位移法基本概念

1、基本概念,实际的结构绝大多数是超静定结构，在进行结构分析时，有两种基本方法： 力法是以多余未知力为基本未知量，应用位移协调条件先求出多余未知力后，超静定结构就可看作静定结构，用静力平衡方程求出结构的内力，然后再求出位移； 位移法则是以结构结点的角位移和线位移作为基本未知量，用平衡条件先求出结点的角位移和线位移，再求出结构的内力。 两种方法的求解顺序相反，各有优缺点。大多数情况下，对超静定刚架，位移法较力法有更少的位知量。 共同的缺点是，都要求解联立方程。 但两种方法是结构力学的核心内容，属于基本理论，是至关重要的,基本概念,重点：位移法的典型方程、符号规则、弯矩图的画法,难点：符号规则、内力图

2、、刚度系数的计算、含无限刚性杆、弹簧支承结构的位移法,一、内力符号规则与内力图 1.弯矩 定义：以杆端受顺时针方向的弯矩为正，如图,基本概念,基本概念,2.剪力 与以前的定义相同，即微元体（或杆端）截面顺时针方向的剪力为正，如图,基本概念,3.轴力 与以前相同，杆件受拉为正，受压为负,4.内力图的画法规则 弯矩画在杆件受拉纤维一侧，不用标明正、负号； 剪力图、轴力图画在任意一侧，标明正、负号,二、位移法位移的种类与位移正、负号的规定,1.位移的种类 1）角位移 2）线位移 3）杆端相对侧移,基本概念,图示结构在荷载作用下，结点B、C都要产生水平位移，同时，结点B还要产生转角。 在位移法中，以杆

3、件为基本研究对象，位移变量取在杆端。 1） 角位移：B ，C端虽然有转角，但不作为位移法变量。 角位移通常是刚结点的转角。 2）线位移：BH ，CH 是指结点发生的绝对位移，包括刚 结点和铰结点。 3）杆端相对侧移：AB 是指A、B两截面发生的相对侧移， 由于A截面的线位移为零，所以，AB就是BH,基本概念,2.位移的正、负号规则 1）角位移：以顺时针转动为正，计算时，总是先假定刚结点有顺时针方向转动。 2）杆端相对侧移：截面发生顺时针方向的相对侧移为正，反之，为负。例图中的AB就是正的相对侧移,基本概念,3.位移法基本结构与未知量的确定,基本假设-弹性小变形 * 受弯杆件受弯后，不改变杆件的

4、长度,杆端侧移的方向垂直于杆轴线,基本概念,忽略轴向变形与剪切变形。 其实，以上假设与力法中是相同的,位移法基本位知量的确定方法 10 结构中每个刚结结点为一个独立角位移，共有na个刚结点。 20 附加链杆（或支杆）使结构没有结点线位移产生（包括刚结点与铰结点）。设，附加的独立的附加链杆（或支杆）数为nb 则，位移法变量的数目为na + nb ，也就是位移法基本未知量的数目,基本概念,举例,例题1,A,B,C,D,解：刚架在荷载作用下，通常会产生侧移与A、B结点的转角。由假设，AB杆在弯曲变形后不改变长度，所以AH=BH=H是一个独立线位移。另外，A 与B 是两个独立的角位移。C、D点无移动，

5、所以，AC杆及BD杆有相对杆端侧移H ；C处是固定端，所以C截面无转角，D截面有转角，但不作为位移法变量。故，该结构具有三个位移法变量,基本概念,举例,例题2,A,B,C,解：图示结构在荷载作用下，结点B、C都要产生水平位移，同时，结点B还要产生转角。 由假设，BC杆在弯曲变形后不改变长度，所以BH=CH=H是一个独立线位移。另外，B 是一个独立的角位移。A是固定端，则A点无位移，所以，AB杆的相对侧移为H ，C截面有转角，但不作为位移法变量。故，该结构具有二个位移法变量- B 与H,基本概念,举例,例题3,解：对刚度是无穷大杆件，受力时不产生弯曲变形。故，刚架将在承载后产生侧移。 由于不考虑

6、轴向变形及无穷大杆件的弯曲变形，受弯杆件又不改变长度，所以，DE、FG杆仅产生水平侧移，D、E、F、G四个刚结点没有转角产生。 故，本结构没有角位移变量，线位移变量有：DH=EH=2 ，FH=GH=1 ，即两个线位移变量。 AD杆的相对侧移为2 ，EF杆的相对侧移为2-1 ，BF杆的相对侧移为1 ，CG杆的相对侧移为1,基本概念,举例,例题4,A,B,C,D,E,F,解：AB杆为静定杆，受载后可等效右图所示结构。 由于不考虑轴向变形，弯曲杆件受弯后也不改变长度，故，仅有C结点的转角为位移法变量。结点C所连接的三杆杆端在C结点的角度关系不变。位移法变量C 。 B截面有转角，但不作为位移法变量；

7、D、E、F处截面的转角是零,基本概念,举例,例题5,解：结构共有8根杆件。 A、C、H、I为支座，其截面转角为零，B支座有转角，但不作为位移法变量。C支座有水平位移，但CG作为位移法的基本杆件，这个位移也不作为位移法变量。 刚结点两个，E和G，相应两个角位移E和G 由于不考虑轴向变形，D、E、G有共同的水平位移1 ，都没有竖向位移。结点F有竖向位移2 。 位移法变量有四个，E 、G 、1 、2 。 AD、BE杆有侧移1 ，HE、IG有侧移 -1 ，EF杆有侧移2 ，FG杆有侧移 2,基本概念,举例,例题6,A,B,C,D,解：三根杆件，A支座为弹簧铰，有约束能力，也可产生转角，但不可发生水平及

8、竖向位移。C支座有约束能力，但可产生竖向位移。 所以，位移法变量有：A、B处的转角A及B ，C处的竖向位移，共三个位移法变量。 BC杆有侧移，D处无转角，C截面的转角不作为位移法变量,基本概念,举例,例题7,解：两个刚结点，就有两个角位移变量C 、D 由假设，结点侧移与杆轴线垂直，所以C点的侧移垂直AC，D点的侧移垂直BD，再由杆件的长度不变，画出变形图。 AC杆杆端相对侧移为CH ，BD杆杆端相对侧移为D ，CD杆杆端相对侧移为CD 四个位移法变量为；C 、D ，CH ，D 。CD杆的侧移CD与CH ，D有关，不是独立的位移法变量,基本概念,举例,例题8,解：这是具有无限刚性杆的结构，BD杆

9、没有变形，只有刚体侧移，设弦转角为。则由于结点E刚结点的特性，三杆端在E点保持相同的转角，从而，结点E的转角也为 由结点E的侧移方向垂直BE杆轴线，所以，D =E =F =H 与有关，不是独立的变量。 至于弹簧支座，对变形没有影响，只与结构的受力有关。 所以，位移法变量为两个：F 与H （或,基本概念,举例,例题9,D,解：C与D是两个独立角位移，CH=DH=1为C、D结点的 侧移，另结点B也有水平位移BH ，也是独立的位移变量。 所以，结构有四个位移法变量：C 、D 、1 、BH,基本概念,举例,例题10,解：由图可见，只有AB杆及CD杆有杆端相对侧移 -BV 及CV 。E端为弹簧铰，所以，

10、刚结点有D和E。但是，由于CD杆的刚度无限大，CV与D结点的转角相关。 因此，结构有三个位移法变量：E 、BV 、CV （或D结点转角D,基本概念,三、位移法的基本思路-先修改，后复原,1位移法变量：B,2修改的方法,基本概念,1)在B结点附加刚臂，设想刚臂的作用只是阻止结点B的转动，各杆的弯矩不能互相传递,2)求杆端弯矩。由于各杆的弯矩不能互相传递。所以AB杆与BC杆的弯矩可独自求解。即，对弯矩而言，BC杆等价于一端固定，另一端铰支的超静定杆；而AB杆就等价于两端固定的超静定杆，上面没有可产生弯矩的荷载。如下图,基本概念,3) 附加刚臂的约束力矩,取B结点为研究对象，得： RP= - qL2

11、/8 （逆时针,此时结构的弯矩图为,RP,这里，依弯矩的符号规则写出的MBC ，附加刚臂的约束力总是假定顺时针方向,基本概念,4）复原的方法-消去约束力矩,依叠加原理，若令：R= - RP，则消去附加刚臂的作用可看作是下列两个图形的叠加。 R= - RP的含义是：在B结点反作用RP,基本概念,问题：MR图怎么作,在B结点施加力矩R，刚结点B就有转动，显然，该转角与R的大小成正比。 那么，比例系数是多少,显然，使得转角为1，所施加的力矩为 r ，r 称为刚度系数,R是已知的，所以，若能确定 r ，那么，结点B的转角 也就确定了,问题转化为：求 r,基本概念,用力法已经事先求得各类支撑情况下的杆端转角时所产生的内力，例如,记：EI/L= i 称为杆件的线刚度,基本概念,那么， 时的弯矩图就可作出 称为,取结点B为研究对象,得：r = 7i,由前所述，消除约束力矩就是使,由此式解出转角 ，把 放大 倍，就得到了MR图。从而实现了MP图与MR图的叠加,基本概念,代入RP与 r,5）弯矩图的作法,基本概念,小结,1. 附加刚臂 2.