高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和 文 北师大版

1、6.2等差数列及其前n项和,考纲要求:1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系,1.等差数列 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差是同一个常数,那么这个数列就为等差数列,这个常数为等差数列的公差,公差通常用字母d表示. (2)数学语言:an+1-an=d(nN+,d为常数),或an-an-1=d(n2,d为常数). (3)等差中项:如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项,即 . 2.等差数列的通

2、项公式 (1)通项公式:若等差数列an的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d . (2)通项公式的推广:an=am+(n-m)d (m,nN,5.等差数列的前n项和公式与函数的关系 (2)数列an是等差数列Sn=An2+Bn(A,B为常数). 6.等差数列的前n项和的最值 在等差数列an中,a10,d0,则Sn存在最小值,1,2,3,4,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列. () (2)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. () (3)数列an为等差数列的充要

3、条件是对任意nN+,都有2an+1=an+an+2. () (4)等差数列an的单调性是由公差d决定的. () (5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. (,1,2,3,4,5,2.在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6=() A.-1B.0C.1D.6,答案,解析,1,2,3,4,5,3.(2015课标全国,文5)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=() A.5B.7 C.9D.11,答案,解析,1,2,3,4,5,4.(2015陕西,文13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为,答案,解析,1,2,3,

4、4,5,5.在小于100的正整数中,被7除余2的数的和为,答案,解析,1,2,3,4,5,自测点评 1.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列,要注意定义中的三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”. 2.等差数列与函数的区别:当公差d0时,等差数列的通项公式是n的一次函数;当公差d=0时,an为常数. 3.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0. 4.等差数列的前n项和公式有两种表达形式,要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1等差数列中基本量的求解 例1(1)(2015课标全国,

5、文7)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10= (,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,2)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于() A.3B.4C.5D.6,答案:C,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,思考:求等差数列基本量的一般方法是什么? 解题心得:1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. 2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,a

6、n,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想. 3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设三个数为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,对点训练1(1)等差数列an的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于() A.8B.10C.12D.14,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,2)设Sn为等差数列an的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考

7、点2等差数列的判定与证明 例2数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列; (2)求an的通项公式,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,思考:判断一个数列为等差数列的基本方法有哪些? 解题心得:1.等差数列的四种判断方法: (1)定义法:an+1-an=d(d是常数)an是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)an是等差数列. (4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列. 2.若证明一

8、个数列不是等差数列,则只要证明存在连续三项不成等差数列即可,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,对点训练2若数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1= . (1)求证: 成等差数列; (2)求数列an的通项公式,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点3等差数列性质的应用(多维探究) 类型一等差数列项的性质的应用 例3在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=. 思考:本例题只有一个已知条件,如何快捷地求出结果,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,类型二等差数列前n项和的

9、性质的应用 例4在等差数列an中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,思考:本例题应用什么性质求解比较简便? 解题心得:1.利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想,应用时常将an+am=2ap(m+n=2p,m,n,pN*)与am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,qN+)相结合,可减少运算量. 2.在等差数列an中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列an中,数列Sm, 也是等差数列,且有S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1);

10、,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,对点训练3(1)(2015广州模拟)等差数列an前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于() A.3B.6C.17D.51,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,2)已知等差数列an的前四项和为124,后四项和为156,各项和为210,则此等差数列的项数是,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,3)已知在等差数列an中,其前n项和为Sn,S3=9,S6=36,则a7+a8+a9,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点4等差数列前n项和的最

11、值问题 例5在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,思考:求等差数列前n项和的最值有哪些方法? 解题心得:求等差数列前n项和Sn最值的两种方法: (1)函数法:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看做二次函数,根据二次函数的性质求最值. (2)邻项变号法:利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,当 a10,d0时,满足 的项数m使得Sn取得最小值为Sm. 利用性质求出其正负转折项,便可求得前n项和

12、的最值,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,对点训练4(1)等差数列an的前n项和为Sn,已知a5+a7=4,a6+a8=-2,则当Sn取最大值时,n的值是() A.5B.6C.7D.8,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,2)设数列an是公差d0的等差数列,Sn为前n项和,若S6=5a1+10d,则Sn取最大值时,n的值为() A.5B.6C.5或6D.11,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,3)已知等差数列an的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和Sn的最大值为,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方

13、法,易错易混,1.等差数列的判断方法: (1)定义法; (2)等差中项法; (3)利用通项公式判断; (4)利用前n项和公式判断. 2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第2项起成等差数列. 3.方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时,可以考虑化归为a1和d等基本量,通过建立方程(组)获得解,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,1.当公差d0时,等差数列的通项公式是n的一次函数;当公差d=0时,an为常数. 2.注意利用“an-an-1=d”时加上条件“n2”;否则,当n=1时,a0无定义,思想方法整体思想在等差数列中的应用 整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有:整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等.在等差数列中,若要求的Sn所需要的条件未知或不易求出时,可以考虑整体代入,典例