公式运用.教师版

1、公式法计算目tM怔 知识点拨、常用公式1.n (n 1)；2.2n (n 1) (2n1)3.2=12 3：；一一 ：；nn2 (n 1)2 ； ；4.5.421 3 5 7 厝巧2n -1 =12-川n 1 n n 1 尹川3 21= n ；耳一1) d- (q=1)；等比数列求和公式：Sn虫2 pq1亠 亠aeq -16.平方差公式:7.完全平方公式: 用文字表述为:2 2a -b 二 a b a - b ；2 2 2 a b a 2ab b ，2 2=a -2ab b ；两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和， 加上（或者减去）这两个数的积的2倍,两条公式也可以合写在一起:首平方，尾

2、2 2 2（a 土b） =a2 2ab + b2 .为便于记忆，可形象的叙述为:平方，2倍乘积在中央”、常用技巧1.2.3.4.abcabc =abc 1001 ；ababab 二ab 10101 ；1 2 0.142857 ,0.285714 ,77-=0. 5 7 1 4,27=0.714285 ,1111 1111 23 n 321 ,n个1n个130.428571 ,76 =0.857142 ;7其中n _9 .目tM怔 例题精讲一、前n项和【例1】12 32 52 192【考点】公式法之求和公式【难度】2星【题型】计算【解析】12 32 51922 2 2 2 2 2 2=(1231

3、9 )-(24-18 )119 20 39 4 (12 亠 亠961=24709 10 196= 2470 285 =2185【答案】2185巩固】122242527282102【考点】公式法之求和公式【解析】原式 =(1222 亠 T62) 一(321121 321 421 62【难度】3星2 2 2 2691215 )【题型】计算,2 , _2=(1222 爪卜162)32(1222324252)=16 17 33 _9 5 6 116【答案】=1496 -495 =10011001计算：36 49 64 81亠 亠400难度】3星【例2】【考点】公式法之求和公式【解析】【题型】计算【答案

4、】原式=62 72 82 誉:;202=12 22 32 亠-20 - 12 22 32 42 521120 21 415 6 1166= 2870 -55 =28152815【例3】【考点】【解析】计算13133153公式法之求和公式【难度】3星原式=13233343-143152314315215 1333812 -.-7【题型】计算【答案】457600222 784=81288128计算：13，33 5s川懸993巩固】【考点】公式法之求和公式【解析】 与公式13 23亠亠门3【难度】3星2 n2fn +1 fL相比,4【题型】填空13 33 5993缺少偶数项

5、，所以可以先补上偶数项.原式=1323331003 - 23 1003=丄 100242101-2313 2503二丄 1002421013122一23502 5124=502 1012 -2 512 =12497500【答案】12497500333【例4】计算：2，320061 +2 +3+ +2006【考点】公式法之求和公式【难度】3星2(1 +2 十3 +2006 1【题型】填空【解析】 原式1 23亠 亠200620062006 1 =20130211+2+3+十 20062【答案】2013021【例 5】 计算：2004 2003 2003 20022002 2001 _200120

6、002 1 二【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空【关键词】西城实验【解析】原式=2003 22001 2亠 亠3 2 1 2=213 520012003=21 20031002-：-2=2008008其中也可以直接根据公式13 5 亠2n _1 =n2得出1 3 520012003 =10022【答案】2008008【例6】 计算：122232342亠亠1819219 202【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算【解析】 分拆(2 -1) 22 =23 -22，(3 -1 ) 32 =33 -32再用公式220 )原式二(23 22)(33 -32)(203 -202)

7、=(1 2333203) -(12 2321 2 2 1 202120 21 41 =412304 6【答案】41230【例7】 对自然数a和n，规定a n =an an丄，例如3、2 =32 3 =12，那么： 仰2 +2可2 +3V2 严 +992=；(2) 211 212 .【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空【解析】原式12 1 22 2 32- -99 99=12 22 - 3 -9922 3 川川99199 100 199 49506=328350 4950 =333300 原式=21 -2 -22 -21 -23 -2 -2 29820 - 21 22 亠.亠 298

8、 厂 121 22 23 亠-亠 299=20 . 21 学22 艺8 3=299 -13=3 299 7【答案】3333003 299 -3【巩固】看规律1312 , 1323=32 ,13233362，试求63- 73-143【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算【关键词】人大附中2 2【解析】原式二 13 - 23. ：；川 143 ?713 23. 川川53 =1214? -1 2 3 4 52 2= 105 -15 = 105 -15 105 15 =90 120 =10800【答案】10800【例8】计算:13 i i i 7 7专业文档【难度】3星【题型】计算【考点】公

9、式法之求和公式【解析】法一：利用等比数列求和公式。原式264729法二：错位相减法.设则 33 1 - 2 3 -4 -5，3S -S =3-4，整理可得 S 勻364 .333333729法三：本题与例 3相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3,与公比4差1,所以可以采用 借来还去”的方法，本题如果也要采用借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差1由于公比为3,要把分子变为2,可以先将每一项都乘以 2进行算，最后再将所得的结果除以 2即得到原式的值.由题设，2S =2 23整理得到s=1364 .729【答案】3641729【例9】1计算27263 25 3239

10、=19683 ,310 =59049【考点】公式法之求和公式【解析】注意到式子的特点疋从第个222221q 二刍5 6，则运用 借来还去”的方法可得到2S 4 = 3,3333332433233422352 3637的值。(已知37=2187 , 36561 ,27 =128 ,28=256 ,29=512 ,210 =1024 )【难度】3星【题型】计算卜加数开始，每一个加数比前一个加数2的指数减少1 , 3的指数增加1 .所以每一个加数是前一个加数的-倍，如果将题中加数按原来的顺序排列起来就是一个公比为2等比数列，于是按照错位减法进行运算即可。i己 S =27 +26 汇3+25 汉32

11、十24 X33 +23 汉34 十22 X35 十2江36 +37,3 S = 26 3 25 32 24 33 23 34 22 352 36 37 32 23 s 38S- S27，那么 S =38 -28 =6561 - 256 =6305，即原式的值为 6305 .22 2【答案】630511111111 1 1【例 10】1- 35791113151719 2481632641282565121024【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营【解析】原式=13 5 7 911131517191 丄丄11111-248163264128256

12、5121024=00 + 1 -00竺10241-丄21=11 1910 【答案】100凹1024【解析】计算：2 2.3416【考点】公式法之求和公式642256丄亠10244096【难度】【题型】填空【答案】原式=3344343344345311(4646)一463 33331 1=+ 2-,3-4-(5+5)6 =4 4444443 114095=( )-64 444096【解析】40954096【解析】3 +23+43卡+16彳 =248512【考点】公式法之求和公式【难度】3星【解析】原式二24-16-37 248512 丿【题型】填空=21 2311.2 4=72 31-74509

13、V 512 丿 512【答案】74 509512【例 11】计算：12-32-434-656333333公式法之求和公式【难度】4星设算式的值为S，那么3 = 3 2 3 身33233, i 3 2435 4653S S =32 -13即 2S =4 22343 3 3 3【考点】【解析】324333347【题型】丄丄3435，7-6735 _36，计算【答案】21143，则 4S 38一歹 1，14 2 22 2故4辽3孑歹3 所以4S =9-邸二=9召，333o 9171636S h4437291636729二、平方差与完全平方公式【例 12】（31415926 2 31415925 汉3

14、1415927 =； 1234 +8766 +2468 686+686 6862 2=314 +2 X314 686+686 =(314+686)2=1000000,所以，X=100000。【答案】100000【例13】有一串数1, 4, 9 , 16 , 25 , 36它们是按一定规律排列的，那么其中第1990个数与第1991个数相差多少？【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空【解析】 这串数中第1990个数是19902，而第1991个数是19912，它们相差2 21991 -1990 =(1991 1990) (1991 -1990) =1991 1990 =39

15、81【答案】3981【巩固】a、b代表任意数字，若(a b) (ab)二a ab b，这个公式在数学上称为平方差公式.根据公式，你来巧算下列各题吧. 98 102 67 73 64 28 2 29 3 31【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】计算【解析】 这个公式可以给我们的计算带来很多便利，在以后的奥数学习中会经常遇到，同学们最好记住哦我们就依据公式(a b) (a-b) =a a -b b来进行下面的计算： 98 102 =(100 -2) (1002) =100 100 -2 2 =10000 -4 =9996 67 73 =(70 -3) (703)=70 70

16、 -3 3 =4900 -9 =4891 64 28 =2 32 28 =2 (30 2) (30 _2) 2 (30 30 _2 2)=1792 2 29 3 31 =2 3 (30 _1) (30 1)=6 (900 _1) =5400 _6 =5394【答案】 9996489117925394【例 14】计算：11 19 12 18 13 17 14 16 二.【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级组，决赛【解析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式.原式二 152 -42152 -321 52 221 52 -12=1

17、5 4 _ 12 22 32 42=900 -30 =8702 2 2 2其中123 4可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式112亠 亠n n n 1 2 n 1进行计算.【答案】870【例 15】|2007 _8.5 8.5 -1.5 1.5 “10 “160_0.3=.【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空【关键词】迎春杯，初赛【解析】 原式=2007 8.5 1.5 8.5-1.5 亠10 十 160 0.3 ”200710 8.5-1.5 亠10 ：-160-0.3=2007 -7 - 160 -0.3 =12.5 -0.3 =12.2【答案】12.2三、

18、公式综合运用【例16】计算：1 4 3 7 5 10亠亠99 151二.【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】仁华学校,99,乘数可以【解析】 观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为1 , 3, 5, 乘数依次为4, 7, 10,151，根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为2n-1 ,表示为3n 1，所以通项公式为 2n -13n 1 =6n2 - n -1 .所以，原式 =6-1 -1 亠i6 22-2-1 厂 6 502-50-1=612 - 22出 卷502 - 12川卜50 -501=50 51 101 50 51 502=25622

19、5另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个差变 为相等再进行计算.1原式3 8 9 14 15 20297 3026|33 599 51515 5 厂 亠 297297 5=-32 3 5 92 9 5 152 15亠 2972 297 561 - 2 2 23915297253 9 15 2971916 -=31232 v而 1232522 2 2135 -【答案】(1 1 11 (1【例17】计算：24-2*22吃 X3 4 汇520X21 丿 11 1 +2难度】4星【考点】公式法之综合运用【解析】11222川汕n224n n 1 2n 1 2n

20、 2n 1 2n 21亠 2 2 21 +2 i +10【题型】填空-= 12X2n(2n +1 ) (2n 十12 n+2)_所以，七1卡+!2,2, , 21 2 10七二 1J -.2 33 44 55 6亠20 21所以原式=2434 520 21-124 55 620 2121 22匚丄丄丄4 55 620 21=12辽心 3汶4+21 222 2 235 -995 313 5 亠 亠 99225亠5亠 亠991亠3亠5亠 亠99992和1 3 5川川99都是我们非常熟悉的.2 2 2 2 2 2 2 2 299 = 123 爪汨00- 24610011100 101 201 4，：

21、50 51 1016 61100 101 201 -1021二泊 99 100 1016=166650 ,13 599 =502 =2500 ,35所以原式 1666502500 =25622522小结：从上面的计算过程中可以看出，12 ： 32 ： 52亠 亠9 91 _611 汇 2+23丰+9 9X100 x 9 9 ,100 1 0 13所以有 12 32 52亠 亠9922=1 2 2 3亠亠99 100256225=1221 22【答案】=12122=6115=51155 -11专业文档【例18】计算：12_2232_42亠亠20052_2006220072【考点】公式法之综合运用

22、【难度】3星【题型】计算【关键词】北京二中，入学测试【解析】 原式=20072 _20062亠亠52 _ 42 322 12= (2007 2006) (20072006)(2005 -2004) (20052004)恥卷(3 2) (32) 1= 2007200620052004 川质3 2 12007 12007 =2015028【答案】2015028【巩固】计算 12 -22 3 -42 - 562 . 172 -182 192【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算【解析】这个题目重新整理得：12 (322) (542) (762). (19182)=1 (32)(3 -2)(

23、5 4)(5 -4). - (19 18)(19 -18)=1 3 2 5 4 . 19 18=1 2 3 4 . 17 18 1920 9 10 =190【答案】190【巩固】计算：20 20 -19 19 18 18 17 17 亠 亠2 21 1 .【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算大家看,【解析】做这道题的时候，可能有些以前记住了 20以内平方数的同学就高兴了，但是其实并不需要，利用平方差公式：2020 1 9 1 9 (2019)(2019)20 18 18-17 17 =18 172 2 -1 1 =2 1 .于是，原式=20 19 18 17川卷2 1=(20 +1

24、)疋20 十 2 =210【答案】210【例 19】1 32 4 3 57 11【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算【解析】原式=2 -1 2 1厂3-1 3 1亠亠i10_1 10 1=22 -132 一1 亠 亠102 -1=22 32 3-站02 -9=12 22 32102 1010 11 2110 =3756【答案】375【例20】计算：11 29 12 28：；卅19 21二.【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空【解析】 原式=202 -92 r(202 -82严 亠i.202 -12=2029 _ 1 22 补:;921= 36009 10 19 =331

25、56【答案】3315【巩固】计算：1 99 2 98 3 97川川49 51二.【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空【解析】观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式.原式=50 -4950 49 厂 150 -4850 48 厂 亠 | 50-150 1=502 _492502 _482 |亠 亠502 -12=502 49 _ 12 2 4922 2 2 2=5049 -12 亠亠 492 1=504949 50 9962=5049 -49 25 33=49 25100 -33=49 25 67 =82075【答案】82075【巩固】50x50+49x51 +48x52+47x53+46x54=【考点】公式法之综合运用【难度】3星【