(2009.12.01)《数学建模》课程09秋期末复习辅导(文本)

1、综合练习一、填空题 1若银行的年利率是%，则需要时间 ，存入的钱才可翻番应该填写： 2马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 应该填写：增长率是常数还是人口的递减函数 3假设则与的数学关系式为 ，其中是常数 应该填写：，其中 4设某种物资有两个产地，其产量分别为10、20，两个销地的销量相等均为15如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为则最优运输方案与运价具有 两个特点应该填写：最优运输方案不惟一；总运费均相等 5一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 应该填写：奇数顶点个数是0或2 6所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 应该填写：问题分析，

2、模型假设，模型建立，模型求解，模型分析 7若按照复利计算20万元10年后的终值是，则年利率应为 应该填写：0.05 8在建立人口增长问题的罗捷斯蒂克模型时，假设人口增长率是人口数量的递减函数，若最大人口数量记作为简化模型，采用的递减函数是 应该填写：二、分析判断题 1有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。为尽量多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种 解： 问题与盘子、水和温度等因素直接相关，故有相关因素： 盘子的油腻程度，盘子的温度，盘子的尺寸大小；洗涤剂水的温度、浓度；刷洗地点的温度等 注：列出的因素不足四个，每缺一个扣4分 2假设某个数学模型建成为如下形式： 试在适当的假设下将

3、这个模型进行简化 解：当较小的时候，可以利用二项展开式将小括号部分简化为 从而有 . 若也很小，则可以利用将其进一步化简为 3地方公安部门想知道，当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要的时间，假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，应制定怎样的疏散计划.请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示. 解：撤离时人员的分布状态、人员总数、撤离速度、人们之间相对拥挤程度、人员所在地与安全地点的距离、人员撤离完毕所需要的总时间等 注：列出的因素不足三个，每缺一个扣5分。 4一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 又过两个小时，含量降为 试判断，当

4、事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100.（提示：不妨设开始时刻为表示时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔内酒精浓度的改变量为其中为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.） 解: 设为时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为其通解是而就是所求量 由题设可知故有 和 由此解得 可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定三、计算题 1有某种物资从三个产地运往四个销地，各产地的产量及各销地的销量如表所示. 但其中间各数据为利润值，希望在完成运输任务的同时，使总利润达到最大试给出最优运输方案.（提示：求初始方案用最大元素法，当所有检验数时为最优解，

5、检验数求法不变） 表1 单位:万元/吨 销地利润产地B1 B2 B3 B4产量A13 11 3 107A21 9 2 84A37 4 10 59销量3 6 5 6Jm2-15 解 首先利用“最大元素法”求出初始方案如表： 表2 单位:万元/吨 销地利润产地B1 B2 B3 B4产量A13 11 3 107A21 9 2 84A37 4 10 59销量3 6 5 6 其次，对方案进行最优性检验：l11 = 3-10+5-7=-9 0， l13 = 3-10+5-10=-12 0， l21 = 1-8+5-7=-9 0， l22 = 9-11+10-8=- 0，l23 = 2-8+5-10= -1

6、1 0， l32 = 4-11+10-5= -2 0， 故初始方案已是最优方案，即总利润达到最大的运输方案为：总利润为：（万元） 2有一批货物要从厂家A运往三个销售地B、C、D，中间可经过9个转运站从A到的运价依次为3、8、7；从到的运价为4、3；从到的运价为2、8、4；从到的运价为7、6；从到的运价为10、12；从到的运价为13、5、7；从到的运价为6、8；从到的运价为9、10；从到的运价为5、10、15；从到的运价为8、7。试利用图模型协助厂家制定一个总运费最少的运输路线 解 建立图模型如图1AE2E3E1G2G3G1F2F3F1CDB738342847610121357689105101

7、587 图1Jm2-18AE2E3E1G2G3G1F2F3F1CDB738342847610121357689105101587202116131112176773801913 利用双标号法计算结果如图2图2 再利用逆向搜索法便可得到运输路线有： ， ； 或 3求解决策变量带有上下界的线性规划模型:并说明：（1）若约束条件右端项表示资源，那么资源的利用情况怎样？（2）最优解是否有选择的余地 解: 利用图解法现给出前两个约束条件满足的区域，为一个四边形区域 再考虑有上下界条件，便给出可行域 最后考虑目标函数直线由于其斜率与各个边界直线的斜率各不相同，故最优解是唯一的，解联立方程组，对应的目标值

8、（1）第一种资源超支个单位，第二种资源充分利用 （2）没有选择余地，因为解唯一 4某工程队承担一座桥梁的施工任务.由于施工地区夏季多雨，需停工三个月.在停工期间该工程队可将施工机械搬走或留在原处.如搬走，需搬运费1800元.如留原处，一种方案是花500元筑一护堤，防止河水上涨发生高水位的侵袭.若不筑护堤，发生高水位侵袭时将损失10000元.如下暴雨发生洪水时，则不管是否筑护堤，施工机械留在原处都将受到60000元的损失.据历史资料，该地区夏季高水位的发生率是25%，洪水的发生率是2%.试用决策树法分析该施工队要不要把施工机械搬走及要不要筑护堤？ 解: 建立决策树模型如图3ACBDB高水位 0.25高水位 0.25洪水 0.02洪水 0.02筑堤不筑堤搬走不搬走-1800-500-60500-10000-60000图3ACBDB高水位 0.