用函数极值与导数

1、1.3.2 函数的极值与导数,f (x)0,f (x)0,1.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在 这个区间内f/（x） 0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数,一、知识回顾,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数,2.求函数单调性的一般步骤,求函数的定义域,求函数的导数 f/（x）,解不等式 f/（x）0 得f(x)的单调递增区间; 解不等式 f/（x）0 得f(x)的单调递减区间,问题：如图表示高台跳水运动员的高度 随时间 变化的函数 的图象,单调递增,单调递减,归纳: 函数

2、 在点 处 ,在 的附近, 当 时,函数h(t)单调递增， ; 当 时,函数h(t)单调递减,探究,3）在点 附近, 的导数的符号有什么规律,1）函数 在点 的函数值与这些点附近的 函数值有什么关系,2）函数 在点 的导数值是多少,图一,问题,探究,图一,极大值f(b,点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值,点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值,极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值,极小值f(a,二、函数的极值定义,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0,则f(x0)

3、 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0,则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0,函数的极大值与极小值统称 为极值,使函数取得极值的点x0称为极值点,思考：极大值一定大于极小值吗,1）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小,2）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个,3）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值,课后练习1.如图是函数 的图象,试找出

4、函数 的 极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点,随堂练习,答,x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函 数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点,导数值为0的点一定是函数的极值点吗,导数值为0的点一定是函数的极值点吗,是 为可导函数 的极值点的必要不充分条件,x,y,O,y = x3,1）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小,2）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个,3）极大值与极小值之间无确定的大小关系

5、。即一个函数的极大值未必大于极小值,4） 是 为可导函数 的极值点的必要不充分条件,一般地，当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是 极大（小）值的方法是： （1）如果在x0附近的左侧f(x) 0 ， 右侧f(x) 0 ，那么， f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧f(x) 0 ， 右侧f(x) 0 ，那么， f(x0)是极小值,2、极值的判别方法,下面分两种情况讨论: （1）当 ，即x2,或x-2时,2）当 ，即-2 x2时,例4：求函数 的极值,解,当x变化时， 的变化情况如下表,当x=-2时, f(x)的极大值为,令,解得x=2,或x=-2,当x=2时, f(x)的极小值为,巩固练习,1、求函数 的极值,课堂总结,一、方法: (1)确定函数的定义域 (2)求导数f(x) (3)求方程f(x) =0的全部解 (4)检查f(x)在f(x) =0的根左,右两边值的符号,如果左正右负 (或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值(或极小值) 二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极 值