八年级数学竞赛培优专题及答案09 二次根式的概念与性质

1、专题09 二次根式的概念与性质阅读与思考式子叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有： 1说明了与、2一样都是非负数2（0）解二次根式问题的基本途径通过平方，去掉根号有理化 3 揭示了与绝对值的内在一致性 4 （0，0） 5 （0，0）给出了二次根式乘除法运算的法则 6若0，则0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础 运用二次根式性质解题应注意： （1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；（2） 要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边例题与求解 【例1】设，都是有理数，且满足方程，那么的值是_ （

2、“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题【例2】 当12，经化简，_解题思路：从化简被开方数入手，注意中0的隐含制约【例3】若0，0，且，求的值 （天津市竞赛试题） 解题思路：对已知条件变形，求，的值或探求，的关系【例4】若实数，满足关系式： ，试确定的值 （北京市竞赛试题） 解题思路：观察发现（199）与（199）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口 【例5】已知，求的值 （山东省竞赛试题） 解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.【例6】在ABC中，A

3、B，BC，AC三边的长分别为，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积 （1）请你将ABC的面积直接填写在横线上：_ （2）我们把上述求ABC面积的方法叫作构图法若ABC三边的长分别为，2，（0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的ABC，并求出它的面积 （3）若ABC三边的长分别为，2 （0，0，且）试运用构图法求出这个三角形的面积（咸宁市中考试题） 解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理

4、等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得图1 图2能力训练A级1要使代数式有意义则的取值范围是_ （“希望杯”邀请赛试题）2阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答已知为实数，化简 解：原式3已知正数，有下列命题：（1）若1，1，则1；（2）若，则；（3）若2，3，则；（4）若1，5，则3根据以上命题所提供的信息，请猜想：若6，7，则_ （黄冈市竞赛试题）4已知实数，满足，则（）的值为_5代数式的最小值是（ ） A0 B1 C1 D不存在6下列四组根式中是同类二次根式的一组是（ ） A和2 B3和3 C和 D和（“希望杯”邀请赛试题）7化

5、简的结果是（ ） A66 B66 C4 D4 （江苏省竞赛试题）8设是一个无理数，且，满足l0，则是一个（ ） A小于0的有理数 B大于0的有理数 C小于0的无理数 D大于0的无理数 （武汉市竞赛试题）9已知，其中0，求的值 （山东省中考试颗）10已知与的小数部分分别是，求的值 （浙江省竞赛试题）11设，为两两不等的有理数求证：为有理数（北京市竞赛试题）12设，都是正整数，且使，求的最大值 （上海市竞赛试题）B级1已知，为实数，y，则56_2已知实数满足，则19992_3正数，满足42443，那么的值为_ （北京市竞赛试题）4若，满足37，则=的取值范围是_ （全国初中数学联赛试题）5已知整数

6、，满足250，那么整数对（，）的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 （江苏省竞赛试题）6已知1，那么代数式的值为（ ） A B C D （重庆市中考试题）7设等式在实数范围内成立，其中，是两两不同的实数则代数式的值为（ ） A3 B C2 D8已知，则的值为（ ） A3 B4 C5 D69 设，是实数，若24614，求 的值（北京市竞赛试题）10已知33cz3，1，求证：11已知在等式中，都是有理数，是无理数求：（1）当，满足什么条件时，是有理数，（2）当，满足什么条件时，是无理数（“希望杯”邀请赛试题）12设，求不超过的最大整数s13如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作ABBD，E

7、DBD，连结AC，EC，已知AB5，DE1，BD8，设CD（1）用含的代数式表示ACCE的长；（2）请问点C满足什么条件是ACCE的值最小？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值（恩施自治州中考试题）专题09 二次根式的概念与性质(3)构造ABC如图b所示，.A级1.2. 不正确，正确的答案是3. 4. 5.B 6.D 7.D 8.B 9. 10.11. 提示:设法证明12.都为整数，必为整数.设得即=216=454=2108.当时，的值最大，最大值为108.B 级1.-16 2.2000 提示：由得 3. 4. 提示： 5.D6.D 提示：由得 7.B 8.C 9.6610.提示：令,则11.(1)当时，是有理数;当时，,其中是有理数，是无理数,是有理数;要使s为有理数，只有，即.综上知，当且时，s是有理数.(2)当时，且是无理数;当时，,其中是有理数，是无理数，是有理数，所以，当，即为无理数.综上知，当或是无理数. 12. .13.(1)AC+CE=.(2)当A,C,E三点共线时，AC十CE的值最小.(3)如图，作BD=12，过点B作ABBD，过点D作DEBD，且使