质子-质子碰撞下末态判定强子横动量谱的标度行为-陕西师范大学

1、分类号: O572.2 本科生毕业论文(设计)题目：质子-质子碰撞下末态判定强子横动量谱 的标度行为 作者单位陕西师范大学作者姓名乔一凡专业班级物创1301作者学号41306223指导教师（职称） 张文超（副教授）论文（设计）完成时间二零一七年五月学位论文原创性声明本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行研究工作所取得的研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人或他人已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。本学位论文若有不实或者侵犯他人权利

2、的，本人愿意承担一切相关的法律责任。作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文知识产权及使用授权声明书本人在导师指导下所完成的学位论文及相关成果，知识产权归属陕西师范大学。本人完全了解陕西师范大学有关保存、使用学位论文的规定，允许本论文被查阅和借阅，学校有权保留学位论文并向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，有权将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本论文。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师范大学。保密论文解密后适用本声明。作者签名： 日期： 年 月 日摘 要在高能碰撞中会有大量的末态粒子产生，对这些末态粒子的横动量

3、谱进行研究有助于了解粒子的产生机理。本文将在末态带电强子中观察的横动量分布的标度行为推广到质心系能量（）为0.9、2.76和7 TeV的质子-质子碰撞产生的介子、介子和质子的横动量谱中，从而了解质子-质子碰撞中末态粒子的产生机制。对横动量进行线性变换，即，将该变换应用于介子、介子和质子的横动量谱中，这种标度行为的标度参数取决于质心系能量，其值可用一种新的方法确定品质因子法，这种方法不依赖于标度函数的形状，因此更具有广泛性。由于介子、介子和质子来源于弦重叠形成的不同团簇，因此这些判定粒子横动量谱的标度行为可以用弦重叠模型进行定量的解释。本文的第一部分对文中所涉及的基本概念进行简单的阐述，然后说明

4、本文的主要任务；第二部分中，本文将阐述寻找判定粒子横动量谱标度行为的步骤，并且具体描述介子、介子和质子的标度行为；第三部分将应用弦重叠模型对判定粒子的标度行为进行定量的解释；最后，在第四部分对本文进行总结。关键词：质子-质子碰撞，标度行为，判定强子，弦重叠模型AbstractThere are many final state particles in high energy collisions. From the spectra of these identified particles, we can learn about the regularities of the particl

5、e productions. In this paper, in order to know the mechanism of final state particles produced in pp collisions, we will extend the scaling behaviour to the spectra of pions, kaons and protons produced in proton-proton collisions with the center of mass energies() at 0.9, 2.76 and 7 TeV.We transform

6、 transverse momentum to , and apply this linear transformation on pions, kaons and protons spectra. The scaling parameter depends on , and its value can be determined by a new method, the quality factor method, which is independent of the shape of scaling function. Therefore, this method is more rob

7、ust. We think that pions, kaons and protons originate from different clusters distributions, and the clusters are formed by strings overlapping. We also argue that the scaling behaviour of the spectra for identified hadrons can be explained by the colour string percolation model in a quantitative wa

8、y.In the first part, we will describe the basic concepts involved in this paper, as well as the main task. In the second part, we will illustrate the method to search for the scaling behaviours, and describe the scaling behaviou of identified pions, kaon and protons. The third part explains the scal

9、ing behaviour of the identified particles with the colour string percolation model in a quantitative way. Finally, we will make a conclusion in the fourth part.Key Words: pp collisions, Identified hadrons, Scaling behaviour, Colour string percolationII目 录摘 要IAbstractII1 引言11.1 介子、介子和质子11.1.1 夸克11.1.

10、2 夸克的性质21.1.3 介子31.1.4 介子41.1.5 质子41.2 标度行为51.3 数据的获取52 介子、介子和质子横动量谱的标度行为82.1 寻找标度行为的方法82.2 介子、介子和质子横动量谱的标度行为93 弦重叠模型184 总结22参考文献23附录124致 谢27陕西师范大学本科毕业论文（设计）1 引言对于高能碰撞，研究不同末态粒子横动量谱是非常重要的课题之一。从这些横动量谱中可以了解已知的产生机制。本部分主要对本文的一些相关概念进行解释。1.1 介子、介子和质子在粒子物理学中，强子是一种由夸克组成的复合粒子，它由类似于电磁力的分子结合在一起的强大力量组成。强子分为两大类：介

11、子（玻色子）和重子（费米子）。重子是由三个夸克或者三个反夸克组成的复合粒子，它们的自旋为1/2，因此重子是费米子。常见的重子有，等。介子由三个夸克或反夸克组成，自旋为整数，因此介子是玻色子。常见的介子有，等。1.1.1 夸克对于任何物体，组成其结构的是分子，分子又由原子构成，原子核包括原子核和核外电子。原子核由质子和中子构成，质子和中子都由夸克和胶子组成。夸克、胶子和电子到目前为止没有发现更深层次的结构，因此被称为基本粒子。夸克是物质的基本粒子和基本组成部分，夸克相互结合形成的复合粒子称为强子，其中最稳定的是质子和中子。夸克具有各种内在特性，包括电荷、质量、色荷和自旋。在粒子物理学的标准模型中

12、，夸克是唯一能参与全部四种基本相互作用，即四种基本力（电磁力、引力、强相互作用力和弱相互作用力）的基本粒子。除此之外，夸克也是目前所知粒子中，唯一的所带电荷量不是元电荷的整数倍的粒子。已知的夸克有六种，分别是上夸克（u）、下夸克（d）、奇夸克（s）、桀夸克（c）、底夸克（b）和顶夸克（t）。已知的轻子也有六种，分别为电子（e）、缪子（）、陶子（）、电子中微子（e）、缪子中微子（）和陶子中微子（）上夸克和下夸克是所有夸克中质量最轻的。较重的夸克通过粒子衰变过程迅速转变成上夸克和下夸克：从高质量态向低质量态的转变。因此，一般而言，上夸克和下夸克是稳定的，同时也是宇宙中最常见的，而奇夸克、桀夸克、顶

13、夸克和底夸克则只能在高能碰撞中产生。对于每一种夸克味，都有相对应的反粒子，称为反夸克，与夸克大小相等符号相反。1.1.2 夸克的性质夸克的电荷值不是元电荷的整数倍，而是其1/3倍或者+2/3倍，随味而定。其中，上夸克，桀夸克以及顶夸克电荷为元电荷+2/3倍，称为上型夸克。而下夸克，奇夸克和底夸克电荷为元电荷的1/3倍，称为下型夸克。对于强子，其电荷为所有组成它的夸克的电荷数的总和。因此，所有强子的电荷数都是整数：重子（由三个夸克组成）、反重子（由三个反夸克组成）以及介子（由一个夸克配一个反夸克组成）他们的电荷值加起来都是整数。图1-1 基本粒子标准模型1自旋是基本粒子的一种内在禀性。夸克是一种

14、自旋为1/2的粒子。根据自旋统计理论，夸克为费米子。因此，夸克遵守泡利不相溶原理，即没有完全相同的两个费米子可以同时占据同一量子态。这与玻色子是不同的，对于玻色子，同一量子态可以有任意个完全相同的玻色子。与轻子不同，夸克具有色荷，这使它们之间具有强相互作用。由此在不同夸克之间产生的吸引力形成的复合粒子称为强子。在强子中决定量子数的夸克叫价夸克，除此之外，任何强子都可能包含不定数的虚夸克、反夸克以及不影响其量子数的胶子。基本费米子分为三代，每一代由两个夸克和两个轻子组成，如图1-1所示。由图1-1可以看出，第一代费米子包括上夸克和下夸克，第二代包括奇夸克和桀夸克，第三代包括顶夸克和底夸克。弱相互

15、作用是粒子物理学的四种基本相互作用之一，夸克只能通过弱相互作用由一种味转变为另一种味。任何上型夸克在转变为下型夸克的过程中都会吸收或者释放一W玻色子。1.1.3 介子在粒子物理学中，介子是以下三个亚原子粒子中的任何一个：、和。介子的自旋为0。在各种介子中介子是最轻的介子，由一个夸克和一个反夸克组成。、和的夸克组成如表1-1所示。介子夸克组成示意图如图1-2所示。表1-1 介子的夸克组成介子夸克组成图1-2 介子夸克结构21.1.4 介子介子也由一个夸克和一个反夸克组成。介子是不稳定的其寿命只有一亿分之一秒左右，它会以不同的方式分裂为更小的介子。介子有三种形式：、以及，表1-2所示为三种介子的夸

16、克组成。表1-2 介子的夸克组成介子夸克组成本文主要研究质子和质子碰撞。质子-质子碰撞中产生的主要粒子有介子、介子和质子，研究这三种粒子在不同质心能下横动量谱的标度行为从而了解粒子产生的机制是本文研究的主要内容。1.1.5 质子质子是自旋为1/2的费米子。其带电量为1.61019C，直径约为1.61.71015m。质子属于重子类，由两个上夸克和一个下夸克组成，他们通过胶子形成的强相互作用紧紧的联系在一起。图1-3为质子的夸克结构示意图。图1-3 质子夸克结构图31.2 标度行为质子与质子碰撞会产生大量的粒子，其中主要的粒子有介子、介子和质子。对不同能量下的判定粒子，其横动量谱是不同的。现对横动

17、量进行线性变化，使其横动量谱在水平方向上进行拉伸。再对其整体乘上某一个参数，在竖直方向上进行拉伸。通过选取适当参数和的值，将不同能量下粒子的横动量谱移到同一条曲线上，这就是本文中所要寻找的质子-质子碰撞中产生的判定粒子横动量谱的标度行为。研究粒子的标度行为有助于了解粒子的产生机制。这是因为对于任意粒子，由不确定关系可知因此，横动量反应了粒子的碰撞程度。1.3 数据的获取数据的获取是研究标度行为的基础环节。本文中0.9、2.76和7 TeV下质子-质子碰撞产生的介子、介子和质子横动量谱由欧洲核子中心的ALICE实验室公布得到。实验的横动量谱以及实验数据可以直接在网站http:/inspirehe

18、/上查询得到。图1-4 欧洲核子研究中心（CERN）LHC强子对撞机示意图4欧洲核子研究中心（CERN）是一个欧洲研究机构，经营着世界上最大粒子物理学实验室，该组织成立于1954年，位于日内瓦西北郊区的法国-瑞士边境。其大型强子对撞机LHC（large hadron cllider）是目前世界上能量最高的强子对撞机。欧洲核子研究中心（CERN）LHC强子对撞机示意图如图1-4所示。由图1-4可以看出，LHC设有四个对撞点，分别是：ATLAS探测器、LHCb探测器、CMS探测器以及ALICE探测器。其中ATLAS探测器和CMS探测器是主要实验，这两个实验的目标是寻找Higgs粒子和其他

19、新的物理实验现象。由国外媒体报道，利用LHC进行的六项实验都均在国际合作的模式下完成，每一项实验都是不同的，这与它们使用的粒子探测器的独特性有关。ATLAS（超环面仪器实验）和CMS（紧凑型缪子螺线管探测器）是其中的两项大规模实验。这两项实验都是在多用途探测器基础上分析在加速器中撞击时产生的数量庞大的粒子。两项实验的研究规模和研究层面均达到前所未有的程度。使用两个单独设计的探测器是交叉确认任何新发现的关键所在。ALICE（大型离子对撞机实验）和LHCb（底夸克实验）属于两项中型实验。他们利用特殊的探测器，研究特殊现象撞击。除此之外，还有两项小规模实验：TOTEM（全截面弹性散射侦测器实验）和L

20、HCf（LHC前行粒子实验）。他们的研究对象是前行粒子（质子或者重离子）。在粒子束发生碰撞时，这些粒子只是擦肩而过，而不是正面相撞。图1-5 ALICE5ALICE（大型离子对撞机）是大型强子对撞机（LHC）环上的一个重离子探测器。ALICE是优化研究每核子对质心能为2.76 TeV时的重离子（Pb-Pb核）碰撞，由此产生的非常高的温度好能量密度足以使夸克和胶子分离形成夸克-胶子等离子体。大爆炸之后，在夸克和胶子没有束缚在一起形成强子重粒子前的几分之一秒内也会存在类似的状态。ALICE专注于极端能量密度下强相互作用物质的研究，在了解色禁闭和手征对称性恢复的量子色动力学中，夸克-胶子等离子体的产

21、生及其性质是研究的关键问题、重现这种物质的原始形态以及理解它们是如何进化的将揭示物质是如何形成的、夸克和胶子的限制机制，强相互作用的性质以及他们是如何使普通物质产生质量的。量子色动力学预言，在足够高的能量密度下将会有一个从常规强子物质（该物质中夸克被锁在核中）到夸克和胶子被解禁的等离子体的相变。在宇宙仅仅只有10-16s时，这个变化将发生拟变化。现如今其仍在坍塌中子星的中心或者其他天体中发挥着作用。ALICE长26米，高16米，宽16米，如图1-5所示。LHC的质子-质子对撞实际上是夸克和胶子之间的对撞。质子是由多个夸克和胶子构成的，在碰撞的过程中，并不是所有的都会撞上，往往被撞上的是其中的一

22、个。其余没有发生碰撞的则会碎裂成强子，保持其母质子的运动方向不变，顺着束流管道跑掉了。而对于两个对撞的夸克和胶子，相互作用后产生的末态粒子将偏离出束流管，从而被探测器探测到。一般来说，偏离的角度越大，越容易探测。绝大多数的末态粒子仍旧是胶子和夸克，他们是不能自由的，在离开对撞点之前就碎裂成大量强子，形成喷注，有的末态是光子或者，或者，或者加上喷注，还有的是轻子如电子、子、子加喷注。在高能物理中，对于长寿命粒子，比如喷注中的、等强子，还有光子、电子、子，他们有足够的时间飞出束流管从而被探测器捕捉到。而对于短寿命粒子，比如、和等，在没飞出束流管就衰变掉了，因而是没有办法探测到的。2 介子、介子和质

23、子横动量谱的标度行为对数据进行简单的处理后，接下来的任务就是寻找末态判定强子横动量谱的标度行为。那么，寻找标度行为的方法是什么？介子、介子和质子横动量谱的标度行为又是怎样的？在本部分将对此进行详细的说明。2.1 寻找标度行为的方法根据参考文献6中的方法寻找判定介子、介子和质子横动量谱的标度行为。在此，以介子的横动量谱为例：首先，定义标度变量和标度横动量分布谱，令参数和的值由碰撞能量决定，通过选取适当的和的值，质心系能量为0.9、2.76和7 TeV下质子-质子碰撞产生的介子横动量谱的数据点将移动到同一条曲线上。通常情况下，选取能量最高的碰撞下的和的值为1。但是，由于质子-质子碰撞中介子横动量分

24、布范围在2.76 TeV时的范围比0.9和2.76 TeV时的范围要小得多，为了使标度方程描述的介子谱有更大的横动量范围，因此选取质心系能量为2.76 TeV时的标度参数和的值为1。选取不同的和的值，会得到不同的标度方程，为了脱离这种不确定性，引入另一种标度变量,令相对应的归一化标度函数为其中，寻找介子和质子横动量谱标度行为的方法与介子的相同。2.2 介子、介子和质子横动量谱的标度行为本文中，0.9、2.76和7 TeV下质子-质子碰撞产生的判定介子、介子和质子横动量谱由ALICE实验室公布。2.76 TeV下的横动量分布范围0.120.0GeV/c，比0.9和7 TeV下的范围宽。介子和质子

25、在0.9、2.76和7 TeV下的横动量范围也是2.76 TeV时的范围较广，故都选取2.76 TeV下参数和的值为1。因此，标度函数正是2.76 TeV下介子、介子和质子横动量谱。在参考文献6中，标度函数采用查理兹分布，Tsallis统计是由Constantino Tsallis提出来，用来描述数学函数集合以及相关的概率分布。根据这些集合可以从Tsallis熵形式的优化推导出Tsallis分布。其中连续的实参数代表分布的非广泛度，可以通过调整的值来调整分布。Tsallis统计对表征复杂的反常扩散是非常有用的。在统计学中，Tsallis分布是一种在适当约束下使Tsallis熵最大化的概率分布。

26、Tsallis分布可以分为不同的类别，但不同的来源可以参考各自的“Tsallis分布”。q-高斯分布是高斯的一般化，同样的，Tsallis熵是标准玻尔兹曼-吉布斯熵或香农熵的一般化。相似地，如果变量的域被限制为在最大熵过程中是正的，则q指数分布就可以被推导出来。Tsallis分布已经应用在统计力学、地质学、解剖学、天文学、经济学、金融学等各个领域的问题上。值得在注意的是Tsallis分布是在一般分布的博克斯-卡克斯转换中得到的，其中变形参数。这种变形指数变为q指数。q指数分布的概率密度函数为其中当时，为q指数分布；当时，回到指数函数。若采用该形式，则忽略了带电强子的质量。如果考虑粒子质量，则采

27、用修正后的查理兹分布描述介子、介子和质子的标度函数，即 （1）其中，和是自由参数，是粒子的质量，表示非广延度。将2.76 TeV下碰撞产生的判定粒子数据点以公式（1）用最小二乘法进行非线性拟合，得到自由参数，和的值，数据点的统计误差和系统误差的平方根之和用来判断拟合程度的好坏。利用MATLAB对数据点进行拟合得到的，和的值如表2-1所示。表2-1 介子、介子和质子参数，和的值介子介子质子6.010.080.2140.0020.05460.00081.14160.00071.14020.00041.1150.002（GeV/c）0.13080.00080.1930.0010.2200.002/d

28、of0.490.230.40表2-1最后一行为每个自由度（dof）的的值，称为减少卡方。自由度dof的值等于拟合点个数减去参数个数。假设随机变量的自由度为，如果它的密度函数为其中，则称服从-分布。的分布曲线与自由度有关。当自由度很小时，的分布曲线向轴正方向伸展。随着自由度的增加，的分布曲线会越来越对称，当自由度达到相当大时，的分布曲线接近正态分布。如图2-1所示。图2-1 不同自由度的曲线，图片来自7由参考文献6可知，对于质子-质子碰撞，0.9和2.76 TeV下标度参数和的值可通过对公式（2）中的查理兹分布进行非线性拟合得到。拟合程度的好坏很大程度上取决于2.76 TeV下拟合得到的查理兹分

29、布参数，和的值，因此，0.9和7 TeV下和的值依赖于公式（1）中的参考标度函数的形式。在本文中，为了估计拟合的可信程度，采用品质因子法确定0.9和7 TeV下介子、介子和质子标度参数和的值。在这种方法下，根据一系列数据点定义8，令 （2）其中，常数的值取0.01，目的是为了保证在取相同值情况下的和有限。在将值公式前，首先要对数据点进行重新处理，从而保证，并且是有序的。很显然对于两个连续的点，如果的值越接近而的值越远则对公式（2）所得到和的值的贡献越大。因此，如果所有数据点之和越小（即值越大），则所得到的结果将更接近于一条独一无二的曲线。对于0.9（7）TeV下的标度参数和的值，利用0.9（7

30、）TeV和2.76 TeV下的数据点共同去确定。当总的值越大时，得到的0.9（7）TeV下和的值越好。利用MATLAB将0.9、2.76和7 TeV下介子、介子和质子拟合得到的和的值记入表2-2。表2-2 介子、介子和质子不同质心能下标度参数和的值（TeV）A介子0.92.7670.920.0211.090.011.010.0211.030.03介子0.92.7670.910.00611.130.0071.040.0211.030.02质子0.92.7670.9140.00711.1020.0051.090.0111.040.02上述方法并未将数据点的统计误差考虑在内，因此，接下来计算将误差考

31、虑在内的标度参数和的值。根据参考文献8，的误差可由公式（3）求得： （3）其中，为第个数据点的统计误差。很显然，这种定义下得到的值考虑了各个数据点的分散程度。通过求取公式（3）下值最大，可以得到另外一组值，将两次得到的值之间的差作为的不确定度。图2-2 上栏：0.9、2.76和7 TeV下质子-质子碰撞产生的介子横动量谱的标度行为。实验数据点来源于参考文献9-11。下栏：介子横动量谱的拟合值与实验值之间的误差。根据品质因子法已经确定了在0.9和7 TeV下的标度参数和的值，现在可以根据0.9、2.76和7 TeV下的任何一组数据点进行非线性拟合得到标度函数，而不仅仅只根据2.76 TeV下的数

32、据点拟合。然而，考虑了不确定度之后，以其他数据点拟合得到的参数，和的值与表1中得到的数据是保持一致的。因此，使用表1中得到的三个参数值完成计算即可。根据表4中的标度参数和的值绘制出0.9、2.76和7 TeV下标度后的介子关于标度变量变化的横动量谱，如图1上栏所示。在对数坐标下，可以观察到不同质心能下的所有数据点在误差允许范围内都移到了同一条直线上，这条曲线所描述的正是2.76 TeV下介子的标度函数。为了得到拟合结果与实验数据点的吻合程度，现计算0.9、2.76和7 TeV下的误差，令随分布的图像如图2-2下栏所示。从图2-2中可以明显的看到所有数据点下的值都在0.2和0.2的范围之内，这说

33、明数据点和拟合曲线吻合程度的误差在20%之内。这些误差主要是由系统误差造成的。在考虑系统系统误差的情况下，拟合的精确度大约为10%。由于介子横动量谱中数据的量级为十个数量级，因此可以认为介子横动量谱的拟合程度很好。图2-3 上栏：0.9、2.76和7 TeV下质子-质子碰撞产生的介子横动量谱的标度行为。实验数据点来源于参考文献9-11。下栏：介子横动量谱的拟合值与实验值之间的误差。根据同样的方法可以得到0.9、2.76和7 TeV下介子和质子横动量谱的标度行为如图2-3和图2-4上栏所示，下栏和介子的一样为随扰动的图像。对于介子除了7 TeV下最后一个数据点之外所有的数据点与曲线的拟合程度误差

34、均在20%之内。对于质子，当小于10 GeV/c时，数据点与拟合结果的误差在保持在20%之内。但当 GeV时，拟合结果和实验误差保持一致，因此在横动量较大时的值相对较大。图2-4 上栏：0.9、2.76和7 TeV下质子-质子碰撞产生的质子横动量谱的标度行为。实验数据点来源于参考文献9-11。下栏：质子横动量谱的拟合值与实验值之间的误差。到此为止，我们已经可以看到0.9、2.76和7 TeV下介子、介子和质子横动量谱的标度行为。标度函数也可以根据修正后的查理兹分布由公式（1）得到。由参考文献12可知，判定粒子原始的横动量谱在查理兹分布下参数只取决于碰撞能量。在本文中，根据判定粒子横动量谱的标度

35、行为得出的结论却是：标度后（非原始）0.9和2.76 TeV横动量谱参数的值与2.76 TeV下的的值相同，这与参考文献11中的结论不同。由于标度函数取决于2.76 TeV下标度参数和的值的选取，因此为了消除这种依赖性，令对于介子、介子和质子的横动量谱，的值分别为：0.4420.007，0.7010.008和0.830.02 GeV/c，其中误差源于，和的不确定度。因此得到介子、介子和质子归一化的标度函数为 （4）其中，。，和的值如表2-3所示。表2-3 ，和的值介子介子质子3.970.032.860.032.280.031.14160.00071.14020.00041.1150.0020.

36、2960.0090.2750.0040.260.01现在将表2-3中参数值带入公式（4），绘制出介子、介子和质子归一化标度函数，和的图像如图12上栏所示。为了更清楚的看出三个标度函数之间的差别，令关于的图像如图2-5下栏所示。图2-5介子、介子和质子归一化标度函数由图2-5可知，在横动量较小（较大）时，即（），的值比和的值大，且误差随着的增大而减小（增大）。当时，的值比和的值小。3 弦重叠模型在参考文献13,14中，作者用胶子的饱和机制解释了判定强子横动量谱的标度行为。然而，在本文中，将根据弦重叠模型一定量的方式对判定粒子的标度行为进行解释。对于弦重叠模型，质子与质子碰撞中强子与强子之间有弦存

37、在。旧的弦的断裂会产生一对粒子和反粒子，判定强子便是在新弦的强子化过程中产生的。弦的截面可以看成是半径为fm的圆，其面积为。弦的数量随着碰撞能量的增加而增加。当有个弦存在时，这个弦会产生重叠并得到一个截面为的群。团簇产生的判定粒子的平均横动量的平方为其中，为单个弦产生的判定粒子的平均横动量的平方。如果弦与弦之间只是相互紧挨，即所有的弦不重叠，则，因此。而当所有的弦完全重叠时，这时（）。在此，将质子-质子碰撞产生的判定粒子的横动量谱可以看成是每个团簇产生的横动量谱的叠加，受团簇大小分布的影响，团簇的大小与的逆相等。在参考文献15,16中团簇的碎裂函数由Schwinger方程描述，即但上述公式仅仅

38、只适用于一般的横动量范围，对于横动量较大的情况用下述公式代替17,18满足分布。如果连续型随机变量的概率密度为其中，则称服从参数为，的分布，记作，这里的是微积分中定义的函数，即特别的，当时，就是参数为的指数分布。当，时，就是自由度为的分布。所以的函数形式为其中和是自由参数。因此，质子-质子碰撞下判定粒子横动量谱分布为（5）为归一化常数。为了证明弦重叠模型能否描述标度行为，将2.76 TeV下判定粒子的横动量谱数据点代入公式进行拟合，拟合得到的参数、和值如表3-1所示。拟合图像如图3-1所示。表3-1 2.76 TeV下介子、介子和质子CSP拟合得到的参数，和的值介子介子质子3

39、0.010.1600.0070.1400.0030.3420.0080.910.07（GeV/c）3.150.023.330.025.00.2/dof1.530.911.91图3-1 0.9、2.76和7 TeV下介子横动量谱的标度行为从图3-1上栏可以看出介子在对数坐标下以弦重叠模型拟合的拟合程度很好。拟合的精确度大约为20%，如图3-1下栏所示。对于介子和质子也有类似的结论。从表3-1中可以看出不同判定粒子的参数的值是不同的，这是因为他们的团簇分布不同。那么，为什么弦重叠模型可以解释判定粒子横动量谱的标度行为呢？对于弦重叠模型中所做的变换在该变化下，和均不变。因此，判定粒子横动量谱也是不变

40、的。这种不变性正是本文中所寻找的标度行为。将弦重叠模型中横动量的变化方式与寻找标度参数时所做的变换进行对比可以得出由参考文献16,18可知因此可得由于弦重叠度随着能量的增加而增加，因此标度参数的值也应随着能量的增大而增大，这与表2-2第三列所得到的结论吻合。因此，弦重叠模型可以解释介子、介子和质子横动量谱的标度行为。但是，介子下参数随能量增加的速率与介子或质子下的速率是不同的，这个结论也可以由弦重叠模型进行解释。已知对于0.9、2.76和7 TeV下介子（介子或质子）的值是唯一的，所以不同能量下随能量增加的速率应该等于不同能量下的变化率。弦重叠模型下的可以表示为不同能量下介子（介子或质子）的团

41、簇碎裂函数也是相同的。然而，对于不同的粒子群大小分布是不同的。因此，对于不同种类的粒子，标度参数的值随着能量变化的速率是不相同的。综上所述，弦重叠模型可以对判定粒子横动量谱的标度行为进行解释。4 总结本文讨论了0.9，2.76和7 TeV下质子-质子碰撞下末态判定强子横动量谱的标度行为。对横动量进行线性变换。标度参数的值由品质因子法确定，该方法下的值与标度函数的形式无关。文中认为介子、介子和质子是由于弦重叠的形成的不同团簇产生的，而且判定粒子的标度行为也可以根据弦重叠模型以定量的方式得以解释。参考文献1 /wiki/Quark2 https:/en

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50、0.1020856810.2750.22842650.0183132430.4250.0935050.0061541050.153.02042950.0960712140.3250.2326330.0140284810.4750.0863710.0036813240.173.0292910.0757221630.3750.2390090.0108966720.5250.07967650.0035851420.193.0711830.0774280820.4250.2213860.013024970.5750.07824950.0033196810.2252.9642650.0630640710

51、.4750.20896750.0128995960.6250.0737690.0031885050.2752.6710680.0588294440.5250.1949620.0103269320.6750.07056150.0030689710.3252.3528990.0508606680.5750.17250350.0123717670.7250.0663920.0028175690.3752.0020530.0438789980.6250.159810.0111848120.7750.0624340.003031660.4251.6899740.0365032770.6750.13548

52、250.0095225130.8250.05738550.0026720260.4751.4244680.0326179670.7250.1299390.0091541180.8750.0539840.0028230650.5251.22859450.0242601270.7750.11504750.0082641950.9250.0477570.0031290670.5751.01327350.0211980040.8250.10063450.0074598030.9750.0396480.0026901270.6250.820110.0172567020.8750.08822150.006

53、7997021.050.0364790.0019614830.6750.6960730.0254460050.9250.07960850.0062846431.150.03146050.0017826330.7250.6057530.0223582010.9750.066260.0054666061.250.0251590.0015149440.7750.50922750.0190720261.050.0572920.004297471.350.01944950.0013078660.8250.40827050.0155669481.150.0463690.0036931551.450.01586150.0011790820.8750.3485290.0135354271.250.03404950.0029641.550.01334250.0010671120.9250.3035560.0120095781.350.028030.0025941011.650.01044250.0009430930.9750.2574020.0104791921.450.0221210.0022176661.750.00793450.0008023851.050.20261550.00783908