选修系列4：不等式选讲

1、不 等 式 选 讲A 组1若是任意的实数,且,则( )(A) (B) (C) (D)2不等式的解集是( )(A) (B) (C) (D) 3不等式的解集为( )(A) (B) (C) (D) 4若,则的最小值为 ( )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 85若A=，B=，则A，B的大小关系为_.6设，是不全相等的正数，求证：1）；2）.7.已知，求证.图18如图1，把一块边长是的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 9已知，且不全相等，求证.10 已知，且，求证.B 组11.已知，且.试

2、证：，中至少有一个小于2.12.求函数的最大值.13. 已知，求证1.14. 已知，求的最小值.15. 已知，求的最小值.16. 已知，是正数，求证.17.证明：能够被6整除.18. 设,求证：.不 等 式 选 讲 答 案1.D.提示：注意函数的单调性；2.B.提示：先移项，再通分，再化简；3.D.提示：当2时，原不等式可以化为5，解得3，即不等式组的解集是.当时，原不等式可以化为5，即35，矛盾.所以不等式组，的解集为，当1时，原不等式可以化为5，解得2，即不等式组的解集是.综上所述，原不等式的解集是;4.C. 提示：;5. .提示：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系

3、.因为所以;6提示：，分别将以上三式相乘或相加即可;7.提示: ;8.提示: 设切去的正方形边长为，无盖方底盒子的容积为，则 当且仅当，即当时，不等式取等号，此时取最大值.即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的时，盒子容积最大.9.分析：观察欲证不等式的特点，左边3项每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积，右边是三个数的积的6倍.这种结构特点启发我们采用如下方法.证明：因为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 由于，不全相等，所以上述式中至少有一个不取等号，把它们相加得.10提示：观察要证明的结论，左边是个因式的乘积，右边是2的次方，再结合，发现如果能将左边转化为，的乘积，问题就能得到解决

4、.证明：因为，所以，即.同理，.因为，由不等式的性质，得.因为时，取等号，所以原式在时取等号.11. 提示：要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.另外，如果从正面证明，需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于2是不可能的即可.于是考虑采用反证法.证明：假设，都不小于2，即，且.因为，所以，且.把这两个不等式相加，得，从而.这与已知条件矛盾.因此，都不小于2是不可能的，即原命题成立.12. 提示：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若

5、能化为的形式就能利用柯西不等式求其最大值.解：函数的定义域为，且. 当且仅当时，等号成立，即时函数取最大值.13.提示: 14.提示: .15.提示: 16.提示:17. 提示：这是一个与整除有关的命题，它涉及全体正整数，若用数学归纳法证明，第一步应证时命题成立；第二步要明确目标，即在假设能够被6整除的前提下，证明也能被6整除.证明：1）当时，显然能够被6整除，命题成立. 2）假设当时，命题成立，即能够被6整除. 当时， . 由假设知能够被6整除，而是偶数，故能够被6整除，从而即能够被6整除.因此，当时命题成立. 由1）2）知，命题对一切正整数成立，即能够被6整除;18.证明：（法一）要证原不等式成立，只须证：