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1、关于不定方程的整数解及应用 四川省黑水县中学 徐昌华 对于不定方程ax+by=c来说，它的整解数解虽然有无数个，但也有它的规律性。 其规律为： 应用举例例1：求方程3x+2y=5的整数解。例2：一袋5角、2角、1角的硬币共15枚，合计3.50元，问各有多少枚？解：设5角、2角、1角的硬币各有x、y、z枚，由题意列方程组： 4x+y=20它的一组解为， 所以 ， ，例3：（古代问题）公鸡每只5文钱，母鸡每只3文钱，小鸡每3只1文钱，现用100文钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买多少只？ ， ， （这是古代张丘算经中有名的“百鸡问题”）例4：（数学竞赛题选）甲、乙两人到特价商店去买商品，已知两

2、人购买的商品件数相同，且每件商品的单价只有8元、9元两种，若两人共花去172元，8元、9元的商品各有多少件？解：设两人共买8元的商品x件，9元的商品y件。 则 8x+9y=172 （x、y均为偶数） 由于x、y均为偶数 例5：（数学竞赛题选）已知：N=23x+92y为完全平方数，且N不超过2392。则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有多少对？ 解： N=23（x+4y）且N是一个完全平方数 N=23232392， 或 N=232342392 x+4y=23 或 x+4y=234 这样的（x，y）共有5对 这样的（x，y）共有22对这样适合已知条件的正整数对（x，y）共有27对。例6、一个

3、人在2000时，他的年龄等于他的出生年份的各位数字之和，求他的出生年份。解：设这个出生于19xy，由题意列方程： 即（x、y只能是数字）是它的一组整数解那么所有的整数解为：（k为一切整数）由于x、y只能是数字，所以解之得： 答：这个出生于1981年。例7、爸爸现年（2004年）不到40岁，爸爸的年龄正好是儿子的5倍，过若干年后，爸爸的年龄是儿子的4倍，再过若干年后，爸爸的年龄比儿子的年龄大2倍，那么爸爸、儿子各是哪一年出生的？解：设儿子今年的年龄为X岁，爸爸的年龄为y岁。过m年爸爸的年龄是儿子的4倍，过了n年爸爸的年龄比儿子的年龄大2倍。由题意列方程组。， 解之得k-1（1） （2）（3） 。所以爸爸是1974年出生的，儿子是1998年出生的。利用不定方程ax+by=c的整数解，解决我们常见的一些问题，能使在解决问题时不发生遗漏，而且方向明确，从而避免了逐个

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