《微分几何》陈维桓习题及答案

1、 6.1 测地曲率1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。证明： 设旋转面方程为，纬线即曲线：（常数），其测地曲率为为常数。 =+2、证明：在球面，上，曲线的测地曲率可表示成 ，其中是球面上曲线的参数方程，是曲线的弧长参数，是曲线与球面上经线（即-曲线）之间的夹角。证明 易求出, ,因此，而，故 。3、证明：在曲面的一般参数系下，曲线的测地曲率是，其中是曲线的弧长参数，并且，特别是，参数曲线的测地曲率分别为= + = + + + + ， 。证明 设曲面参数方程为，曲面上的曲线的参数方程为，为的弧长参数；为上沿的法向量；曲线，而 ， + v，代入计算v v v v，由此得到v v v，以上是测

2、地曲率的一般计算公式。 换回参变量，即可得到结果。= - =4若曲面：上曲线:u = u(t),v = v(t),t为曲线上的任意参数，试导出测地曲率的计算公式。解 由于 ，而 ，所以，所以；记， 又， ， 从而，由此得到：。 5、求椭球面上由平面所截的截线在点的测地曲率。6、求椭球面上由平面所截的截线在点的测地曲率。v vv6、2 测地挠率1、对曲面上的曲线的测地挠率，有.证明 证法一 ，将代入，利用拉格朗日恒等式，得，将 ，代入，得 ；证法二 ，由，得从而，将 ，代入，得 .2、设是曲面上的曲线，证明：是曲率线的充分必要条件是。证明 设是曲率线，于是是主方向，则有，从而； 若，则有共面，于

3、是有，而，必有，于是，即得是主方向，是曲率线。3 、曲面上一点处的单位法向量为.设曲面上曲线，以表示与的夹角.命 ，设曲面上曲线在点处的挠率和测地挠率分别为，则有 。 显然，如果沿曲线有常数，则对此种曲线有.证明 根据向量之间的关系， 易得， 利用上述关系式及曲线论的Frenet 公式，代入计算，得 。4、 设曲面：上的坐标曲线构成正交网.曲面上曲线的切方向与的夹角为，则有. 证明 在正交坐标曲线网下，我们有，将它代入测地挠率的计算公式，计算得 ， ，故有 .5、证明： 曲面上任何两正交的方向的测地挠率之和为零. 证明 在曲面上选取正交坐标曲线网，曲面方程.曲面上两正交方向与的夹角分别为和，由

4、于， ，所以有 . 选取曲率线网作为曲面坐标网，主曲率分别为，由欧拉公式，得，从而，于是 .6、证明： 曲面上一点 沿一方向上的法曲率为和测地挠率之间满足: .证明 由，经过计算，可得，此即. 7、证明 ：极小曲面曲面上一点 沿一方向上的法曲率为和测地挠率与曲面的Gauss 曲率满足: . 8、证明：若曲线为过曲面上一双曲点的渐近曲线，且 曲率，则曲线在点的挠率和曲面在点的Gauss 曲率满足: .证明 由条件可知，利用，即得.9、试证明:在曲面的双曲点,主方向平分两渐近方向.证:设曲面为S,渐近方向所对应得单位方向向量为,取在主方向下所对应的标准正交基为,则，其中是按的定向从到的角,则沿的法

5、曲率由Euler公式,有，因为是双曲点,不妨设,又所对应的方向为渐近方向,所以，解得，从而可知主方向平分两渐近方向. 10、 证明：假定曲面上经过一双曲点的两条渐近曲线在该点的曲率不为零，则这两条曲线在该点的挠率的绝对值相等，符号相反，并且这两个挠率之积等于曲面在该点的高斯曲率. 证明 这两条曲线在该点的挠率分别等于各自的测地挠率， 选取曲率线网作为曲面坐标网，主曲率分别为，且其中一条渐近曲线与成角，则另一条渐近曲线与成角，于是两条渐近曲线在该点的测地挠率分别为，显然，由于，所以，于是有 . 6.3 测地线 1. 证明:柱面上的测地线必定是定倾曲线.证明 不妨设柱面的直母线与轴平行，故曲面方程

6、可取为，其中为准线的弧长参数。现在求形如的测地线方程。此时，对于测地线，有，于是，可得 ， 由于为准线的弧长参数，所以有，从而，所以，因而；由此，测地线族的方程为，即测地线与轴（即直母线）成定角，从而形如的测地线为定倾曲线。又因直母线也是测地线，且与轴平行，故直母线也是定倾曲线.故 柱面上的测地线必定是定倾曲线.qv 2、设曲线是旋转面上的一条测地线，用表示曲线与经线的交角。证明：沿测地线成立恒等式常数。 + 证明 经线即曲线：（常数）；，；由测地线方程，有从而，可得，于是常数。 = 3、设在旋转曲上存在一条测地线与经线交成定角q， 并且q 证明：此旋转面必为圆柱面。v 证明 设旋转面方程为，

7、经线即曲线：（常数）；，；由测地线方程，有 ，由于，所以，又常数，于是，故常数，因此曲面为圆柱面。4、证明：(1) 若曲面上一条曲线既是测地线，又是渐近曲线，则它必定是直线。 （2）若曲面上一条曲线既是测地线，又是曲率线，则它必定是平面曲线。（3）若曲面上一条测地线是非直线的平面曲线,则它必定是曲率线.证明:（1）因为所给曲线是测地线，所以； 又因为所给曲线是渐近线，所以，而 ，所以，故所给曲线是直线。（2）设曲面曲线是既是测地线，又是曲率线；则若为直线，当然是平面曲线；若不是直线，由为测地线，知，从而；又因为曲率线，故依罗德里格定理，有；于是有，即，故，所以是平面曲线。(3) 因为所给曲面曲

8、线是非直线的测地线，所以沿此曲线有，从而，又因为曲线是平面曲线，所以，于是，因此由罗德里格定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲面曲线为曲率线。5. 证明：若曲面上所有的测地线都是平面曲线，则该曲面必是全脐点曲面.v证明:证法1 因对任意及点的任一单位切向量，均存在唯一的一条测地线过点，且以为其在处的切向量. 故上任一点处均存在至少三条测地线是非直线的平面曲线，任意，设为过点的三条非直线的测地线，对应的在点处的单位切向量分别为。由习题4（3）的结论，知均为曲率线，从而均为点处的主方向。故由的任意性知，曲面在每一点处均有三个不同的主方向，而这只有在脐点处才会产生。因此，为全脐点曲面。= +证法

9、2 因对任意及点的任一单位切向量，均存在唯一的一条测地线过点，且以为其在处的切向量. 由曲面曲线是测地线，所以；又是平面曲线，可知；于是。由于，所以在点的任意方向 从而知是脐点，故为全脐点曲面。6、已知曲面的第一基本形式如下，求曲面上的测地线:L（1）； （2）。解 （1）测地线方程: 于是有解此方程组，得，从而 ；（2） 测地线方程: 于是有解此方程组，得，从而 。7. 若在曲面上存在两族测地线,它们彼此相交成定角,则它的高斯曲率处处为零，该曲面必是可展曲面.证明 取其中一族测地线为-曲线，建立正交参数系；，设另一族测地线与-曲线的夹角为，则 由，得；由，又且，得， 代入公式：，得，所以曲面

10、为可展曲面。.8. 设是曲面上的一条曲线，是曲线上一点，曲线在点处的挠率和测地挠率分别为， .如果是测地线，且曲率，证明 .证明 由曲线论的Frenet 公式知道，,由是测地线和，得；于是，故有 .9、设是曲面上的一条曲线，是曲线上一点，曲线在点处的挠率和测地挠率分别为， .如果是渐近曲线，且曲率，则有 .证明 由曲线论的Frenet 公式知道，由是渐近曲线和，得；于是，故有 .注：设是曲面上的一条曲线，是曲线上一点，曲线在点处的挠率和测地挠率分别为， .若是一条直线，则曲率，既是测地线又是渐近曲线，曲面非平面，但。 事实上，是常向量，由，得，由，所以，故有，。10、假定曲面和沿曲线相切，证明

11、：（1）若是上的测地线， 则也必定是上的测地线；（2）如果是上的曲率线，则也是上的曲率线；（3）若是上的渐近曲线，则也是上的渐近曲线。v P v v P v证明： 因曲面和沿曲线相切，故曲面和沿曲线的单位法向量平行，即；（1） 证法1 若是直线，则既是上的测地线，也是上的测地线；若不是直线，则因是上的测地线，故的主法向量，从而，故也是上的测地线。证法2 因曲面和沿曲线相切，故曲面和沿曲线的单位法向量平行，即； 因是上的测地线，则有，即得，所以也是上的测地线。（2）若是上的曲率线，则有，从而，即也是上的曲率线。（3）若是上的渐近曲线，此时若为直线，则显然也是上的渐近曲线；若不是直线，则，从而，故

12、也是上的渐近曲线。 11、证明： 曲面上的测地线满足微分方程 。证明 设是曲面上的曲线，其中是曲线的弧长参数，是曲面上的法向量，；曲线的测地曲率，曲线是测地线的充分必要条件是，亦即 。6.4 测地坐标系1、 设曲面的第一基本形式为= +， 求G 及Gauss曲率.解 因为,有正交的参数曲线网，所以，；。= = - +2、设曲面的第一基本形式为，并且满足条件，证明：。+证明 由上题知，对关于在处Taylor展开,有,从而 。3、设曲面上以点为中心、以为半径的测地圆的周长为，所围面积是，证明：点处的曲率是。证明：在点附近取测地极坐标系,则有,其中；所以 ；于是，；两边关于求导，得，所以；= -对关

13、于在处Taylor展开,得q = - +；由，得 ；由，得 。p 6.5 常曲率曲面1. 试在测地极坐标系下写出常曲率曲面的第一基本形式.解 常曲率曲面的Gauss曲率在上取测地极坐标系,则,且 ;， i) 当时, 此时 ；根据条件，可得，于是，又因，得，从而，；ii) -当时, ，从而， 由条件，可得，所以，故；-iii)当时, 此时 。根据条件，可得，于是，。2. 证明:在常曲率曲面上,以点P为中心的测地圆具有常测地曲率.证明：常曲率曲面的Gauss曲率在上取测地极坐标系,则,且 ;= + 测地圆为-曲线，即（常数），其测地曲率为;因为常曲率曲面，故的第一基本形式为下列三种情况之一：q，；

14、= +, ；，；= - - 而在上述三种情况下， = 均与无关，即因此，在常曲率曲面上，测地圆有常测地曲率. -= - + - + - =3 已知常曲率曲面的第一基本形式为，；或，；= - - 证明：若是该曲面上的一条测地线的参数方程，其中是曲线的弧长参数，则存在不全为零的常数，使得他按照或是，分别满足下面的关系式： ，及 -。 试把上述关系式和球面、伪球面的测地线进行对照，想一想：上面的关系式有什么几何意义？证明 当时，测地线方程为 ，其中是积分常数；于是，由此即证得结果。当时，同理可得到测地线方程.- +所证关系式的意义如下：在的情形，可以把该常曲率曲面设想为球心在坐标原点的球面，要证的关

15、系式恰好表明测地线落在经过球心的平面上。 在的情形，可以把该常曲率曲面设想为洛伦茨空间中的伪球面（双叶双曲面的一支），要证的关系式恰好表明测地线落在经过坐标原点的平面上。4、试求Klein圆: 内的测地线解 令 ， 则，q测地线方程:其中为该测地线与曲线的夹角，为测地线的弧长参数。由（1 ）式，m，令 ，其中，则有，（为积分常数），+， 。+ 之间的保长对应.解 记 ，考虑分式线形变换，则，；为使，即- + - - -，令，则有即，所以必是虚数，不妨设，且取，从而有此时，即于是为Klein 圆和Poincare上半平面之间的一个保长对应.= + 思路：类似于寻求复平面上的单位圆与上半平面之间的

16、的保形角变换的方法。7、证明：具有下列度量形式的曲面都有常数Gauss曲率,其值为。试求它们之间的保长对应。（1）；（2）；（3）。证明 分别代入，计算可得； （1） 与（2）：令，则有；（1） 与（3）：令，则，令，即，则有，所以 为与之间的一个保长对应；（2）与（3）：则有 。 6.6 曲面上向量场的平行移动v v1、设是偏微分方程组，的非零解，其中是曲面关于它的第一基本形式的Christoffel记号。证明 ：（1）是非零常数；（2）是曲面上的切向量场，它沿曲面上任意一条曲线是平行的。证明 （1），同理可得，所以 由条件知，为非零向量，正定，故是非零常数；（2）设为曲面上任一条曲线，因，所以，故，沿曲面上任一条曲线平行。2、证明：曲面上的曲线（固定）的单位切向量沿曲线是平行的充分必要条件是，对于，沿曲线下式成立：。 证明 曲面上的曲线（固定）的单位切向量为，所以；沿平行，等价于v，；当时，有，当时，有 ；v 由此， 两者的等价性结论，即可得证。3、证明：在曲面上存在一个非零的、与路径无关的平行切向量场,当且仅当该曲面的Gauss曲率为零。证明： 充分性：当曲面的Gauss曲率时。 假若曲面上存在平行的向量场，则对曲面上的任意闭曲线，向量场沿一周