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1、第三节 极限的运算法则与性质,一、极限的运算法则,一、极限运算法则,为简化起见, 以 表示自变量 的下列任一种变化,趋势,法则1（极限四则运算法则）设,则,若 则有,例1 求极限,解 由运算法则得,由上例得到多项式函数在有限点的极限的一般公式,若,则,例2 求极限,解 因,所以由商的运算法则得,更一般地有有理函数在有限点处的求极限法则,若,且 则,例3 求极限,解 因,所以,例4 求极限,解 分子分母均除以 得,例5 求极限,解 分子分母均除以 , 得,对上面几个例子的分析, 得到有理函数,时的极限公式,当,基本方法,除以最高次幂,法则2（复合函数的极限运算法则 ） 设,但在点 的某去心领域内

2、 则复合函数,又设函数 当 时的极限存在且等于,当 时的极限存在, 且,例6 求极限,解 令 则函数,满足定理的条件, 由此得到,例7 求,解,上例给出了无理函数求极限的一般方法,有理化,例8 求,解,二、极限的性质,1. 收敛数列的有界性,定理 收敛数列必有界,推论: 无界数列必发散,注意, 该定理不是充分必要条件,例如数列,是有界数列但是发散的,与数列的有界性定理平行的是,定理 （局部有界性）如果极限,存在 , 那么,有界性的几何意义,局部范围,上界与下界,在 的某个去心邻域内, 函数 有界,2.有极限的函数的局部保号性,定理 （极限的保号性） 如果,则存在,的某个去心邻域内, 使得在该邻域中有,保号性的几何意义,局部范围,保持符号,小 结,极限的运算法则,极限四则运算法则,复合函数的极限运算法则,极限的性质,收敛数列的有界性,有极限函数的局部

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