现金流量与资金的时间价值

1、现金流量与资金的时间价值,学习指导,学习目标： 理解资金时间价值、等值的概念及资金时间价值与等值的基本计算公式的原理及应用，领会现金流量图的绘制方法及其应用，能熟练掌握资金时间价值与等值的计算过程。 本章重点： (1)现金流量的概念、现金流量图的绘制； (2)资金时间价值、等值的概念; (3)资金时间价值的计算; (4)等值的计算与运用,学习内容,第一节 现金流量 第二节 资金的时间价值 第三节 等值的计算,第一节 现金流量,现金流量的概念：考察对象一定时期各时点上实际发生的资金流出或资金流入，称为现金流量，其中流出系统的资金称为现金流出（CO），流入系统的资金称为现金流入（CI） 净现金流量

2、的概念：现金流入与现金流出之差称为净现金流量（NCF,现金流量图 （）概念：是一种反映经济系统资金运动状态的图式，即把经济系统的现金流量绘入时间坐标图中，表示出各现金流入、流出与相应时间的对应关系。 （）现金流量图三要素：大小，流向，时间点,例如： 说明： a. 水平线是时间标度，时间的推移是自左向右， 每一格代表一个时间单位（年、月、日）； b. 箭头表示现金流动的方向：向上现金的流入，即表示效益；向下现金的流出，即表示费用或损失； c. 现金流量图与立脚点（特定的系统）有关。 d.箭线长短与现金流量数值大小本应成正比，但是由于经济系统中各时点现金流量的数额常常相差悬殊而无法成比例绘出，故在

3、现金流量图绘制中，箭线长短只是示意性地体现各时点现金流量数额的差异,注意： 第一年年末的时刻点同时也表示第二年年初。 立脚点不同,画法刚好相反。 净现金流量 = 现金流入 现金流出 现金流量只计算现金收支(包括现钞、转帐支票等凭证),不计算项目内部的现金转移(如折旧等,第二节 资金的时间价值,概念：是指资金通过经济活动其价值随着时间推移而发生变化，或者说资金通过经济活动其价值随着时间推移而不断产生价值增值，即在不同时间发生的等额资金，其价值有差别。 例如：资金用于投资就会带来利润；用于储蓄会得到利息,计算： （1）利息与利率 利息：在借贷过程中，债务人支付给债权人的超过原借款本金的部分。用I表

4、示,即： I=F-P(其中F为还本付息总额，即本利和，P为本金）,是资金时间价值的绝对表现形式。 利率：在单位时间内所得利息额与借款本金之比，通常用百分数表示。即：i=(It/p)*100%.（其中It为单位时间内的利息，P为借款本金），是资金时间价值的相对表现形式。 计息周期：用于表示计算利息的时间单位称为计息周期，计息周期通常为年、半年、季、月、周或日,2）单利计算 计算原理：单利是指在计算利息时，仅考虑最初的本金，而不计入之前利息周期内所累积增加的利息，即是“利不生利”的计息方法。 计算方法： It =P*id 式中：It：第t计息期的利息额； P：本金 id：计息期单利利息,例题 ：某

5、人以单利方式借入1000元，年利率8%，四年偿还，试计算各年利息和本利和F. 解：由于是单利计息方式，而且计息周期是一年，其偿还的情况如下表,3）复利计算 计算原理：在计算利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周期所累积利息总额来计算的，这种计息方式称为复利。即通常所说“利生利”、“利滚利”。 复利计算基本方法：计算方法：It=i*Ft-1 式中：It:第t计息期的利息额； i:计息期利率； Ft-1:第（t-1)年末复利本利和。 复利方式： 一次支付，即整付 多次支付情形,一次支付情形 概念：一次支付是指所分析系统的现金流量，无论是流入还是流出，均在一个时点上一次发生 。 分类： 终值计

6、算（已知P，求F） 现值计算（已知F，求P,终值计算（已知P，求F）： 公式：F=P(1+i)n 式中(1+i) n称为一次收付终值(期值)系数或一次收付复本利和因子，记为(F/P, i, n,例题：某人借款10000元，年利率10%，复利计息。试问借款人5年末连本带利一次偿还需支付的金额是多少？ 解：分析：由于此题是求在5年末需支付钱数，相当于知道了现值求终值，所以由公式：F=P(F/P,I,n)=10000（F/P，10%，5），从附录中查出系数（F/P，10%，5）为1.6105，代入式中得：F=100001.6105=16105,现值计算（已知F，求P）： 公式：P = F(1+i)-

7、n 式中(1+i)-n称为一次收付现值系数，可用符号(P/F, i, n)表示,n,0,P=,F,i,例题：某人希望5年末得到10000元的资金，年利率是i =10%，复利计息，试问现在他必须一次性存款多少元？ 解：分析：由于此题是求在5年前存的钱数，相当于知道了本利和F=10000.求本金P的值，根据公式： P = F(P/F, i, n)= F(1+i)-n =10000(1+10%)-5 =6209元,多次支付情形 概念：多次支付是指现金流量在多个时点发生，而不是集中在某一个时点上。 分类: 等额系列现金流量 等差系列现金流量 等比系列现金流量,等额系列现金流量： 概念：等额系列现金流量

8、是指现金流量序列是连续的，且数额相等。即At=A=常数（t=1,2,3n）At表示第t期末发生的现金流量大小，可正可负。 分类： 1)终值计算（已知A求F） 2)现值计算（已知A求P） 3)资金回收计算（已知P求A） 4)偿债基金计算(已知F求A,1)终值计算（已知A求F） 由基本公式F= =A(1+i)n-1+ (1+i)n-2 + (1+i)+1= A 式中 被称为等额系列终值系数或年金终值系 数,用符号(F/A, i, n)表示,即F=A (F/A, i, n,例题：若某人10年内，每年年末存入银行1000元，年利率8%，复利计息，问10年末他可从银行连本带利取出多少钱？ 解：分析：由于

9、每年存入1000元，相当于每年支付相同数额资金，求10年末的本利和，应用等额系列终值公式进行计算。 首先绘出现金流量图： 由公式F=A (F/A, i, n)可得出: F=1000(F/A,8%,10)=14486.6(元,2)现值计算（已知A求P） 由公式P=F(1+i)-n =A 式中 称为等额系列现值系数或年金现值 系数，用符号（P/A, i, n)表示，即P=A(P/A, i, n,例题: 某人希望在以后每年年末可从银行取回1000元，年利率为10%，复利计息，问他必须现在存入多少钱？ 解：分析：由于他每年末都要取回1000元，就相当于等额现金流量，即A=1000，求现值P的大小，应用

10、等额系列现值公式。 首先画出现金流量图： 由公式P=A(P/A, i, n)=1000（P/A,10%,5) =1000*3.7908=3790.8(元,P=,A=1000,0,1,2,3,4,5,i=10,3）资金回收计算（已知P求A） 由于等额系列资金回收计算是等额系列现值计算的逆运算,相当于已知现值P,求出A的大小. 现在我们已知现值的公式,那么A=P , 式中 称为等额系列资金回收系数,用符号(A/P, i, n)来表示,即A=P (A/P, i, n,例题：若某人现在投资10000元，年回报率为8%，每年年末等额获得收益，10年内收回全部本利，则每年应收回多少元？ 解：分析：由于是现

11、在投资10000元，就是已知资金现值P=10000元，求每年等额回收的资金A。 首先画出现金流量图： 由公式： A=P(A/P, i, n)=10000(A/P,8%,10) =10000*0.1490=1490(元,4)偿债基金计算(已知F求A) 由于偿债基金计算是等额系列终值计算的逆运算,即是已知本利和F,求A的大小。现在我们已知求本利和的公式，因此 A=F ，式中 称为等额系列偿债基金系数， 用符号（A/F，i, n)表示，即A=F(A/F，i, n,1,0,2,3,n,A=,i,F,例题：某人欲在第5年年末获得10000元，若每年存款金额相等，年利率为10%，复利计息，则每年年末需存款

12、多少钱？ 解：分析：由于想在第5年末得到10000，相当于知道本利和F=10000,求每年存款数A的大小。 首先画出现金流量图： 由公式A=F(A/F, i, n)=10000(A/F,10%,5) =10000*0.1638=1638(元,等差系列现金流量： 概念：在许多工程经济问题中，现金流量每年均有一定数量的增加或减少，如果逐年递增或递减是等额的G，则称之为等差系列现金流量,现金流量图： 可以简化为以下两个支付系列（a）与（b）之和： （a） （b,分类： 1）等差终值计算（已知G求F） 2）等差现值计算（已知G求P） 3) 等差年金计算(已知G求A,1）等差终值计算（已知G求F） 由图

13、（b)可知，将资金逐个求终值，相当于复利一次支付的终值计算： FG=G(1+i)n-2 +2G(1+i)n-3 + (n-2)G(1+i)+(n-1)G 经化简最终得出：FG=G 式中 称为等差系列终值系数， 用符号（F/G, i, n)表示。 即可以写成：FG=G(F/G, i, n) 因此可求出等差系列现金流量的终值： F=FA1FG=A1(F/A, i, n) G(F/G, i, n) 其中加号表示等差递增系列现金流量，减号表示等差递减系列现金流量,2）等差现值计算（已知G求P） 由P=F(P/F, i, n)可知， PG=FG(1+i)-n=G 式中 称为等差系列现值系数，可用符号（P

14、/G, i, n)表示,即可以写成PG=G(P/G, i, n ) 因此可求出等差系列现金流量的现值： P=PA1PG=A1(P/A, i, n) G(P/G, i, n) 其中加号表示等差递增系列现金流量，减号表示等差递减系列现金流量,3)等差年金计算(已知G求A) 由A与F的关系得： AG=FG(A/F, i, n)=G 式中 称为等差系列年金换算系数 可用符号（A/G, i, n)表示,即可以写成 AG=G(A/G, i, n ) 因此可方便的求出等差系列现金流量的年金：A=A1AG 其中加号表示等差递增系列现金流量，减号表示等差递减系列现金流量,例题：现有如下现金流量，设i=10%,复

15、利计息，试计算其现值、终值、年金。 解：分析：由于是等差递减系列，可以将其分解成两部分,由此可知，A1=800, G=50 A=A1-AG=A1-G(A/G, i, n) =800-50(A/G,10%,6) =800-50*2.224=688.8(元） P=A(P/A, i, n)=688.8(P/A,10%,6) =688.8*4.3553=2999.93(元） F=A(F/A, i,n)=688.8(F/A,10%,6) =688.8*7.7156=5314.51(元,等比系列现金流量： 概念：现金流量序列是连续，紧后现金流量较紧前现金流量按同一比率j连续递增At=A1(1+j)t-1

16、（t=1，2，3，,n） 现金流量图,重要公式： 1）等比系列现值 P=A1(P/A,i,j,n) (P/A,i,j,n)称为等比系列现值系数。 2）等比系列终值 F= A1(F/A,i,j,n) (F/A,i,j,n)称为等比系列终值系数,复利计算小结 1）知识结构图,2）复利系数间的关系： 倒数关系： (F/P, i, n)=1/(P/F, i, n) (A/P, i, n)=1/(P/A, i, n) (A/F, i, n)=1/(F/A, i, n) 乘积关系： (F/A, i, n)=(P/A, i, n) (F/P, i, n) (F/P, i, n)=(A/P, i, n) (F

17、/A, i, n) 其他关系： (A/P, i, n)=(A/F, i, n) +i (F/G, i, n)=(F/A, i, n )-n /i (P/G, i, n)=(P/A, i, n) -n (P/F ,i, n) /i (A/G, i, n)=1-n(A/F, i, n) /i,3）复利计算公式使用注意事项 本期末即等于下期初。0点就是第一期初，也叫零期；1点是第一期末也是第二期初。 本金P是在零期发生，即第一计息期开始时发生的。 F发生在考察期期末，即在n期末发生。 各期的等额支付A均发生在各期期末。 当问题包括P与A时，系列的第一个A与P隔一期。即P发生在系列A的前一期。 当问题

18、包括A与F时，系列最后一个A与F同时发生。 PG发生在第一个G的前两期；A1发生在第一个G的前一期,4）名义利率与实际利率 名义利率r：是指名义上的利率，它等于每一计息期的利率i与每年的计息期m的乘积，即r=i*m. 实际利率ieff：若用计息周期利率来计算利率周期利率，并将利率周期内的利息再生因素考虑进去，这时所得的利率周期利率称为利率周期实际利率（又称有效利率,名义利率r与实际利率ieff的换算关系 ieff =(1+r/m)m 1 注意： 按单利计息法，名义利率r等于实际利率i 。 按复利计息法，当m=1,r= ieff ；当m1,r ieff 。 例题：年利率为10%，按季计息，则年实

19、际利率是多少？ 解：分析：题目中的年利率为名义利率， r=10%，一年有四季，即m=4，由公式得： ieff =(1+r/m)m 1=（1+10%/4）4-1=10.38%， 大于名义利率,第三节 等值的计算,1）等值（equal value）的概念 由前所述，资金有时间价值，即使金额相同，因其发生在不同时间，其价值就不相同。反之，不同时点绝对不等的资金在时间价值的作用下却可能具有相等的价值。这些不同时期、不同数额但其“价值等效”的资金称为等值，又叫等效值。资金等值计算公式和复利计算公式的形式是相同的。等值基本公式相互转换关系见书上P29图2-9. （2）等值计算 影响资金等值的因素有三个：金

20、额的多少、资金发生的时间、利率（或折现率）的大小。其中利率是一个关键因素，等值计算中一般是以同一利率为依据的,例题 设年利率i=10%，复利计息，现在的1000元等于5年末的多少元？ 解：分析：用现在的1000元求5年后本利和，相当于知道P=1000,求F,应用一次性支付情形的终值计算公式。 首先绘出现金流量图： 由公式：F=P(F/P, i，n) =1000(F/P,10%,5)=1000*1.6105=1610.5（元,3）计息周期小于（或等于）资金收付周期的等值计算 方法一：按收付周期实际利率计算 方法二：按计息周期利率计算,例题1 某人现在存款1000元，年利率10%，计息周期为半年，

21、复利计息。问5年末存款金额为多少？ 解：分析：由题知计息周期为半年，而资金收付周期为一年，符合计息周期小于资金收付周期，可以用两种方法计算 方法一：按收付周期计算：ieff =(1+r/m)m 1=10.25%，则F=1000（F/P,10.25%,5)=1629.5(元） 方法二：按计息周期利率计算 F=1000(F/P,i,n)=1000(F/P,10%/2,2*5)=1628.9(元） 注意： 在实际中由于实际利率有误差，一般都采用计息期利率来计算。特别应注意，对于等额系列流量，只有计息周期与收付周期一致时才能按计息期利率计算，否则只能用收付期实际利率来进行计算,例2 按年利率为12%，

22、每季度计息一次计算利息，从现在起连续3年的等额年末支付借款为1000元，问与其等值的第3年年末的借款金额为多大？ 解： 首先画出现金流量图，如下所示,第一种方法：取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流量见下图： 将年度支付转化为计息期末支付（单位：元） A=F （A/F，3%，4） =1000 0.2390=239元 经转变后计息期与支付期重合（单位：元） F=A（F/A，3%，12）=239 14.192=3392元,第二种方法： 把等额支付的每一个支付看作为一次支付，求出每个支付的将来值，然后把将来值加起来，这个和就是等额支付的实际结果。 F=10

23、00(F/P，3%，8)+1000(F/P，3%，4)+1000 =3392元 第三种方法： 将名义利率转化为年有效利率，以一年为基础进行计算。 年有效利率是 F=A(F/A,12.55%,3)=1000 3.3923=3392元,例题3某人每半年存款1000元，年利率8%，每季计息一次，复利计息。问五年末存款金额为多少？ 解：分析：由于是等额系列流量，计息周期为一季，而收付周期为半年，不一致，因此不能用计息期利率进行计算，必须算出收付期实际利率。 画出现金流量图： 计息周期利率为：i=8%/4=2% 收付期实际利率为： ieff半 =(1+i)m 1=(1+2%)2 1=4.04% 则F=1

24、000(F/A,4.04%,2*5)=12029(元,4）计息周期大于收付周期的等值计算 方法一：不计息。在工程经济分析中，当计息期内收付不计息时，其支出计入期初，其收益计入期末。 方法二：单利计息。At=Ak1+(mk/N)*i 方法三：复利计息。此时，计息期利率相当于“实际利率”，收付周期利率相当于“计息期利率,例题1 某人每月存款100元，期限一年，年利率8%，每季计息一次，复利计息。计息期内收付利息按复利计算，问年末他的存款金额有多少？ 解：分析：由题知计息周期为一季，而收付周期为1月，计息周期大于收付周期。应先算出计息期利率，即季度实际利率：i季=8%/4=2%，由实际利率与名义利率

25、的关系: i季=(1+r季/3) 3-1=2% 因此: r季=1.9869%,则每月的利率为: I月= r季/3=0.6623%, 利用F=A(F/A, i, n)=100(F/A,0.6623%,12)=1244.69（元,5)利用复利表计算未知利率、未知期（年）数 计算未知利率i：一般不直接进行计算，而是利用复利表，然后进行线性内插值的方法求取。 计算未知年数n：与未知利率求解方法一样，一般不直接进行计算，而是利用复利表，然后进行线性内插值的方法求取,例题1 某公司2005年总产值为5.76亿元，要使其2010年总产值达到8.5亿元，它的年增长率应为多少？ 解：由公式F=P(F/P, i,

26、 n)得： (F/P, i, n)=F/P=8.5/5.76=1.4757 查复利表可知： （F/P, 8%, 5)=1.4693 （F/P, 9%, 5)=1.5386 显然i在8%和9%之间，利用线性内插值法求得： i=8%+（1.4757-1.4693）(9%-8%)/(1.5386-1.4693)=8.09,例题2 某企业贷款200万建亿工程，第二年底建成投产，投产后每年收益40万元。若年利率10%，问在投产后多少年能归还本息？ 解：先画出现金流量图： 以投产之日第二年底（即第三年初）为基准期， FP=P(F/P,10%,2)=242(万元） 再有P=A(P/A, i, n) =242

27、=40 (P/A, 10%, n) 求出6.05=（P/A,10%,n) 查复利表： （P/A,10%,9)=5.7590 （P/A,10%,10)=6.1446 由线性插值法求出n=9.7547,习题讲解,1.现有一项目，其现金流量为：第一年末支付1000万元，第二年末支付1500万元，第三年收益200万元，第四年收益300万元，第五年收益400万元，第六年到第十年每年收益500万元，第十一年收益450万元，第十二年收益400万元，第十三年收益350万元，第十四年收益450万元，设年利率为12%，求（1）现值；（2）终值；（3）第二年末项目的等值。 解：分析：第一和第二年现金流量为负，后面各

28、年现金流量为正；第六年到第十年是等额系列现金流量，可先将其转化为第十年末的终值；然后利用等值公式换算为现值，求出（1）；（2）和（3）可以利用（1）的结果求出,先画出现金流量图： （1）首先将第六年到第十年的年值转换为第十年末的终值，则有： F=A(F/A,12%,5)=500*6.3528=3176.4万元 再将各年的现金流量转换为现值，则有： P=200(P/F,12%,3)+300(P/F,12%,4)+400(P/F,12%,5)+3176.4(P/F,12%,10)+450(P/F,12%,11)+400200(P/F,12%,12)+350(P/F,12%,13)+450(P/F,12%,14)-1000(P/F,12%,1)-1500(P/F,12%,2)=-101.584万元 （2）F=P (F/P,12%,14)=-101.584*4.8871=-496.452万元 （3）F=P (F/P,12%,2)=-101.584*1.2544=-127.427万元,