生技 第一章 刚体的定轴转动

1、普 通 物 理 学,主讲：赵 新 丽1、学习好,2、身体好,3、心情好,几点希望,普通物理学（陈仲本 主编） 1、倪光炯 改变世界的物理学复旦大学 1998 2、金仲辉 大学物理基础 科学出版社 2000 3、马文尉 物理学 高教出版社 2000,课本教材及参考书,本课程一学期48课时，每周3课时,课程教学安排,为什么要学大学物理,内容：中学介绍特殊规律； 大学介绍普遍规律,数学工具：中学应用初等数学； 大学应用高等数学,爱因斯坦： “兴趣是最好的老师。,课程的学习方法,I hear,I forget. I see, I remember. I do, I under

2、stand.,听到了,过眼烟云,看见的,铬记在心,做过的,刻骨铭心,1、与老师同步 + 简练的笔记,2、(适当预习)+ 复习 + 作业 + 总结,作业要求,1、作业要求每周交一次，用作业纸,2、独立完成全部作业，及时上交作业。全学期作业次数不满三分之二，不准参加期末考试。 作业本上写上班级、姓名、 学号,3、作业要整洁条理，不准抄袭作业，否则重做,4、选各班课代表,1、抄题目,习题格式,2、要求说明已知条件并画图,3、列公式、推导，推导有简单文字说明,4、中间步骤用字母表示，最后结果方代入数字进行运算,5、运算结果有效数字23位，一般使用国际单位制,平时成绩30% + 期末考试70,课程考核方

3、法和纪律要求,平时成绩主要以平时上课出勤情况,平时作业完成情况，课堂纪律和回答问题情况而定,注意事项,一）函数,1函数、导数与微分,1、设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果 当x在数集D内任意取一数值时，y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，x叫做自变量，函数y叫做因变量。 记为： yf（x,D为自变量的变化范围，称作函数f（x）的定义域,与定义域D内的x对应的所有的函数值称为y的值域R,2、若y为z的函数，有yf（z）；而z又是变量x的函数，即zg（x），则称y为x的复合函数，记作： y（x）f (z)=f g（x） 其中zg（x）称为中间变量,例如：简谐振动可表示为xAco

4、st，这里可将x视为时间t的复合函数，将t视为中间变量,3、x和y两个变量之间的关系，可以用平面上的曲线来表示,所以满足 yf（x）的点的坐标（ x，y ）的集合就够成一条曲线，称为函数的图形，也称为函数的轨迹,4、函数的极限 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数值，那么这个确定的数值就叫做在这一变化过程中函数的极限,1、当自变量x由x0变化到x1 ，x0与x1取之差称为自变量x的增量，记作x,二）导数,xx1x0,相应地函数y的数值y0 = f（x0）变到 y1 =f（x1），于是,函数y的增量为,yf（x0 x）f（x0,则y与x之比,y/xf（x0 x）f（x

5、0）/x,叫做函数 yf（x）在x0到x0 x之间的平均变化率,y/xf（x0 x）f（x0）/x,叫做函数 yf(x)在x0到x0 x之间的平均变化率,y,0,x,x0,x0 x,x,y,yf（x,P0,P1,在函数图形上，它就是由P0和P两坐标点决定的割线的斜率,2、若当x0时，y/x极限存在，则称f （x）在xx0处可导，并把该极限称作f （x）在x0处的导数,记作f(x0,即,说明：函数yf（x）在x0处的导数，就是函数yf（x）在x0附近的平均变化率当自变量增量x0时的极限，它反映着在x0处函数yf（x）随自变量而变的增减趋势和变化快慢,3、若函数在某一区间内各点均可导，则在该区间内

6、每一点都有函数的导数与之对应，于是导数也成为自变量的函数，称作导(函)数，可记作f（x）、y或dy/dx，有,4、函数f（x）的导数 仍旧是x 的函数， 对 x的导数 称作f（x）对x的二阶导数，可记作 或d2y/dx2,5、导数的几何意义：函数yf（x）在x0处的导数等于点x0，f（x0）处 f（x）曲线切线的斜率,x0, f( x0 ),y= f(x0)= kx+b,1,1,6、基本导数公式： （1）根据导数定义，计算几个 简单函数的导数,c0,求y=f(x)=c（常数）的导数,II. 求ykxb的导数,y(kxb) =k,k,III. 求yx2 的导数,y(x2) =2x,c0 (kxb

7、) =k (x2) = 2x (x ) =x -1,sinx) =cosx (cosx)=-sinx (lnx)=x1 (ex)ex,2）常用导数公式,7、导数基本运算法则，其中u、v均为x的函数,y=f(u)，u（x），即y为x的复合函数:yf（x,uv)uvuv；(cu)cu（c为常数,uv)uv,1、若函数yf (x)在点x处可导，则函数yf (x) 在点x处的导数f (x) 与自变量的增量x 的乘积称作函数f(x)在点x处的微分，记作dy，即,三）微分,2、逆运算：f(x)dxdy也要能认识,要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分,dyf(x)x 或 dyyx,将x记

8、作dx，称作自变量的微分,于是有 dy f(x) dx 或 dyydx,2 积 分,2.1 原函数,若函数F(x)的导数是f（x），即,F(x) f（x,则称F(x) 为 f（x）的原函数,因为常数的导数为零，所以如果F(x) 为 f（x）的原函数，那么F(x) +C也为 f（x）的原函数,因此，如果 f（x）有原函数，它就是一个原函数族,2.2 不定积分,求函数 f（x）的所有原函数叫做f（x）的不定积分,记作,用F(x) +C表示 f（x）的一个原函数，则f（x）的不定积分表达式为,积分常数,很明显，求不定积分实际上就是求导数的逆运算,积分号,被积函数,积分变量,常用基本积分公式,1,2,

9、3,5,6,7,4,1、曲边梯形面积,由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所 围成的图形,y=f(x,a,b,0,x,y,怎样求面积呢,2.3 定积分,1）分割：将曲边梯形分成许多细长条,在区间a,b中任取若干分点,把曲边梯形的底a,b分成n个小区间,过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为,x,y,0,y=f(x,2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形,x,y,0,y=f(x,3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一 个近似值,把n个小矩形的面积相加得和式,它就是曲边梯,形面积A的近似值，即,x,y,0,y=f(

10、x,4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之 和的极限 就是曲边梯形面积A的精确值,小区间长度最大值趋近于零，即| | 0（| |表示,这些小区间的长度最大者）时，和式 的,分割越细， 就越接近于曲边梯形的面积A，当,极限就是A，即,可见，曲边梯形的面积是一和式的极限,x,y,0,y=f(x,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,四个小矩形,九个小矩形,解决问题的基本思路：变“曲”为“直,2、定积分的定义,定义： 设函数y=f(x)在区间a,b上有定义。在区间 a,b中任取分点,将区间a,b分成n个小区间 ，其长度为,1,如果不论对区间a,b采取何

11、种分法及 如何选取，当 n个小区间的长度最大的趋于零，即 时，和 式（1）的极限存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积， 并称此极限值为函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作,即,x,y,0,y=f(x,积分上下限,被积函数,积分变量,3）定积分的几何意义就是由函数曲线、自变量坐标轴以及积分上、下限所决定曲边梯形的面积,定积分的实质 ：和式的极限,定积分的思想方法,求近似以直（不变）代曲（变,取极限,小结,3定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有,4规定,注,2、运算法则,1）对调积分上下限则积分改变符号,2） 被积函数常数因子可以提到积分符号前面,3）两个函数的和或差在a,b上的定

12、积分，等于这两个 函数在a,b上定积分的和或差,4）如果区间a,b分成两个区间a,c及c,b则,二）定积分的基本公式以及运算法则,牛顿莱布尼兹公式,例1,解,物理量可以按其是否具有空间方向性来分类,矢量的大小等于 1 的矢量 单位矢量,需要以大小和方向表示的物理量 矢量， 如：速度、加速度、力,只有大小而无方向的量 标量，如： 温度、质量、体积,一、矢量定义,用有向线段表示矢量： 长度表示其大小，箭头表示其方向,矢量平移时大小和方向不变,矢量加法的平行四边形法则,通常将这种用平行四边形的对角线来求出两矢量和的方法叫矢量加法的平行四边形法则,二、矢量的加法,三、矢量的减法,两矢量相减，要将它们移

13、到一个共同的起点，然后从减项矢量的终点向被减项矢量的终点所引的矢量即为所求之差,解析法,将矢量沿直角坐标轴分解，各分矢量叫分量 只需用带正号或负号的代数值表示,两矢量相乘得到一个标量 标积。其定义为,四、矢量的标积(点乘,若 两矢量垂直,两矢量相乘得到一个矢量 矢积,五、矢量的矢积(叉乘,大小,方向：右手螺旋法则,第一章 连续体力学 continous medium mechanics,1、连续体,2、连续体力学,固体、液体、气体统称,不考虑物质的离散性质,把物质当作是均匀分布在一定空间区域里,从宏观上研究连续体的运动规律及力学性质,刚体运动的描述,力矩 刚体定轴转动定理,定轴转动刚体的动能

14、动能定理,第一节 刚体的定轴转动,刚体的角动量定理,刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平行的运动，叫做平动,在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物体称为刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变,1. 理想模型,1.1.1 刚体的运动,一、刚体,2. 在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移,3. 内力对刚体运动不起作用,二、刚体的平动和转动,1.刚体平动,A,B,刚体的平动,因为在平动时刚体上各点的运动轨迹、各时刻的位移、速度、加速度都相同,刚体平动：用线量如坐标、速度、加速度描述,整个刚体可当作质点来处理,定轴转动: 若轴线固定不动，则称定轴转动,2.刚体转动,刚体上所有点都绕

15、同一直线作圆周运动,刚体的一般运动可视为平动和转动的合成运动,滚动轴心的平动 + 绕轴心的转动,抛体质心的抛物线运动 + 绕质心的转动,转轴,刚体定轴转动的特点,1、刚体上各质元都在做圆周运动，但各质元到转轴的距离和速度却不一定相同,2、各质元做圆周运动的平面与转轴垂直，圆心在其轴线上,3、各质元所在位置到转轴的垂直连线，在相同的时间内转过的角度相同,y,刚体定轴转动：用角量如角位移、角速度、角加速度来描述,1、 刚体转动的角速度和角加速度,三、刚体运动的描述,角坐标,角位移,角速度,单位：rad s -1,平均角速度,单位：rad,角速度矢量,位置矢量,约定,沿逆时针方向转动,沿顺时针方向转

16、动,在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向,为恒量时，刚体做匀变速转动,角加速度,平均角加速度,1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面,定轴转动的特点,2） 任一质点运动 均相同，但 不同,3） 运动描述仅需一个坐标,2、角量与线量的关系,x,d,ds,P,y,O,P,P点路程与刚体角位移关系,P点速度与刚体角速度关系,P点切向加速度与刚体角加速度关系,P点法向加速度为,例1、一半径为R的飞轮以角加速度作匀变速转动，t=0时，飞轮的角速度为0 ，角坐标为0.求,解,飞轮的角速度与角坐标；在飞轮边缘上一点的速度、切向加速度和法向加速度,时刻 t 在飞轮边缘上一点的速度为,切向加速度和法向加速度

17、分别为,刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比,哪个力容易 将门关好,1.1.2 刚体定轴转动定理,一、力矩(对于力在垂直于转轴的平面的情况,力矩的表示式,大小,方向,注意,单位：N m,一、力矩(对于力在垂直于转轴的平面的情况) 1、定义：转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积,d,2、注意：合力矩 合力的力矩,合力矩为零，合力不一定为零,力矩 合力,中心力（过转轴的力）的 力矩 0,2、注意：合力矩 合力的力矩 合力矩=力矩的和 (矢量和） （对定轴转动而言为代数和,2、注意：合力矩 合力的力矩 合力矩=力矩的和 (矢量和） （对定轴转动而言为代数和） 合力为零，合力矩不一定为零,问：一

18、对作用力与反作用力的力矩和等于多少,零,由此推知：质点组对任一轴的内力矩之和为零,当力不在垂直于转轴的平面内,只有与转轴垂直的分力 对转动起作用,问题,与转轴垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；(为什么?) 与转轴平行的力对转轴不产生力矩；(为什么?) 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。(为什么,二、转动动能 转动惯量,刚体转动角速度，各质点到转轴的距离分别为,据,刚体转动动能,1、转动动能,2、转动惯量,与质点运动的动能 比较,定义 J为 转动惯量,刚体转动动能,物理意义：转动惯性的量度,转动惯量的影响因素,刚体质量,转动惯量与质量分布（刚体形状、大小及各部分密度）有关,转动惯量与转轴位置

19、有关,质量离散分布的物体,转动惯量的计算,例 如图,可视为 质点,质量连续分布的物体,哪种握法转动惯量大,例2、有一均匀细杆，杆长为 l ，质量为 m 。设转轴 OO 通过杆的中心且与杆垂直，杆绕轴转动，求转动惯量 J=,o,O,O,x,解：取x 轴方向如图，杆的线密度为 = m/l,在距离坐标原点 x 处取质元dm,x,dx,dm = dx ，则,若将转轴移到棒的一端点，求 J=,仍有质元 dm= dx，（ =m/l,x,O,o,O,x,dx,例3、求质量为m ，半径为R 的薄圆盘对过圆心垂直于盘面的转轴的转动惯量,解：圆盘的面密度为 = m/(R2,注意： 转动惯量的计算只能对规则物体进行

20、，不规则的物体的转动惯量通常只能用实验的方法测量,即圆盘对其中心轴的转动惯量为 J = mR2/2,解：圆盘的面密度为 = m/(R2) 取一半径为 r ，宽为 dr 的圆环为质元 dm = 2rdr,竿子长些还是短些较安全,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘,几种常用简单几何形状、密度均匀物体的转动惯量,设一刚体绕定轴转动，某质元受内力 和外力 作用,矢量式： 法向式： 切向式,转轴,以 乘切向式两端,3、定轴转动定理,静止刚体在力的作用下，如果力矩不等于零，将转动，角加速度与力矩的有什么关系,将乘 后的切向式求和得,刚体所受的合外力矩,内力不改变角动量,刚体定轴转动定理,注意：（1）M, J

21、, 均对同一轴而言， （2）改变刚体转动状态的是力矩； （3）转动惯量是刚体转动惯性的度量,或,刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比 ,角加速度的方向与合外力的方向相同,刚体的定轴转动定理,与牛顿第二定律比较,牛顿第二定律与转动定律的对应关系,物理量：质点 m 刚体 J,M,规 律：质点 牛顿第二定律 刚体 转动定律,不一定,问：力矩 M 大，是否 大,不一定,大，是否 M 大 ,M 大，大， 的变化大。 可为0,大，并不代表它的变化大，有可能它的M = 0，匀角速转动。,转动定律的应用,基本步骤,隔离法选择研究对象,受力分析和运动情况分析,对质点用牛顿定理

22、，对刚体用转动定理,建立角量与线量的关系，求解方程,例4 如图一轻绳跨过一固定在斜面顶端的定滑轮，斜面的倾角，滑轮为均质元盘，绳的两端分别连着一质量为m1、 m2的物体， m2m1设滑轮的质量为m半径为R，设滑轮和轴无摩擦，绳子与滑轮间无相对滑动m1与斜面的摩擦系数为.求物体的加速度和绳的张力,解: 受力图,由牛顿第二定律和定轴转动定理列方程,由牛顿第二定律和定轴转动定理列方程,得解,例5. 一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量 为 m1 和 m2 的物体，m1 m2 ，滑轮的 质量为 m ，半径为 R，所受的摩擦阻 力矩为 r ，绳与滑轮间无相对滑动。 试求：物体的

23、加速度和绳的张力,已知： m1，m2 ，m， R ，r,求,解: 研究对象 m1 ，m2 ，m,建立坐标，受力分析 如图,对各隔离体写出运动方程,对m1,对m2,对m,联立求得,注意：当不计滑轮的质量 及摩擦阻力时,这便是中学所熟知的结果,问：如何求角加速度,根据 可求得,所以刚体的转动动能,1、转动动能 刚体转动时，各质点都绕定轴作圆运动，都具有动能。刚体的转动动能就等于刚体中所有质点的动能之和。 第i 个质点的动能为 1/2mivi2 = 1/2mi ri22 则刚体总动能为,与平动动能形式相同，量纲也相同，单位也相同,1.1.3 刚体转动的功和能,合外力 对 刚体所作的微功,与互余,3、

24、力矩的功,1.1.3 刚体转动的功和能,路径由ab，力F做功为,a,b,ds,F,q,2、变力对曲线运动的功,当刚体在F 力作用下，从1 转到2 时所作的功为,因为外力的功也就是外力矩的功，所以有,转动动能定理,使用中应注意,E k 转 是相对量； 转动动能定理的表达式为标量式。 应用该定理时只需分析始态与末态,合外力矩对绕定轴转动的刚体所做的功等于它的转动动能的增量,只有重力作功时，机械能守恒，即,4、机械能守恒定律,例6. 一质量为 m 长为 L 的均匀细棒 OA 可绕通过其一端的光滑轴 O 在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时质心 C 和端点 A 的线速度

25、,解法一（1）研究对象：细棒,受力分析,不考虑,力矩,用动能定理作,0,方向：向左,因,解法二 用机械能守恒：（刚体只有重力矩作功,回顾 “刚体运动”中,匀加速定轴转动公式,线量和角量的关系,定轴转动定律,定轴转动的动能定理,若刚体转动过程中只有重力矩 作功，则 机械能守恒,1、 角动量,质点以角速度 作半径为 的圆运动，相对圆心的角动量,方向右手定则，大小,当刚体做定轴转动时，如图,1.1.4 刚体的角动量定理,刚体对定轴转动的角动量等于刚体中所有质点对转轴的角动量之和,由刚体的转动定律,2 、刚体的角动量,3、刚体的角动量定律,表明：刚体定轴转动的角动量等于 其转动惯量与角速度的乘积,刚体的角动量定理,刚体定轴转动的角动量守恒定律,当M = 0 时,即：刚体受外力矩为零时，动量矩（角动量）保持不变,4、刚体定轴转动的角动量守恒定律,外力矩的冲量矩 = 角动量的增量,表明：刚体对某给定轴所受的合外力矩等于刚体对该轴的角动量随时间的变化率,转轴过质心,注意