MATLAB在线性系统理论中的应用

1、MATLAB在线性系统理论中的应用第一章传递函数与状态空间表达式1.1 传递函数与状态空间表达式之间的转换用ss命令来建立状态空间模型。对于连续系统，其格式为sys=ss(A,B,C,D),其中a,b,c,d为描述线性连续系统的矩阵。当sys1是一个用传递函数表示的线性定常系统时，可以用命令sys=ss(sys1)将其转换成为状态空间形式，也可以用命令sys=ss(sys1,min)计算出系统sys的最小实现。example1：系数传递函数到状态空间表达式num=1 7 24 24;den=1 10 35 50 24;g=tf(num,den);sys=ss(g)the answer is：a

2、 = x1 x2 x3 x4 x1 -10 -4.375 -3.125 -1.5 x2 8 0 0 0 x3 0 2 0 0 x4 0 0 1 0b = u1 x1 2 x2 0 x3 0 x4 0c = x1 x2 x3 x4 y1 0.5 0.4375 0.75 0.75d = u1 y1 0 Continuous-time model.example2：由传递函数系数，将离散系统脉冲传递函数模型转换成状态空间表达式num=0.31 0.57 0.38 0.89;den=1 3.23 3.98 2.22 0.47;gyu=tf(num,den,ts,0.1)the answer is:Tr

3、ansfer function: 0.31 z3 + 0.57 z2 + 0.38 z + 0.89-z4 + 3.23 z3 + 2.98 z2 + 2.22 z + 0.47 Sampling time: 0.1Pzmap(gyu)%绘制零极点分布图sys=ss(gyu)%将离散系统脉冲传递函数模型转换成状态空间表达式。The answer is:a = x1 x2 x3 x4 x1 -3.23 -1.49 -1.11 -0.235 x2 2 0 0 0 x3 0 1 0 0 x4 0 0 1 0b = u1 x1 1 x2 0 x3 0 x4 0c = x1 x2 x3 x4 y1 0.

4、31 0.285 0.19 0.445d = u1 y1 0 Sampling time: 0.1Discrete-time model.Example 3：用s求逆矩阵法从系统矩阵 a,b,c,d求得传递函数syms s;a=0 1;-2 -3;b=1 0;1 1 ;c=2 1;1 1;-2 -1;d=3 0;0 0;0 1;i=1 0;0 1;f=inv(s*i-a)g=simple(simple(c*f*b)+d)The answer is:f = (s+3)/(s2+3*s+2), 1/(s2+3*s+2) -2/(s2+3*s+2), s/(s2+3*s+2)g = 3/(s+1)+

5、3, 1/(s+1) 2/(s+2), 1/(s+2) -3/(s+1), -1/(s+1)+1Example 4 eig()指令，求特征根矩阵和特征向量矩阵函数eig()Example 5 约旦标准型函数jordan() a=0 1 0;0 0 1;2 -5 4a = 0 1 0 0 0 1 2 -5 4 q,j=jordan(a)q = 1 -2 0 2 -2 -2 4 -2 -4j = 2 0 0 0 1 1 0 0 1Example 6从状态转移矩阵到传递函数的转化举例：cleara=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;b=0;0;1;c= 1 1 1;d=0;v=ss(a,b

6、,c,d)num,den=ss2tf(a,b,c,d);printsys(num,den)z,p,k=ss2zp(a,b,c,d);zpk(z,p,k)x0=2;0;1;figure(1)step(v)figure(2)initial(v,x0)t=0:0.1:60;u=t;figure(3)lsim(v,u,t);%figure(3)第二章 状态转移矩阵与状态方程的解Example 1Collect函数的作用是合并同类项，ilaplace（）函数的作用的求取laplace反变换，函数det（）的作用是求方阵的行列式。syms s t x0 x tao phi phi0;%声明变量a=0 1;

7、-2 -3;I=1 0;0 1;e=s*I-a;c=det(e);d=collect(inv(e);phi0=ilaplace(d)x0=1;0;x=phi0*x0%公式与关系：sinh是双曲正弦函数。cosh是双曲余弦函数。 带h的都是双曲函数。 sinh(x)=(exp(x) - exp(-x) / 2.0; cosh(x)=(exp(x) + exp(-x) / 2.0; tanh(x) = sinh(x) / cosh(x);The answer is:phi0 = 2*exp(-t)-exp(-2*t), 2*exp(-3/2*t)*sinh(1/2*t) -4*exp(-3/2*t

8、)*sinh(1/2*t), -exp(-t)+2*exp(-2*t)x = 2*exp(-t)-exp(-2*t) -4*exp(-3/2*t)*sinh(1/2*t)Example 2syms s t x0 ta0 phi phi0;a=0 1;-2 -3;I=1 0;0 1;e=s*I-a;c=det(e);d=collect(inv(e)phi0=ilaplace(d)x0=1;0;x1=phi0*x0;phi=subs(phi0,t,(t-tao);f=phi*b*1;x2=int(f,tao,0,t);x=collect(x1+x2)The answer is:phi0 = 2*e

9、xp(-t)-exp(-2*t), 2*exp(-3/2*t)*sinh(1/2*t) -4*exp(-3/2*t)*sinh(1/2*t), -exp(-t)+2*exp(-2*t)x = 2*exp(-t)-exp(-2*t)+1/2-1/2*sinh(2*t)+sinh(t)+1/2*cosh(2*t)-cosh(t) -4*exp(-3/2*t)*sinh(1/2*t)+exp(-t)-exp(-2*t)Example 3c2d() 函数的功能是将连续时间的系统模型转换成离散时间的系统模型，其调用格式为：sysd=c2d(sysc,t,method).其中，输入参量sysc为连续时间的

10、系统模型；t为采样周期（s）；method用来指定离散化的方法：zoh采用零阶保持器；foh采用一届保持器；tustin采用双线性逼近方法；prewarm采用改进的tustin方法；matched采用siso系统的零极点匹配方法；a=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;b=1 0;2 -1;0 2;c=1 -1 0;2 1 -1; d=zeros(2);%将d赋值为2*2全零矩阵 t=0.1; g=ss(a,b,c,d); gd=c2d(g,t) 状态方程为；a,b,c,d;采用零阶保持器将其离散化，采样周期为0.1s。求离散化的系统方程。a = x1 x2 x3 x1 0.9991

11、0.0984 0.004097 x2 -0.02458 0.9541 0.07382 x3 -0.4429 -0.8366 0.5112 b = u1 u2 x1 0.1099 -0.004672 x2 0.1959 -0.0902 x3 -0.1164 0.1936 c = x1 x2 x3 y1 1 -1 0 y2 2 1 -1 d = u1 u2 y1 0 0 y2 0 0 Sampling time: 0.1Discrete-time model.第三章 能控能观性1 能控性、能观性线性控制系统的能控性矩阵和能观性矩阵，并且求出他们的秩，从而判断系统的能控性和能观测性。函数ctrb（）

12、和obsv（）分别计算系统的能控能观矩阵。格式为：qc=ctrb（a,b）;qo=obsv(a,c).然后再用rank（）函数计算矩阵的秩。 a=1 0 -1;-1 -2 0;3 0 1;b=1 0;2 1;0 2;c=1 0 0;0 -1 0; qc=ctrb(a,b)qc = 1 0 1 -2 -2 -4 2 1 -5 -2 9 6 0 2 3 2 6 -4 qo=obsv(a,c)qo = 1 0 0 0 -1 0 1 0 -1 1 2 0 -2 0 -2 -1 -4 -1 rc=rank(qc)rc = 3 ro=rank(qo)ro = 3注：当系统的模型用sys=ss(a,b,c,

13、d)输入以后，也就是当系统模型用状态空间表达式表示时，也可以用qc=ctrb(sys),qo=obsv(sys)的形式求出该系统的能控性矩阵和能观性矩阵。2 能控标准型、能观标准型系统方程：a,b,c,1) 判断系统是否能控，并且求出a矩阵的特征多项式 a=1 2 -1;0 2 1;1 -3 2;b=0;1 ;1;c=1 0 1;qc=ctrb(a,b)syms s;det(s*eye(3)-a)%eye(3) is a unit matrix of dimension 3if rank(qc)=3disp(the system is controllable)elsedisp(the sys

14、tem is uncontrollable)endthe answer is:qc = 0 1 8 1 3 5 1 -1 -10ans = s3-5*s2+12*s-11 the system is controllable求出的特征多项式为s3-5*s2+12*s-11（2）计算变换矩阵q=qc* =qc* ,p=inv(q)q=qc* 12 -5 1;-5 1 0;1 0 0;p=inv（q）the answer is:q = 3 1 0 2 -2 1 7 -6 1p = 0.2353 -0.0588 0.0588 0.2941 0.1765 -0.17650.1176 1.4706 -0

15、.4706(3)计算出能控标准型ab=p*a*q,bb=p*b,cb=c*qThe answer is:ab = 0 1.0000 0.0000 0 0 1.0000 11.0000 -12.0000 5.0000bb = 0 0.0000 1.0000cb =10 -5 12 变换能观标准型系统方程 a,b,ca=3 0 1;5 2 3;1 0 1;b=1 ;0;2;c=2 1 1;qo=obsv(a,c)syms s;det(s*eye(3)-a)if rank(qo)=3disp(the system is observalbe)elsedisp(the system is observable)endthe answer is:qo = 2 1 1 12 2 6 52 4 24ans = s3-6*s2+10*s-4 the system is observalbe特征多项式为s3-6*s2+1