中央极限定理（central limit theorem）

1、 Week10 - 7 -中央極限定理（Central Limit Theorem）(若你了解中央極限定理，你就會無法忍受別人不了解它)二項分布中的中央極限定理 (Laplace 與 Gauss 的智慧)丟銅板 n次，n次中正面的次數可以寫成n個Bernoulli變數的和，其中若第次為正面，若第次為反面，則中央極限定理為 FOUR TOSSES (n = 4) SD = 1 FOUR TOSSES (n = 4) SD = 1PCT per SDPCT per Head SIXTEEN TOSSES (n = 16) SD = 2 SIXTEEN TOSSES (n = 16) SD = 2P

2、CT per SDPCT per HeadSIXTY-FOUR TOSSES (n = 64) SD=4 SIXTY-FOUR TOSSES (n = 64) SD = 4PCT per SDPCT per Head應用:例一：丟銅板100次，恰得50正面50 反面各半的機率為何？丟銅板n次，恰得正面反面各半的機率為何？例二：丟銅板100次，正面個數介於45 與55間的機率為何？丟銅板n次，正面個數介於二定數間的機率為何？例三：銅板丟100次，正面數大於或等於50之機率為何？正面數小於或等於50之機率為何？(連續修正法)一般性的中央極限定理具有期望值 m, 變異數 s2, 則當樣本數夠大時 (

3、即n 夠大),和 () 及平均 () 漸進常態分布： 例一 : (離散均勻分布與常態分布) (n = 1 為自0, 1, 2, ,9 取出一數, 改正下列座標為0, 1, 2, ,9) n = 1 n = 2 平均 n = 3 平均 n = 4 平均母體與樣本 (複習)母體 (Population)樣本(Sample)母體中, 個體視為無窮多, 其對應的X值構成一機率分布 自X取了一組有限樣本 離散型 pdf (probability density function) cdf (cumulative distribution function) 連續型 pdf (probability de

4、nsity function) cdf: f(x) 形式不知, 必須自樣本中檢定 找到一個合適的模型 (參數)未知, 必須以樣本來作 估計或檢定(母體)平均值 , 期望值 (mean, expectation)離散型 連續型 樣本平均值 (sample mean) (母體) 變異數 (variance) s2, 標準差 (SD or sd) s離散型 連續型 樣本變異數 (sample variance),標準差 or (母體) 中位數 (median) x離散型 , 連續型 樣本中位數m (sample median) n odd : n even: (母體) p百分位點 (p-percen

5、tile or quantile) 離散型 , 連續型 樣本p百分位點 (n-1)p/100 = k +g (k為整數部份, g小數部份)100p PERCENTILE= X(k+1)+gX(k+2)-X(k+1)樣本總和、樣本平均與樣本比例 現作了n次實驗，設其取值分別為X1, X2, , Xn。每次實驗之值，期望值為EXi=，變異數VarXi=2，標準差SD( Xi )=。連續型離散型生物測量值或收入模式：常態分布N（,2）民意調查或選舉預測模式：白努力分布（P） P：支持率EXi=，VarXi=2，SD( Xi )=EXi=P，VarXi=P(1-P)，SD( Xi )=樣本總和 Sn=

6、X1+ X2+.+Xnn個生物測量值之和E(Sn) = nVar(Sn) = n2SE(Sn) =n夠大，Sn取值95%的範圍：E(Sn)1.96 SE(Sn)樣本總和 Sn=X1+ X2+.+Xnn個人中支持之人數E(Sn) = nPVar(Sn) = nP(1-P)SE(Sn) =n夠大，Sn取值95%的範圍：E(Sn) 1.96 SE(Sn)樣本平均=( X1+ X2+.+Xn)E=Var=SE=n夠大，取值95%的範圍：1.96樣本平均=( X1+ X2+.+Xn)：即為樣本中支持之比例以代表樣本比例E=PVar=SE=n夠大，取值95%的範圍：P1.96(a)銅板丟100次正面的總次

7、數為（ ）（ ）銅板丟100次正面的比例為（ ）（ ）(b)骰子丟60次其總和為（ ）（ ）6出現的次數為（ ）（ ）6出現的比例為（ ）（ ）(c) 抽樣誤差為3%樣本數至少為 ( ), 若為2%樣本數至少為 ( )習題 學號_ 系級_姓名_1. (a) 骰子丟1次，其點數期望值為何？變異數為何？(b) 骰子丟30次，30次總和點數之期望值為何？總和點數之變異數為何？(c) 骰子丟30次，其總和超過150之機率，利用中央極限定理大約是多少？(d) 骰子丟30次，其總和在80與130之間的機率，利用中央極限定理大約是多少？(e) 骰子丟30次，其總和小於60之機率，利用中央極限定理大約是多少？

8、2. 假設盒中有卡片10張，各有數字0,1,2,9，每張均有相同的機會被抽出：(a) 現抽出一張，其數字大小的期望值為何？變異數為何？(b) 現抽出10張，10張數字之平均值大於5的機會，利用中央極限定理大約是多少？(c) 現抽出10張，10張數字之平均值恰為5的機會，利用中央極限定理大約是多少？(d) 現抽出10張，10張數字之平均介於4與6之間的機會，利用中央極限定理大約是多少？3、假設 O型之人在某族群中約有 35%, 利用中央極限定理，求：(a) 100人中O型之人介於30 與40間的機率為何?(b) 200人中O型之人介於60 與80間的機率為何?(c) 1000人中O型之人介於300 與400間的機率為何?4. 本校5000名學生中, 約有男生4000人, 女生1000人（a）若歸還取樣任取100名學生, 則此100名學生中男生數目： 期望值為 、標準差 。（b）若在（a）中為不歸還取樣，則100名學生中男生數目的期望值與（a）中之期望值：相同【 】或不相同【 】,標準差比（a）中之標準差為：大【 】、小【 】、相同【 】（c