高中数学 3.4.1 基本不等式 新人教A版必修5

1、3.4 基本不等式,第1课时 基本不等式,国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议. 有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举行，它的会标是什么,第24届国际数学家大会,会标是根据中国古代 数学家赵爽的弦图设计的， 颜色的明暗使它看上去像 一个风车，代表中国人民 热情好客,1.探索基本不等式的证明过程，并了解基本不等式的代数、几何背景.(重点） 2.基本不等式的简单应用,1.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗,探究点1 探究基本不等式,则正方形ABCD的面积

2、是_， 这4个直角三角形的面积之和是_,设AE=a,BE=b,a2+b2,2ab,当且仅当a=b时，等号成立,一般地，对于任意实数a，b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立,3.你能给出它的证明吗,提升总结,4.你能用不等式的性质直接推导吗,通常我们把上式写作,证明：要证,只要证,要证，只要证,要证，只要证,显然, 是成立的.当且仅当a=b时, 中的等号成立,基本不等式,注意：（1）a,b均为正数； （2）当且仅当a=b时取等号,提升总结,如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD, 则CD=, 半径为,CD小于或等于圆的半径,用不等

3、式表示为,上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立,几何意义：半径不小于半弦,可以叙述为: 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数,叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数,基本不等式,例1 当 时， 的最小值为 ，此时,2,1,探究点2 基本不等式在求最值中的应用,分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 即求（x+y）的最小值,例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m,则xy=100，篱

4、笆的长为2（x+y）m,等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10,因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40 m,结论1 两个正数积为定值，则和有最小值,当xy的值是常数 时，当且仅当x=y时， x+y有最小值,提升总结,分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xy m2.即求xy的最大值,例2 (2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m,则 2(x + y)= 36, x+ y=18,矩形菜园的面积为xy m2,当且

5、仅当x=y,即x=y=9时，等号成立,因此，这个矩形的长、宽都为9 m时， 菜园的面积最大，最大面积是81 m2,结论2 两个正数和为定值，则积有最大值,当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时， xy有最大值,提升总结,注意：各项皆为正数； 和为定值或积为定值； 注意等号成立的条件,一“正”， 二“定”， 三“等,最值定理,结论1 两个正数积为定值，则和有最小值,结论2 两个正数和为定值，则积有最大值,例3 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4 800 m3,深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元, 池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少,分析：水池呈长方体形，高为3 m,底面的长与宽没有确定. 如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低,由容积为4 800 m3 ，可得3xy=4 800,因此xy= 1 600.由基本不等式与不等式的性质，可得,解：设底面的长为x m，宽为y m,水池总造价为z元，根据题意，有,所以，将水池的底面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是 297 600元,1.在下列函数中，最小值为2的是（ ） A. B. C.