于Q，证明PEBQ.10.提示：连结DF并延长交于BC于H，则GFBH，ADCH. 11.略12.当点N在线段AD上运动时，PMN形状不发生改变，其周长为4.当点在线段DC上运动时，PMN的形状发生改变，但恒为等边三角形，过E作于。当时，；当时，；当时，B级1.4 2.5cm3. 10.5 提示：以7，14作两底的梯形中位线最长4. 6：4：6：9 5. B 6. A 7.D8. C 提示：连结，则，