函数的概念与表示复习讲义与习题精选

1、第四讲函数的概念与表示一.知识归纳：1映射(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合 A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f: AB 。(2)象与原象：如果给定一个从集合 A到集合B的映射，那么集合 A中的元素a对应 的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。注意：(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。2.函数(1) 函数的定义 原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函

2、数，x叫作自变量。 近代定义：设 A、B都是非空的数的集合，f: XTy是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f: AB就叫做函数，记作 y=f(x)，其中x A,y B,原象集合 A 叫做函数的定义域，象集合C叫做函数的值域。注意：C B；A,B,C均非空(2) 构成函数概念的三要素：定义域对应法则值域3函数的表示方法：解析法列表法图象法注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。二例题讲解：【例1】下列各组函数中，表示相同函数的是()2log a(A) f(x)=lnx ,g(x)=2Inx(B)f(x)= a (a0 且 a詢),g(x)=x(C) f(x)=-x2 , g(x)=1

3、- |x| (x -1,1)(D) f(x)= logf (a0 且 a1),g(x)= x3解答：选D点评：判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。变式：下列各对函数中，相同的是( D )(A) f(x)= . x2 , g(x)=x(B)f(x)=lgx 2,g(x)=2lgx(D) f(x)=1-ux 1(C)f(x)= Ig , g(x)=lg(x -1)-Ig(x+1)【例2 (1)集合A=3,4,B=5,6,7，那么可以建立从 A到B的映射的个数是 ;从B到A的映射的个数是。(2)设集合A和B都是自然数集合 N ,映射f: AB把集合A中的元素n映射到集 合B

4、中的元素2n+n，则在映射f下，像20的原象是 。解答：(1从A到B可分两步进行，第一步 A中的元素3可有3种对应方法(5或6 或7)，第二步A中的元素4也有3种对应方法，故不同的映射个数有 3X 3=9个；反之从 B到A，道理相同，有2 X 2X 2=8个。(2)原象是4。点评：计算映射的个数问题一定要先搞清每个元素可对应的方法数，分步进行。变式 1:已知集合 M=1,2,3,m,N=4,7,n 4,n2+3n,m,n N*,映射 f: xy=3x+1,是从 M 到N的一个函数，贝U m,n的值分别为(B )(A) 2, 5(B) 5, 2(C) 3, 6( D) 6, 3变式 2：已知函数

5、 y=f(x), (x a,b),那么集合(x,y)|y=f(x), x a,b n (x,y)|x=2中所 含元素的个数是()(A) 1(B) 0(C) 0 或 1(D)1 或 2分析：本题首先要理解两个集合的意义，这里实际上是函数y=f(x), (x a,b)的图象与直线x=2的交点的个数，显然当2 a,b时由函数定义交点个数为1,当2 ”a,b时由函数定义交点个数为0。故选C。点评：函数的三要素中定义域和对应法则决定值域，对应法则是核心，它必须符合“任一”、“唯一”的要求。x _ 0x ： 0,求 fg(x),gmf 2 X 【例 3】已知 f(x)=2x - 1,g(x)=-1解答：f

6、g(x)=2x2 -1-3X0, gf(x)= *X 0(2x-1)2理解相互之间的关系；若函数点评：了解函数符号的意义，fg(x)中的g(x) A时，fg(x)才有意义，因而求 fg(x)时,121 2f(x)的定义域为A，则当 必须考虑g(x) A。*1二沪变式：已知f(x)=； x =(汽0)，求f(x+1). 2 .x x 0,：)1x E ( 00 1)解答:f(x+1)= x 1 X (-|)2(x 1) X -1,：)【例 4】(1)已知函数 f(1-cosx)=sin2x，求 f(x);“ 1 亠(2)已知 3f(x)+5f()=2x+1，求 f(x)X解答：(1)令 1- c

7、osx=t(0 t W则 cosx=1 -1,.22222 f(1 -cos x)=f(t)=sin x=1 - cosx=1 - (1-t) =-t +2t, 故 f(x)= - x +2x (0纟 W011253x1(2 )由 3f(x)+5f( )=2x+1 得 3f()+5f(x)= +1，联立解得 f (x)xxx8x88点评：函数f(x)的含义抽象，在函数的定义域与对应法则f不变的条件下，可以变换自变量字母，以至变换为其它字母的代数式。例如，f(x)=x 2+1与f(u+1)=(u+1) 2+1应视为同一函数。变式：设f(x)是定义在R上的函数，对一切 x R均有f(x)+f(x+

8、2)=0，当-1XW 1时， f(x)=2x -1,求当1x 3时，函数f(x)的解析式。解答：由 1xW 3 得-1X-2W 1, 对一切 x R 均有 f(x)+f(x+2)=0 ,二 f(x)= - f(x+2)，故 f(x-2)=-f(x-2) +2= - f(x)；又-1x-2 1 时，f(x-2)= 2(x-2)-仁2x-5,. f(x)= -f(x-2)= - 2x+5 (1x 3)点评：将1x w 3转化成-1x-2 w 1再利用已知条件是解本题的关键。4.函数的概念与表示复习题一、选择题：1设f是从集合A到集合B的映射，下列四个说法：集合 A中的每一个元素在集合 B 中都有象

9、；集合 B中的每一个元素在集合 A中都有原象；集合 A中不同的元素在集 合B中的象也不同；集合B中不同的元素在集合 A中的原象也不同，其中正确的是()A .和B .和C.和D .和2 .下列各组函数：f(x) = x+2 ,g(x)八 x24x 4 ; f (x)=厂xg(x)=x1 : f(x)=Jx , g(x)= lx其中f(x)和g(x)表示同一个函数的是(A .B .和3. M=x|O w xw 2,N=y|0 w给出的四个图形,x + 1, (XO) f (x) = x + 1 , g(x) = *卜 x_1,(xc0)C.D .其中能表示集合 M到N的函数关系的()C.2个D.

10、3个A . 0个B. 1个4.某物体一天中的温度是时间t的函数；T(t)=t 3- 3t+60，时间单位是小时， 温度单位为C,t=0表示12 : 00,其后t去值为正，则上午 8时的温度为()A. 80CB.112CC.58CD.18CA .定义域相同B.对应法则相同C.值域相同x16.若 f(cosx)= ,x 0, n，贝U f ()等于()D.以上说法都不对2 21 兀兀A. COSB.C.2 3417.设函数 f (x) = f () lg x 1，则 f(10)值为()xA. 1B.- 1C. 10D.D.丄10&已知集合A=x|0 x 6 , B=y|0 y 3,则下列对应关系f

11、中，不能看成是从集合 A()1B . f : x； x3占1D. f : x； y x6到集合B的映射的是1A. f : x y x2、填空题9. 已知(x,y)在映射f下的象是(2x+y,x-2y)，则(1,3)在f下的原象是 X3,(X A 0)10. 已知 f(X)=2, (X = 0) 则 f(2)=, f(-2)=, ff( - 6)0, (xvO)x 111. 已知 f( ) = x，贝y f(x) =.X +1三、解答题12. 若f :y =3x 1是从集合A= 1,2,3, k到集合B=4,7,a4,a2 3a的一个映射，求自 然数a和k的值及集合A和B.2x+3,(x 誉 _

12、1),213. 已知g(x)px, ( -V： x 2),且 g(t)=3 ,求 t .I3x-2, (x 2),14. 已知f(n A.；H；10)“、,求 f(5 和 f(10 的值.f lf(n +5)(n 10)15.根据下列条件，分别求出函数的解析式(1)已知 f x + l=x + ,求 f(x) I X丿X 1 2 2(2) 已知 af (x )+ bf 丨=cx(a, b, c R, ab 式 0,a 式 b )，求 f(x)x丿x都有(3) 已知二次函数 f(x)=ax 2+bx+c (a,b,c均为实数)，满足f(-1)=0 ,对于任意实数f(x)冰，并且当x (0,2)时,f(x) 2)(2) f(x)= 22 ax