构造凸函数与不等式证明

1、构造凸函数与不等式证明董永春(成都戴氏高考中考肖家河总校数学组, 四川成都，611000)0 引言近年来，一些常见的具有条件与的轮换、对称不等式，由于和谐之美，且每一变量相等时不等式取等号这一共性，被很多数学爱好者推广，在很多期刊都可见到，凸函数性质的文章也很多，笔者发现大多是有重叠的，如果一再的推广这类不等式已经意义不大。笔者2 3 4 5前期也进行了一些研究与推广，经过总结，发现变元和为定值，且特征函数的二阶导存在，就可以借助凸函数理论进行简单的机械证明。这样我们可以把目光投向别的不等式。本文将分三部分，先给出一些著名不等式，再借助凸函数理论证明一系列的竞赛题，力图解决更一般的不等式族，最

2、后从变元个数、次数进行加权推广。1 凸函数性质的有关准备文 8用凸函数理论证明了詹生不等式（1），算术-几何-调和平均不等式（2）（3），杨氏(Young)不等式（5），霍尔德（Holder-Cauchy）不等式（6）,柯西-施瓦兹（Cauchy-Schwartz）不等式等一系列著名不等式。本文不打算给出文 9的证明，只给出一些研究结论：（1）非负实数x1 ， x2 ， xn满足=s 0,若f(x)在(0,s)是严凸函数,则F(， ， )F（x1 ， x2 ， xn）F（n，0，0，,0）若为严凹则不等号反向. （2）非负实数x1 ， x2 ， xn，（3）（4）（5）（令，）得（6）（，）（

3、7）2 利用凸函数性质证明不等式例1 设，且，求证: （第3届加拿大数学竞赛题）分析 构造函数，知为凸函数，例2 已知0,求证：（1998数学通报问题845）分析 构造特征函数，0,则=(,下同)例3 若0,满足，求证： （1976年英国数学竞赛题）分析 构造特征函数,0,则=例4 若0,满足,求证：（1982年西德数学竞赛题）分析 构造特征函数，此不等式与例2、例3无本质区别，例5 a, b,c为满足a+b+c=1的非负实数，则（2008年加拿大数学竞赛题）分析 构造函数=，即可。例6 a, b,c为满足a+b+c=1的非负实数，求证：（1），（2），（3）（安振平系列）分析 分别构造函数，

4、则，=（可把此x看成平均）知0. 0, 0即可,此证法更简洁、明了。例8 ，则 （2008年德国数学竞赛题）分析 构造函数，则，0, =1，+（变元个数）（2）设,.,且=1,n则+ ，（变元次数）（3）设,.,且=1,n则+ （加权推广）（4）设,.，,且=1,n则+ 证明过程借助凸函数理论，参见文2 3 4 5 。4 结束语以上一系列不等式，共性就是轮换、对称，且变量之和为定值，且特征函数的二阶导存在，完全可以简化证明，进而去探索不可构造函数的循环不等式与其他不等式。参考文献:1 谢平民凸函数与不等式M初等数学丛论4，1990 (10).2 董永春，对几个代数不等式研讨的再探讨J中学数学教学参考，2011 (4). 3 董永春，关于一对姊妹不等式的再思考J中学数学教学参考，2011(1-2)4 董永春，对一个猜想的否定J中学数学教学参考，2010(1-2) 5 董永春，对一个猜想的改进J，中学数学教学参考，2010，（4）6陈文灯，黄先开，数学复习指南（理工类）M北京：世界图书出版公司北京公司2004；349-3517倪雪华，函数的凹凸性在不等式中的应用J高等函授