A07圆与扇形(二)教案

1、新课标数学思维同步训练六年级上册第七单元圆与扇形（二）【教学目标】1 能熟练应用圆与扇形的周长和面积计算方法，解决与圆有关的组合图形 的周长和面积问题。2 能运用割补、平移、旋转等方法巧妙转化图形，解决与圆有关的实际问 题。3通过解决与圆有关的实际问题，进一步提高运用“转化方法”解决问题 的能力。【教学重难点】重点：应用圆与扇形的周长和面积计算方法，解决与圆有关的组合图形的周 长和面积问题。难点：在解决与圆有关的实际问题中，理解割补、平移、旋转等转化图形的 方法。【教学过程】一、引入。如图，这是小明为自己家设计的一个花坛平面图， 他准备在阴影部分种上自 己最喜欢的月季花，妈妈让他计算一下种月季

2、花的面积是多少， 小明很快就算了 出来。现在知道正方形的边长是 6米，你知道小明是怎样算的吗？这是一个由半圆和正方形组合而成的图形， 要想解决问题首先应明确图形是 怎样画出来的。首先画了一个边长6米的正方形，然后以每条边为直径画了四个 半圆，阴影是四个半圆重叠的部分。方法一：分。如图，将阴影分成四部分，根据上一讲学习的方法，我们能计算出每部分的面积。3.14X（ 2 ） 2x 1 x 2- （2 ） 2=5.13 （平方米） 阴影部分的面积是：5.13X 4=20.52 （平方米） 方法二：整体考虑。根据图形的画法，阴影部分等于四个半圆的面积和 减去正方形的面积。6 13.14X( 2 ) 2

3、x 2 X 4- 62=20.52 (平方米)这一讲我们继续研究圆与扇形的周长和面积问题二、探索新知。(一)学习例1。1 .出示例题。例1:如图计算阴影部分的面积2. 观察图，理解图形的画法。观察图可以看出，图形是先画了一个边长 6米的正方形，又分别以相对的两 个顶点为圆心、以边长为半径画了两个圆心角是直角的扇形。 我们可以直接计算 两块阴影部分的面积，也可以先计算出空白部分的面积，再用总面积减空白面积。3. 学生独立解决问题。方法一：先求出正方形的面积，再求圆心角是直角的扇形面积，用正方形的 面积减去扇形面积，即得阴影面积的一半，再乘以2就是阴影部分的面积。1(6X 6-3.14 x 6X

4、6X 4 ) x 2=(36- 28.26) X 2=7.74 X 2=15.48 (平方厘米)方法二：因为一个正方形的面积减去一个圆心角是直角的扇形面积，即得阴 影面积的一半，所以两个正方形的面积减去两个扇形的面积即得阴影部分的面 积。16X 6X 2-3.14 X 6X 6X =72- 56.52=15.48 (平方厘米)方法三：先求出两个圆心角是直角的扇形面积和，即半圆的面积，再求正方 形的面积，用半圆的面积减去正方形的面积，即得空白部分的面积。再用正方形的面积减去空白部分的面积，即得阴影部分的面积。16X 6-( 3.14 X 6X 6X 6X 6)=36-( 56.52 36)=36

5、- 20.52=15.48 (平方厘米)方法四：先求出一个圆心角是直角的扇形面积，再求出直角三角形ABC或 ADC 的面积，用扇形的面积减去一个直角三角形的面积，即得空白面积的一半，再乘以2即得空白部分的面积，最后用正方形的面积减去空白部分的面积， 即得阴影 部分的面积。1 16X 6（ 3.14 x 6X 6X & 6X 6X ）x 2=36（ 28.26 18）X 2=36 10.26 X 2=36 20.52=15.48 （平方厘米答：阴影部分的面积是15.48平方厘米。4. 方法点拨。上面介绍了四种分析方法，每种思路都是寻找正方形、扇形、直角三角形 与阴影部分的关系，前两种方法直接计算

6、阴影部分的面积，后两种方法先求出 空白部分的面积，再利用空白部分面积算阴影面积。（二）学习例21 .出示例题。2. 观察图，理解图形的画法。观察图，可以看出先画了一个圆心角是直角、 半径为2厘米的扇形，然后以 扇形的两条半径为直径画了两个半圆。 如果直接考虑计算阴影部分的面积， 会很 困难。我们可以用整体考虑的方法，用总面积减去空白面积。也可以寻找转化图 形的方法。3. 引导学生解决问题。方法一：把此图分成如下图形状。由图可知：阴影部分的面积等于整个扇形的面积减去两个空白的小扇形的面积, 大扇形的面积：2 13.14 X 2 X 4 =3.14 （平方厘米）再减去小正方形中两个空白的面积。两个

7、空白小扇形的面积是:2 13.14 X（ 2-2） 2X 4 X 2=1.57 （平方厘米）小正方形中两空白处的面积是：1（2-2） 2 3.14 X（ 2-2） 2X 4 X 2=0.43 （平方厘米）阴影部分的面积是：3.14-1.57-0.43=1.14（平方厘米）方法二：因为原图中阴影部分可以通过分割、旋转转化成下图中的阴影部分, 所以阴影部分面积等于大扇形面积减去三角形的面积。2 113.14 X2 X ； 2X2X42=3.14 2=1.14 （平方厘米）答：阴影部分的面积是1.14平方厘米。4. 方法点拨。本题介绍了两种分析方法，第一种方法还是先计算出空白部分的面积，由 于空白部

8、分是不规则图形，不易直接计算面积，所以先通过添加辅助线把它分 成四部分；第二种方法通过巧妙地分割、旋转，把阴影部分转化成了一个弓形（三）学习例3。1 .出示例题。例3：下图中的两个正方形的边长分别是 12厘米和10厘米，求图中阴影部 分的面积。OU2. 观察图，理解图形的画法。这是一个组合图形，先画了两个边长为 10厘米、12厘米的正方形，然后在大正方形内画了一个以边长为半径、 圆心角是直角的扇形。我们很难直接计算出 阴影部分的面积，可以从整体考虑，用总面积减去空白面积。也可以寻找转化图 形的方法。3引导学生解决问题。方法一：先求出直角梯形 ABCE的面积和圆心角为ECG的扇形面积之和， 然后

9、减去三角形ABG的面积，就是阴影部分的面积。直角梯形ABCE的面积：（10+ 12）X 10十2=110 （平方厘米）扇形ECG的面积：2 13.14 X 122X 4 =113.04 （平方厘米）直角三角形ABG的面积：（10+ 12）X 10十2=110 （平方厘米）阴影部分的面积：110+ 113.04 110=113.04 （平方厘米）方法二：如图，连接AC EG则四边形ACGE为梯形，因 为CE和AG是梯形的两条对角线，所以三角形 AOE 和三角形OCG勺面积相等，因此，求阴影部分的面积 可以转化为求扇形ECG的面积。（如图）所以，阴影部分的面积为：2 13.14 X 122X 4

10、=113.04 （平方厘米）答：阴影部分的面积是113.04平方厘米。4.方法点拨。上面介绍了两种分析方法，方法一是整体考虑，用总面积减去空白面积， 这是我们计算组合图形的面积经常采用的方法。方法二则是灵活转化图形，转 化图形需要我们准确把握图形的特征，灵活地运用以前所学习的基础知识。（四）学习例4。1 .出示例题。例4:如图，求阴影部分的面积（单位：厘米）2.观察图，理解图形的画法。观察图，容易看出先画了一个直角边是 20厘米的等腰直角三角形，然后分别以三角形的三个顶点为圆心、以三角形的内角为圆心角画了三个半径10厘米的扇形。我们可以整体考虑，用总面积减去空白部分的面积3 引导学生解决问题。

11、方法一：从图中条件可知，三角形为等腰直角三角形，所以两个锐角都是45。因此用三角形的面积分别减去三个扇形的面积，即得阴影面积。3.14 X 1003.14 X 10观察图，理解图形的画法。观察图可以看出，先画了一个边长 40厘米的正方形，再以正方形的边长为 半径画了一个圆心角是90?的扇形，最后以正方形的边长为半径画了一个半圆， 阴影部分是扇形和半圆面积的差。 引导学生解决问题。(10+ 10)X( 10+ 10)宁 2-360X 45X 2-360 X 90=20X 20- 2-3.14 X 25-3.14 X 25=200- 78.5 78.5=43 (平方厘米)方法二：因为三个空白扇形恰

12、好拼成180的扇形，所以用三角形的面积减 去圆心角是180的扇形面积，即得阴影部分的面积。3.14 X 102(10+ 10)X( 10+ 10)- 2-360 X 180=20X 20-2-3.14 X 10X 10-2=200-157=43 (平方厘米)答：阴影部分的面积是43平方厘米。4.方法点拨。例4介绍了两种分析方法，第一种方法是利用等腰直角三角形的特征直接 计算三个扇形的面积，用总面积减去扇形面积。第二种方法利用了三角形内角 和是180?,把三个空白扇形拼成了一个圆心角是 180?勺扇形。(五) 学习例51 .出示例题。例5:如图，阴影部分的面积是多少平方厘米？(单位：厘米)方法一

13、：用大直角扇形的面积减去半圆的面积。3.14 X 402x 1 - 3.14 X（ 40 ） 2X * =628 （平方厘米） 方法二：从大小圆的半径关系来看，大圆半径是小圆半径的2倍，所以大圆面积1正好是小圆面积的4倍。所以，4大圆（图中直角扇形）面积就是小圆的面积， 即图中半圆面积的2倍，进而可知，图中阴影部分的面积正好是半圆的面积。阴影部分的面积是:3.14 X（詈）=3.14 X 200=628 （平方厘米）答：阴影部分的面积是628平方厘米。4. 方法点拨。在例5的分析中，我们巧妙的利用“大圆的半径是小圆半径的 2倍时，大 圆的面积是小圆面积的4倍”这一规律，使计算更加简便。（六）学

14、习例6。1 .出示例题。例6:如图，等边三角形的边长是10厘米，阴影部分的周长是多少厘米？2.学生独立理解题意。观察图思考问题：阴影部分的周长包括哪几部分?等边三角形的每个内的角都是60度，因此图中阴影部分是由三个圆心角是 60度的扇形组成的。观察阴影部分周长的组成，不难发现可以分成两类：线段 的长度和弧的长度。线段的长度就是等边三角形的周长；弧的长度是三个扇形的弧的长度之和。3 学生独立解决问题。利用“三角形内角和是180度”这一性质，可将三条弧长拼成圆周长的一半（如下图）2.如图，圆的半径是8厘米，求阴影部分的面积110X 3+ 3.14 X 10X 2=30+ 15.7=45.7 （厘米）答：阴影部分的周长是45.7厘米。4.方法点拨。例6通过转化图形，把求阴影部分的周长转化成了求等边三角形的周长与 圆周长的一半之和。三、练习应用。1.如图,已知圆心是O,半径r