汽车行驶问题

1、汽车行驶问题,问题一,曲率限制的停车问题,一辆汽车静止于A处，要开到与车身垂直的B处，不能倒车，沿着什么路径行驶路程最短,A,B,背景知识 从A点行驶到B点必须转弯，由于车身有一定长度，转弯不能转得太小，即路径的曲率K不能太大或者曲率半径r不能太小。（可以以火车转弯的轨道来想象,问题二,汽车绕行,r,x3,y3,汽车从A地出发，到河边取水送往B地，两地之间有一个不能穿越的圆形建筑群（见图），汽车如何行走，才能使得路程最短,o,已知 A,B即建筑群中心的坐标都已知，如图所示，建筑群个半径r也已知。建筑群周围就是汽车道路,问题三,停车问题1,p,s,A,L,M,B,C,D,Q,R,如图所示，有三个

2、半径为a的圆，其中两个圆的圆心相距2b=4asin,其中，0/2.第三个圆与这两个圆相切。做圆A，B的另一侧公切线CD,若汽车的最小转弯半径为a，不能倒车，讨论如下问题,1）车停于P处，车头朝上，要行驶到S处，什么路径最短,2）汽车停于L处，车头向上，要行驶到M出车头朝下，最短路径是什么？如果可以倒车,3）汽车停于C，车头朝上，要行驶到P处车头朝上，什么路径最短，如果可以倒车呢,问题四,停车问题2,A,B,1,2,驾驶一辆车从A处到B处，在A处与AB夹角为1，到达B出后与AB夹角为2.如何行驶，路程最短？汽车的最小转弯半径为a,汽车绕行,r,x3,y3,汽车从A地出发，到河边取水送往B地，两地

3、之间有一个不能穿越的圆形建筑群（见图），汽车如何行走，才能使得路程最短,o,分析 汽车从A到B，又要取水，圆形建筑群又不能穿越，不外乎下面几种走法,已知 A,B即建筑群中心的坐标都已知，如图所示，建筑群个半径r也已知。建筑群周围就是汽车道路,r,x3,y3,o,C1,汽车于建筑群与A之间取水走法1,E1,E2,从A到取水点C1,再走C1E1直线切入圆道(上半圆道)，再沿圆道行至E2，最后由E2相切走直道至B,r,x3,y3,o,C2,汽车于建筑群与B之间取水走法2,E1,E2,汽车从A直道走入E1，再走弯道E1E2，从E2切出，到取水点C2，最后走直道至B,r,x3,y3,o,C3,汽车在建筑

4、群最南端取水走法3,E1,E2,汽车从A到E1，走圆道（下半圆道）至取水点C3,再走圆道至E2，再切出走直线到B。根据假设，方法4优于方法2,模型假设 不管走哪条路径，汽车到达圆形建筑群，总是走切线到达，再走圆弧，然后再从圆形建筑群到B点也走切线，这样才可能路程最短,构建模型,1、先比较取水方法1和方法3的优劣,r,x3,y3,o,C1,E1,E2,D,如上图所示，过B作通过圆心的直线交C1E1于D（如果不相交，C1更加靠左，方法1的距离更远），连接A、D。再过B作切圆于另一点E3，过A作切圆下方于E4。过D作切圆于E5的切线,C,下面来证明方发1距离大于方法3的距离,E5,方法3的距离为,方

5、法1的距离为,下面专门证明,O,过圆心O连接E4延长交DE5于P，显然OE4垂直AE4，则,显然,于是，有,01,由OE5垂直于PE5知,02,而由弧长的计算，由,03,当,时，有,根据02、03，得到,04,由01、04相加，得,即,05,2、比较方法2与方法3的优劣,C,方法2的行驶距离为,仿照上面的证明，有,综上所述，方法3取水时，汽车行驶距离最短,3、求方法3取水的汽车行驶距离,设C3OE1=, C3OE2,AO,06,07,08,所以，取水汽车行驶距离为,其中,下面针对特殊的A,B,O的取值,对假设的验证,A,B,D,E,F,O,1,2,如图所示，从A到B的直线道路AB被一半径为r的

6、圆（圆心在o）阻隔。求A到B的最短路径,p,Q,根据叙述，从A到B没有直线道路，只有走折线或其它曲线,常识：两点间直线距离最短,为了叙述的方便，作如下假设,1、由于圆的对称性，设A,B位于同一直线上，如图所示,2、过A与已知圆相切于E,过B与已知圆相切于F; 3、设角EOF,下面所叙述的过程为了说明走任意曲线APQB，其路程都大于走如下路程,注意到OE垂直于AE,OF垂直于BF，则,又假设曲线APQB的极坐标方程为（如果曲线不光滑，可以假设其逐段光滑，结果一样,则曲线PQ的长度为,1,由于任意曲线APQB的任意点的半径都大于圆的半径r，则,2,由公式1和2知,曲线APQB,即从A到B走AE直线

7、切入圆道EF，然后切出走直线FB,曲率限制的停车问题,问题一辆汽车静止于A处，要开到与车身垂直的B处，不能倒车，沿着什么路径行驶路程最短,A,B,背景知识 从A点行驶到B点必须转弯，由于车身有一定长度，转弯不能转得太小，即路径的曲率K不能太大或者曲率半径r不能太小。（可以以火车转弯的轨道来想象,ds,dx,dy,y=f(x,1、弧长元素（弧微分,计算方法如右图1所示,2、曲率,图1 弧长元素,M0,M,s,C,如右下图2，以M0为起点的曲线光滑曲线C.曲线上任意点点M的切线的倾斜角为,在M附近曲线上点M的倾斜角为+,即当弧长变化s时，倾斜角变化了,图2 曲率的示意图,现象：如果过M点时，曲线“

8、弯曲”厉害，那么， s引起的转角比较大,1,曲率的定义 单位弧长上切线转角的大小。即,弧段,的平均曲率为,点M处的曲率（曲线经过这点时的弯曲程度）为,如果此此极限存在,2,若曲线C对应函数的二阶导数存在。且,3,将1和3带入2，得,图3 曲率示意图,4,例如，直线y=ax+b在任意点M的曲率为K=0（为什么,例如圆上任意一点的曲率相同,不放设圆方程为,一阶及二阶导数分别为,带入4，得到曲率为,3、曲率半径,D,y=f(x,M,设曲线y=f(x)在M处的曲率为K(K0)，在M点曲线凹侧法线上取点D,使得|DM|=1/K=r。以D为圆心，r为半径的圆（与曲线C相切于M），成为曲率圆，D称为曲率中心

9、，r称为曲率半径。即曲率K与曲率半径r之间的关系就是,5,由此可见，如果曲线弯曲得越厉害，曲率K越大，曲率半径越小（转弯越明显，比如小汽车转弯）；如果曲线越平展，曲率K越小，曲率半径越大（转弯不明显，比如火车转弯,图4 曲率半径示意图,模型假设 设小汽车有一定长度，转弯半径不能太小，即路线曲率K不能太大或者曲率半径不能太小，写成约束为,其中a是小汽车能够根据自身长度，能够做最小的转弯半径（圆周半径,6,建立模型,设汽车行驶路径的参数方程为x=x(t)，y=y(t)，且已知x(0)=0，y(0)=0，x(T)=b,y(T)=0。求如下条件极值问题,模型求解,对于这个最优路线控制问题，可以用初等方

10、法求解,下面分三种情况来求解：1、如果A、B两点相距较远，|AB|2a，即,B距A超过汽车的最小转圈；2、如果|AB|2a，即A与B的距离小于汽车最小圈；3、|AB|=2a，这种情况比较简单，汽车按照最小转动圈驾驶，行驶半圆就可以到达B点，这不用专门讨论,1、|AB|2a,当A距离B较远时，从A行驶到B的最短路径与AB线段维成一个向外凸的区域。否则，如右图所示，汽车最短路径为ACDEB曲线。而此区域的凸包ACEB明显比ACDEB路径短，矛盾,A,B,C,D,E,图5 凸包示意图,A,B,O,C,a,汽车从A要行驶到B，首先要转向，而转向中，以最小半径a转动行驶距离最短，当转到C点时，沿着C切向

11、行驶到B，|BC|是直线最短路径的距离，注意到条件6，汽车不能在AOC内行驶，故,是汽车转向最短路径,所以，凸曲线（路径）ACB就是满足条件的最短路径。其余凸路线必须为于ACB以外，其路径长度必定大于ACB的长度,2、|AB|2a,从A到B的距离小于汽车最小转动圈的直径时，汽车从A点开始朝同一个方向只是转动时，始终到达不了B(最小转动半径决定,图6 先转再直行驶图,A,O,B,y,x,C,a,b,O1,图7 B在最小转动圈内（1,注意到汽车不能倒车，就只有两种方案可选,1）汽车先朝y正向开到C点，而从C点到B点刚好在最小转动圈上，即可沿着转动圈行驶到B。如图7所示。则行驶路径长度为,7,2）汽

12、车从A先向左反向沿着最小转动圈行驶至C，C与B恰好位于一个右向最小转动圈上，再沿着次圈行驶到B即可。见图8,图8 汽车先左后右的转圈到达B,C,根据图示，汽车路径的长度为,其中,8,可以证明,由此可见，当|AB|2a时，选择图8行驶方式，路经最短，路经有曲率K=-1/a和K=1/a（开始左转向再右转向行驶）两个圆弧构成的路径最优,作业1：停车问题,p,s,A,L,M,B,C,D,Q,R,如图所示，有三个半径为a的圆，其中两个圆的圆心相距2b=4asin,其中，0/2.第三个圆与这两个圆相切。做圆A，B的另一侧公切线CD,若汽车的最小转弯半径为a，不能倒车，讨论如下问题,1）车停于P处，车头朝上，要行驶到S处，什么路径最短,2）汽车停于L处，车头向上，要行驶到M出车头朝下，最短路径是什么？如果可以倒