常微分课程报告newVIP

1、1 课题来源 【摘要】：常微分方程是由人类生产实践而产生的,其理论有广泛应用.本文研究了常微分方程的稳定性理论及在企业经济运行模型中的应用.首先对常微分方程的稳定性理论做介绍,包括相平面,自治系统,轨线,奇点,解的稳定性,极限环等,然后参考多种关于常微分方程及经济运行模型的有关资料,得出企业经济运行模型,并通过上述理论分析模型,做出相关的讨论,最后联系模型的实际意义,分析企业经济的发展状况,对现实企业的运行有一定的指导作用. 根据商品单位时间段销售量统计的数据得出： 商品价格与供给成反比，供给增加，价格下降；供给减少，价格上升。商品价格与需求成正比，需求增加，价格上升；需求减少，价格下降。 在

2、其他因素不变的条件下，供给和需求的任何变化，都可能影响商品价格变化，一方面，商品价格的变化受供给和需求变动的影响；另一方面。商品价格的变化又反过来对供给和需求产生影响：价格上升，供给增加，需求减少：价格下降，供给减少，需求增加。这种供求与价格互相影响、互为因果的关系，使商品供求分析更加复杂化，即不仅要考虑供求变动对价格的影响，还要考虑价格变化对供求的反作用。将实际情况与常微分方程建立联系，并以此形式描述出商品的价格变化与市场供求的关系。2、 本课题研究的主要内容 根据数据统计得出相应联系。建立价格调整模型并求解。商品的价格变化主要服从市场供求关系：一般的，商品供给量S是价格P的单调增函数，商品

3、需求量D是价格P的单调减函数。设商品的供给函数和需求函数分别为S(P)=a+bP;D(P)=-P (1)其中a,b,均为常数，且b0,0.当供给量跟需求量相等时，由（1）可求得供求平衡时的价格 并称P为均衡价格。一般来说，当SD时，商品价格要落。因此，假设t时刻的价格P(t)的变化率与超额需求量D-S成正比。于是有 将（1）代入方程，可得 方程(2)的通解为 代入上式 , 得 于是上述价格调整模型的解为3、模型的改进及推广。 为方便计算，建立此模型所运用的函数为简单的正比例一次函数，可根据大量的统计数据，得出更精确的函数关系式，得到更准确更规范的数学模型。4、 实例验证价格走势图销量变化图 将

4、图中数据代入所建立的数学模型中，根据最小二乘法求解。应用最小二乘法原理，将实测值Yi与利用（式1-1）计算值（Yj=a0+a1X）的离差（Yi-Yj）的平方和（Yi - Yj）2最小为“优化判据”。令： = （Yi - Yj）2 （式1-2) 把（式1-1）代入（式1-2）中得： = （Yi - a0 - a1 - Xi)2 （式1-3) 当（Yi-Yj）平方最小时，可用函数 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。亦即：m a0 + （Xi ) a1 = Yi （式1-4) （Xi ) a0 + （Xi2 ) a1 = （Xi,Yi) （式1-5) 得到的两个关于a0、 a1为未知数的两

5、个方程组，解这两个方程组得出：a0 = （Yi) / m - a1（Xi) / m （式1-6) a1 = mXi Yi - （Xi Yi) / mXi2 - （Xi)2 ) （式1-7)R = XiYi - m （Xi / m）（Yi / m)/ Xi2 - m （Xi / m)2Yi2 - m （Yi / m)2 （式1-8) 根据实例，得：Yi即为实测得P（t）为800,870,810，850Yj即为计算得P（t）为R=5、 感悟这次建立常微分数学模型所教给我们的不单是一些数学方面的知识，更多的其实是综合能力的培养、锻炼与提高。它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻辑推理能力

6、和量化分析能力得以到很好的锻炼和提高。数学模型来源于现实生活之中，主要是将现实对象的信息加以翻译，归纳的产物，如果我们平时善于留意生活、观察生活，就会发现很多现实问题可以用数学方法来解决，把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，通过对数学模型的假设、求解、验证，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、决策的结果。不管是数学思想还是解决问题的方法，有的很复杂深奥，有的很简单显浅，只要是通过建模通过思考来解决就表示能力得到提高。而在学习数学建模以前，我们面对这些问题时，解决它的方法往往是一种习惯性的思维方式，只知道该这样做，却不很清楚为什么会这样做，现在，我们这种陈旧的思考方式己经被数学建模中培养出的多角度、层次分明、从本质上区分问题的新颖多维的思考方式所