高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 最大值与最小值 苏教版选修1-1

1、3.3.3最大值与最小值,第三章 3.3 导数在研究函数中的应用,1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一函数f(x)在闭区间a，b上的最值 函数f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 处或 处 取得 知识点二求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a，b)内的 (2)将函数yf(x)的各极值与 的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是

2、 ，最小的一个是,答案,端点,极值点,极值,端点处,最大值,最小值,知识点三最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言 (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有) (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点 (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得 如图是yf(x)在区间a，b上的函数图象 显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值， f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值 最大值yMf(x3)f(b)分别在xx3及xb处取得， 最小值

3、ymf(x4)在xx4处取得,返回,题型探究 重点突破,解析答案,题型一求函数在闭区间上的最值 例1求下列各函数的最值： (1)f(x)2x36x23，x2,4； 解f(x)6x212x6x(x2) 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表,令f(x)0，得x0或x2,当x4时，f(x)取最大值35. 即f(x)的最大值为35，最小值为37,当x2时，f(x)取最小值37,解析答案,反思与感悟,2)f(x)x33x26x2，x1,1 解f(x)3x26x63(x22x2) 3(x1)23， f(x)在1,1内恒大于0， f(x)在1,1上为增函数 故x1时，f(x)最小值12； x1时，

4、f(x)最大值2. 即f(x)的最小值为12，最大值为2,反思与感悟,1)求函数的最值，显然求极值是关键的一步但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得 求出导数为零的点 比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值 (2)若函数在闭区间a，b上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得,解析答案,跟踪训练1求下列函数的最值,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表,所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0； 即f(x)的最小值为0，最大值为,当x2时，f(x)有最大值f(2,解析答案,2)f(x)exex，x0，a，a为正实数,当x0，a时，f(x)0恒成立， 即f(x)在0，

5、a上是减函数 故当xa时，f(x)有最小值f(a)eaea； 当x0时，f(x)有最大值f(0)e0e00. 即f(x)的最小值为eaea，最大值为0,解析答案,题型二含参数的函数的最值问题 例2已知函数f(x)x33x29xa. (1)求f(x)的单调递减区间； 解f(x)3x26x93(x1)(x3) 令f(x)0，得x1或x3， 故函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，,解析答案,2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值 解因为f(2)81218a2a， f(2)81218a22a， 所以f(2)f(2)， 因为在(1,3)上f(x)0， 所以f(x)在1

6、,2上单调递增， 所以f(1)是f(x)的极小值，且f(1)a5， 所以f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值， 于是有22a20，解得a2. 所以f(1)257， 即函数f(x)在区间2,2上的最小值为7,反思与感悟,反思与感悟,函数的最值与极值及单调性密切相关，因而在求解函数的最值的问题时，一般都要判断函数的单调性与极值点导数是研究函数与极值的有力工具,解析答案,跟踪训练2已知函数f(x)ax36ax2b在1,2上有最大值3，最小值29，求a，b的值,解析答案,解由题意，知a0. 所以令f(x)0，得x0或x4(舍去) 若a0，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情

7、况如下表,由上表，知当x0时，f(x)取得最大值，所以f(0)b3， 又因为f(2)16a3，f(1)7a3， 故f(1)f(2)，所以当x2时，f(x)取得最小值， 即16a329，解得a2,因为f(x)3ax212ax3ax(x4)，x1,2,若a0，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表,所以当x0时，f(x)取得最小值，所以f(0)b29. 又因为f(2)16a29，f(1)7a29，故f(2)f(1) 所以当x2时，f(x)取得最大值， 即16a293，解得a2,解析答案,题型三函数最值的应用 例3设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0) (1)求f(x)的最小值h(t

8、)； 解f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)， 当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1， 即h(t)t3t1,解析答案,2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围 解令g(t)h(t)(2tm)t33t1m， 由g(t)3t230得t1，t1(不合题意，舍去) 当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表,对t(0,2)，当t1时，g(t)max1m， h(t)2tm对t(0,2)恒成立， 也就是g(t)0对t(0,2)恒成立,反思与感悟,只需g(t)max1m1. 故实数m的取值范围是(1，,反思与感悟,1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可

9、采用分离参数法进行转化f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可 (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“,解析答案,跟踪训练3已知函数f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数，若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围,解析答案,解由题意，知f(1)3c. 因此bc3c，从而b3. 所以对f(x)求导，得,x3(4aln xa12) 由题意，知f(1)0，即a120，得a12. 所以f(x)48x3ln

10、x(x0)， 令f(x)0，得x1. 当0 x1时，f(x)0，此时f(x)为减函数,当x1时，f(x)0，此时f(x)为增函数 所以f(x)在x1处取得极小值f(1)3c， 并且此极小值也是最小值 所以要使f(x)2c2(x0)恒成立， 只需3c2c2即可,解析答案,返回,解后反思,思想方法,分类讨论思想的应用,解析答案,解后反思,分析(1)求出g(x)的表达式是解题的关键； (2)构造辅助函数，结合单调性求解； (3)显然g(x)的最值决定了参数a的取值范围,当x(0,1)时，g(x)0， 故g(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，) 因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为

11、极小值点，从而是最小值点， 所以g(x)的最小值为g(1)1,当x(1，)时，g(x)0,解析答案,解后反思,当x(0,1)(1，)时，h(x)0，h(1)0， 因此，h(x)在(0，)内单调递减,解后反思,3)由(1)，知g(x)的最小值为1,解得0ae,返回,解后反思,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.函数f(x)x24x7，在x3,5上的最大值和最小值分别是_. 解析f(x)2x4， 当x3,5时，f(x)0， 故f(x)在3,5上单调递减， 故f(x)的最大值和最小值分别是10,2,10,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.函数f(x)x33x(|x|1)_. 有最大值，但

12、无最小值 有最大值，也有最小值 无最大值，但有最小值 既无最大值，也无最小值 解析f(x)3x233(x1)(x1)， 当x(1,1)时，f(x)0， 所以f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故正确,1,2,3,4,5,解析答案,解析因为y1cos x,所以y的最大值为ymaxsin,解析答案,1,2,3,4,5,4.函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为_. 解析f(x)3x26x93(x3)(x1). 由f(x)0得x3或x1. 又f(4)k76，f(3)k27， f(1)k5，f(4)k20. 由f(x)maxk510，得k5， f(x)mink7671,71,解析答案,1,2,3,4,5,5.已知a为实数，f(x)(x24)(xa)，若f(1)0，函数f(x)在2,2上的最大值为_，最小值为_. 解析由原式，得f(x)x3ax24x4a， f(x)3x22ax4,f(x)3x2x4,课堂小结,返回,1.求函数的最值时，应注意以下几点 (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在