七年级新思维28-实验与操作

1、28.实验与操作问题解决例1 （第4届时代学习报数学文化节试题）循环往复 图中的程序表示，输入一个整数x便会按程序进行计算.x-5（ x是奇数时）x2 （x是偶数时）1万次计算不足1万次计算满将得数当作x设输入的x值为18,那么根据程序，第1次计算的结果是9;第2次计算的结果是4, 这样下去第5次计算的结果是 ，第2009次计算的结果是 .【答案】-4; -4输入18,依次得到的结果为：9,4,2, 1 ,-4,-2, -1 ,-6,-3,丄,-4 , -2 , -1 ,显然，除去前 4次的结果外，从第 5次的结果-4开始，每6次一个循环， 而（2009-4）- 6=2005 - 6=334余

2、1 ,故第2009次计算的结果为 -4 .例2将一个正方形纸片依次按图、图方式对折，然后沿图中的虚线截剪，最将图的纸再展平铺平，所看到的图案是（）.图一。A（向右对折）【答案】D例3 （贵州省中考题）如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作 如下：第1次把它等分成4个小正方形，第2次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形”依此操作下去.（1）请通过观察和猜想，将第 3次、第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数 （m）填 入下表.次数（n）1234n正方形总个数（m）59（2 ）请你推断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？【答案】（1）当 n =3 时

3、，m =13 ； n =4时，m =17 ； ” 一般的 m =4n - 1.（2）由m =4n 1，得103 =4 n 1 , n 25.5 ，因n不是正整数，故按此要求操作不可能得到 103个正方形.例4 （太原市竞赛题）有 1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下.现在要 求每一次翻转其中任意 6枚，使它们的国徽朝向相反.问：能否经过有限次翻转后，使所有 硬币的国徽都朝上？给出你的结论，并给出证明.【答案】用1997枚硬币的朝向情况可用1997个数的乘积来表示.若这些数之积为-1 （或+1）,表明有奇数（或偶数枚硬币朝下）.开始时，其乘积为（+1 ）1000 x（-1 ）

4、997 =-1 .每次翻折6枚硬币，即每次改变6个数的符号，其结果是1997个数之积仍为_1 .经过有限次翻转后， 这个结果总保持不变，即国徽朝下的硬币数永远是奇数枚，故回答是否定的.例5在2X 2方格纸中，以格点连线为边作面积为2的多边形（含凹多边形），请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗？分析与解 若没有规律性的认识， 则要无遗漏重复地找出全部解答是困难的. 恰当的方法是： 选择一些图形作基本图形，通过基本图形的组合找出解答，可将下列7个图形作为基本图形：(4)( 5)( 6)( 7)由此可得如下23个解答，其中凸多边形 7个，凹多边形16个:(9)(10)( 11)

5、(12)(13)( 14)(15)(16)( 12)( 18)( 19)( 20)( 21)(22)(23)例6游戏机的“方块” 用这7种图形拼成一个 形中的几种图形？俄罗斯方块 中共有下面7种图形，每种“方块”都由4个1 X 1的小方格组成.现 7X 4的长方形（可以重复使用某些图形）.问：最多可以用这7种图分析与解 为了形象化地说明问题， 对7X 4的长方形的28个小方格黑白相间染色， 除“品” 字形必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格外，其余6个方块各占2个黑格2个白格. 用其中的6种不同的图形方块可以拼成 7X4的长方形，方法很多，如图仅出示一种.下面证明不能7种图形方块都各用一次.

6、 将7 X 4的长方形的28个小方格黑白相间染色， 则 如图所示，黑、白格各 14个.若7X 4的长方形能用7种不同的方块拼成， 则每个方块用 到一次且只用一次. 其中“品”字形如图必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其 余6个方块各占2个黑格2个白格.7种不同的方块占据的黑格总数、白格总数都是奇数个，不会等于14.矛盾因此，不存在 7种图形方块每个各用一次拼成 7 X 4的长方形的方法. 所出，要拼成7X 4的长方形，最多可以用这 7种图形方块中的6种.数学冲浪知识技能广场1. （时代学习报数学文化节试题）乐在其中七巧板的起源要追溯到我国先秦时期，古算书骨髀算经中即有正方形分割术，经历代

7、演变而成“七巧图”（又称为“益智图”和“智慧板”，如图）.19世纪传到国外，多称其为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）,弓I起人们的极大兴趣，欧美许多国家纷纷出版书籍予 以介绍.（第 1 题）如果有一副七巧板的总面积是100平方厘米，那么其中正方形的那一块的面积是 平方厘米.图“乐在其中”的每个字都是由一副七巧板摆拼所得，请在图中用线段画出模块之间的“拼缝”.【答案】12.5画图略2. （乌鲁木齐市中考题）如图，在3X 3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有种.【答案】5（第 2题）（第 3题）3. （乌鲁木齐市中考题）

8、如图，将长度为20cm，宽为2cm的长方形的纸带，折成如图所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为 cm 2.【答案】36当n为偶数时，结果为伴（其中k是使斗为奇数的正整数）2 2，并且运算重复进行.例如:4. （浙江省嘉兴市中考题） 定义一种对正数n的“ F ”运算：当n为奇数时，结果为3n 5 ；取 n =26 , 则 固_第13= 画一第L H，若n = 449，则第449次“ F ”运算的结果是【答案】85. （浙江省金华市中考题）图中的大正三角形是由 9个相同的小正三角形拼成的，将其部分涂黑，如图、所示.图图图图（第5题）观察图、图中涂黑部分构成的图案它们具有如下特征：都是轴对称

9、图形，涂黑色部分都是三个小正三角形.请在图、图内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征.【答案】略思维方法天地6. （时代学习报数学文化节试题）折折剪剪一张正方形纸片，通过两次对折，然后按阴影部分进行裁剪并展开，可以得到如图（1）末的“蝴蝶结”：第一次对折今匹第二次匚口（第6题）请你仿图，将下面的正方形纸片经过两次对折后裁剪并展开, 出虚线和实线表示折叠过程，并用阴影表示剪去的部分.得到如图末的图形， 请画【答案】今i（第6题）7. （深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题）把四个完全相同的空啤酒瓶放置在桌面上，使 得四个啤酒瓶底中心的距离两两相等，请写出摆法关键步骤（可画图辅助说明）【答案】

10、先将三个空啤酒瓶放置成底面中心成“正三角形”的位置，再将一个空啤酒瓶倒置放在这个三角形中心P的位置，保持中心P的位置不变，适当移动三个底朝下的空啤酒瓶，放大或缩小“正三 角形”，可使瓶底中心构成四个边长相等的“正三角形”如图（答 案不唯一）.（第 7题）（第 7题）1 1r11III1 1 1 1 1L厂厂1-i i r -rrrr IITFin+-一Tim -mi-I ft1J-iDsLeS1 1 1J 1 1 1 11 1 1 1 1二（第8题）8.（俄罗斯萨温市竞赛题） 同的两个部分吗？一厂厂厂一I n-I nR TT- I I-I-I方格纸上有3个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完

11、全相【答案】9. （“希望杯”邀请赛试题）有依次排列的3个数：3, 9, 8对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3, 6, 9, -1 ,8, 这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串：3, 3, 6, 3, 9, -10 ,-1 , 9, &继续依次操作下去.问：从数串3, 9, 8开始操作至第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？【答案】一个依次排列的 n个数组成一个数串：q , a2 , a3，an ,依题设操作方法可得新增的数为：a2-a1, a3-a2, aas,，a.,则新增数之和为： - aj -

12、 a?），心4 -a3 （an -anJ P -印（探）原数串为3个数：3, 9, 8.第1次操作后所得数串为：3 ,6 ,9 ,-1,8 ,根据（探）可知，新增2项之和为：6+（ -1 ）=5=8 -3 ,第2次操作后所得数串为：3 , 3 , 6 , 3 , 9 , TO, -1 , 9 , 8,根据（探）可知，新增4项之和为3+3+ ( _10 ) +9=5=8-3，按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：(3+9+8)+100 X( 8 J3 ) =520.10. (五城市联赛题)有三堆石子的个数分别是19, 8, 9，现在进行如下的操作：每次这三堆石子中的任意两堆中各

13、取出1个石子，然后把这2个石子都加到另一堆中去，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：(1) 三堆石子的数分别是 2, 12 , 22;(2 )三堆都是12.如能，请用最快的操作完成；不能，则说明理由注：若从第一、二堆各取 1个到第三堆，可表示为(19, 8, 9) = (18, 7 11)等.【答案】(1)经过6次操作可达到要求：(19, 8, 9) = ( 21, 7, 8) : (23, 6, 7) : (25, 5, 6) n (24, 4, 8)二(23, 3, 10) n (22, 2, 12).(2) 不可能因为每次操作后，每堆码数要么加2，要么少1,而19, 8, 9被3除余数

14、分别为1, 2, 0，经过任何一次操作后余数分别是0, 1 , 2,不可能同时被 3整除.11. (中国科技技术大学“少年班”招生入学试题)如图a所示的展览馆有36个陈列室，每两个相邻陈列室之间有门可通，其人口与出口位置如图 b所示，现有人希望每个陈列都能参观，但只经过每个展室一次这可能吗？如果可能，请为他设计一条参观路线；如果不能，请说明理由.ab【答案】不可能我们设想36个展室都依次相间地铺上了 两种颜色的地毯，则参观者无论怎样走法，只能按白t黑 t白t黑t白t ”的次序前进.因此，不管参观者怎样走法，第36次只能走到一间黑色地毯的展室，绝不可能 走到铺白色地毯的展室出口.应用探究乐园12

15、. (江苏省竞赛题)如图是一张“ 3X 5”(表示边长分别 为3和5)的长方形，现要把它分成若干边长为整数的长方形(包括正方形)纸片，并要求分得的任何两线纸片都不完全相同.(1 )能否分成5张满足上述条件的纸片？(2 )能否分成6张满足上述条件下纸片？若能分，用“ ax b”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分 割的示意图；若不能分，请说明理由.【答案】(1)把可分得的边长为整数的长方形按面积从小到大排列，（第 12 题）有 1 X 1, 1 X 2, 1 x 3, 1 x 4, 2X 2, 1 x 5, 2X 3, 2X 4, 3X 3, 2 x 5,3X 4, 3 x 5.若能分成5张

16、满足条件的纸片，因为其面积之和应为15,所以满足条件的有1 x 1、1 x 2、1x 3、1x 4、1x 5 (如图)或 1 x 1、1x 2、1 x 3、2x 2、1 x 5 (如图)(第12题)(2)若能分成6张满足条件的纸片，则其面积之和仍应为15,但上面排在前列的 6个长方形的面积之和为 1X 1+1 X 2+1 X 3+1 X 4+2 X 2+1 X 5=1915 .所以分成 6张满足条件的纸片 是不可能的.13. (河北省中考题)图形的操作过程(本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为 b)在图中，将线段 AA向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形 AAB2B1

17、(即阴影部分)； 在图中，将折线AAA向右平移1个单位到，得到封闭图形 AA2AB3B2B1 (即阴影 部分).(1 )在图中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；(2 )请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：(3) 联想与探索：如图，在一块矩形草地上， 有一条弯曲的柏油小路 (小路任何地方的水平宽度都是 1个单 位)，请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的.图【答案】(1)略；(2) S、S2、S3的结果都是ab-b ；(3)这是有关道路形状及草地面积的研究题，其中包含阅读、作图、计算及猜想等

18、步骤关键是探索：当道路由笔直到任意弯曲的变化 中，矩形中空白部分(即草地)面积情况.猜想：依据前面的计算，无论小路怎么弯曲，可以猜想草地的面积 仍然是ab -b 方法是将“小路”沿左右两个边界剪去，将其中一 侧的草地平移一个单位向另一侧草地靠拢，得到一个新的矩形.草地草地（第 13 题）此时，在新的矩形中，其纵向宽仍然是b，其水平方向的长度变成了 a-1，所以草地面积是 b(a T) =ab b .设而不求(微探究)字母示数是代数式的一个重要特征，是由算术跨越到代数的桥梁，是数学发展史上的一个飞跃.字线示数具有简明性、一般性，在求代数式的值、形成公式、解应用题等方面有广泛的应用.为了沟通数量间

19、的关系，或将有些不明朗的关系表示出来，我们需要设元，而所设的字母不能或不需要求出，这就是设而不求的基本涵义.例1 (四川省竞赛题)老师报出一个 5位数，同学们将它的顺序倒排后得到的 5位数减去 原数，甲、乙、丙、丙的结果分别是34567, 34056 , 23456, 34956，老师判定4个结果中只有1个正确，答对的是.【答案】乙 所得差=11 x 909( e-a)+90( d b)是11的倍数例2 (2012年湖北省恩施自治州中考题)某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10% 假设不计超市其他费用，如果超市要想获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高()

20、A 40% B 33.4% C. 33.3% D 30%【答案】B设水果质量为 m，进价为a，售价在进价的基础上至少提高x ,10汇丄、m. 1(1 +x)a ma则空型，解得x : 33.4% .100ma例3 (江苏省竞赛题)某地区的民用电，按白天时段和晚间规定了不同的单位某户8月份白天时段用电量比晚间时段用电量多50%, 9月份白天时段用电量比 8月份白天时段用电量少60%，结果9月份的用电量虽比8月份的用电量多 20%，但9月份的电费却比8月份 的电费少10%求该地区晚间时段民用电的单价比白天时段的单价低的百分数.【答案】设白天的单价为a元/度，晚间的单价比白天低的百分数为x,即晚间的

21、单价为(1 - x) a元/度,又设8月份晚间用电量为 n度，则8月份白天用电量为 (1+50%) n =1.5 n 度，8月份电费为1.5na(-x)na =(2.5 -x)na元，9月份白天用电量为1.5n(1 -60%) =0.6n 度，9月份晚间用电量为(n 1.5n ) ( 1 2%)- 0.6n = 2.4n度，9月份电费为0.6 na+2.4(1x)na=(32.4x)na .由题意得，(32.4x) na = ( 2.5 - x) (11 %) na , 解得 x =0.5 =50% 例4 从两个重量分别为12千克和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的 两块，把所切

22、下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等.求所切下的合金的重量是多少千克？【答案】设所切下的合金的重量为x千克，重12千克的合金的含铜百分数为p，重8千克的合金的含铜百分数为 q(p=q)，于是有xq(12 - x) p _ xp (8 - x)q12 一 8 ， 整理得 p(q - p)x =24(q - p) 因为p =q ,所以p q =0，因此x = 4.8，即所切下的合金重 4.8千克.例5 (“华罗庚杯”邀请赛试题)能否找到 7个整数，使得这7个整数沿圆周排成一圈后， 任3个相邻数的和都等于 29?如果能，请举一例；如果不能，请简术理由.分析假设存在7个整

23、数a ,还,a3 , a4 , a5, a?排成一圈后,满足题意，由此展开计算推理若推得矛盾，则原假设不成立.解由题意ai a2 a3 =29a2 as a4 =295 5a6 a7 a = 29 a7 a1 a2 = 29将上述 7 式相加，得 3 3（a-, a2 a3 a4 a5 a6 a7） =29 7,2 一.aia2asa4a5a6a7=67,与 1a2 asa4a5a6a7为整数矛盾，故不存在3满足题设要求的7个整数.难解的结英国剑桥大学有一位数学家（真名叫道奇逊），用刘易士卡洛尔的笔名写了不少非常有趣的科普读物，其中有一本乱纷纷的结，书中的每一章都叫做“绳结”，意即这些问题像绳

24、结一样复杂难解，下面就是一个“绳结”的题目：例6两个步行者正在急促地以每小时6千米的速度向山下走去， 一个年轻人像羚羊似的边跳边走，他的同伴吃力地跟在后面.年轻人说，只怪我们上山的时候走得太慢了，每小时只走3千米在平地的时候走得多快？他的同伴回答，在平路上每小时走4千米年轻人说，能赶得上回去吃夜饭吗？同伴说，这要看我们了我们3点钟出来，8点钟该我们回到旅馆的时候了.今天可真走了不少路年轻人说，到底走了多少路呢？同伴不耐烦地说，你自己去想吧.题目就是这样，似乎条件不充分，你能解开这个“结”吗？解设旅行都一共走过的路程为 x千米，上坡（或下坡）走过的路程为y千米，整个行程分为四段：走平路、上坡、下

25、坡、再走平路.1 x _ y开始走平路所花的时间是 2小时，上坡所花的时间是y小时，下坡所花的时间是y小436时，再走平路所花的时间是1x y2小时.41x - y依题意可得方程： 241x - y y y=5,364原方程化简得=5 ,x=20,4故他们一共走了 20千米.练一练1. （ 2012年“希望杯”邀请赛试题）已知 2x-3y =z - 56, 6y =91 -4z -x，则x, y, z的平均数是.【答案】4932. （世界数学团体锦标赛试题） A、B两校男生、女生人数的比分别为 8 : 7, 30 : 31,两校 合并后男生、女生人数的比是27： 26.若用一位整数的比近似表示

26、合并前 A、B两校的人数的比，则这个近似比是 【答案】453Sts 6143. （“希望杯”邀请赛试题）甲、乙两车从A向B行驶，甲比乙晚出发 6小时，开始时甲、乙的速度比是4 : 3.甲出发6小时后，速度提高1倍，甲、乙两车同时到达 B 则甲从A到B共走了小时.【答案】8.4设甲出发6小时后再用t小时即可追上乙，甲原速为 u ,乙速为V,由题设知当甲出发行驶6小时，乙已经行驶了 12小时，故有（12 t）6u 2tu,即12 t = （6 2t）U =（6 2t） U= （ 6+2 t） 4，故 36 3t =24 8t , t =2.4 （小时）.故甲共走 vv3了 6+2.4=8.4 （小

27、时）.4. 某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售每件冬装的利润是出厂价的25% （每件冬装的利润=出厂价-成本），10月份将每件冬装的出厂价调低10% （每件冬装的成本不变），销售件数比9月份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长（ ）.A . 2% B . 8% C. 40.5% D . 62%【答案】B设9月份每件冬装的出厂价为x元，则每件成本为0.75X元，10月份每件冬装的利润为（1-10%） x _0.75x=0.15x元，又设9月份销售冬装 m件，则10月份销售冬装（1+80%） m=1.8m件，故10月份的利润总额与 9月份相比，增长0.15x

28、1.8m-0.25xm皿 .0.25xm5. （“希望杯”邀请赛试题）甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29, 23 , 21和17,则这四人中最大年龄与最小年龄的差是（）.A. 28 B. 27 C. 19 D. 18 【答案】DA地匀速驶往6%,则a、b的关系是（ ）.B地，如果汽车行驶的速度增加 a% ,6. （“希望杯”邀请赛试题）一辆汽车从 则所用的时间减少.100aA. b =1 +a%【答案】D设A、B两地之间的距离为 S , 时间为 t,则 S =vt =v(1 - a%)t(1 -b%).B. bC.1+a%b 1 a汽车行驶的速度为100ab 二

29、100 av,汽车从A地到B地所用的7. （环求城市数学奥林匹克试题）如图3X 3数表各行、各列及两条对角线之abcdefh和彼此相等，设为 S .求证：（1）S = 3e ;（2）2（a 亠c 亠g 亠i） =b亠 f 亠h 亠4e .【答案】（1） S=a e i =b e h=c eg =d e f, 相加得 4S=a b c d e f g h i i 3e，故 S=3e .（2） S=a b c=b e h，故 a cwh ,同理 a g=e f, g i=eb, 四式相加得2（a c g ib d f h 4e .& （湖北省黄冈市竞赛题）在一次数学竞赛中，组委会决定用NS公司赞助

30、的款购买一批奖品.若以1台NS计算器和3本数学竞赛讲座书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本数学竞赛讲座书为一份奖品，则可买80份奖品.问这笔钱全部用来购买计算器或数学竞赛讲座书，可各买多少？【答案】设每台计算器 x元，每本数学竞赛讲座书y元，则100（x 3y） =80 （ x 5y ）, 解得x =5y，故可购买计算器I00 塑 J 8y =160 （台）,x5y书 100（x+3y） JOX8y=8oo（本）yy9. （河北省中考题）甲、乙二人分别从 A、B两地出发，相向而行若同时出发，经 24分 钟相遇；若乙比甲提前10分钟出发，甲出发20分钟与乙相遇.求甲从A地到

31、B地、乙从B 地到A地各需多少分钟？【答案】40分钟、60分钟10. （广州市中考题）在车站开始检票时，有a（a 0）名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站.设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在6分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随时随检，问需要同时开放几个检票口？【答案】设需要开放x个窗口，每个窗口每分钟检出的人数是 c，每分钟来排队的人数是 b, 则la 30b =3

32、0cI-a 10b =2 10ca 6b =6cx由，得a =30b,c =2b .将a =30b, c =2b带入，得x =3 .借助图形思考（微探究）数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形，以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题.当代美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并能创造性地思考问题.”现阶段借助图形思考主要体现为：通过构造图形或拼图解与数量关系相关联的问题.例1 A、B、C、D、E、F六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了 5、4、3、2、1场球，则这没有与 B队比赛的球

33、队是F【答案】E队例2 （山东省威海市中考题）古希望常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如： 他们研究过图中的1, 3, 6, 10,由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形 数.类似地，称图中的 1 , 4, 9, 16,这样的数为正方形数.下列数中，既是三角形 数，又是正方形数的是（）.A. 289 B. 1024 C. 1225 D. 1378图OOO O OO O O O1000O OO14图【答案】C图中第n个图共有石子1+2+,+ n=n(n 28888o oooO OOO16(个),图中第n个图共有石子n2(个),1225= 49 50 , 1225 = 352 .2例

34、3 (浙江省衢州市中考题)有足够多的长方形和正方形卡片，如下图:(1)如果选取的1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重 叠无缝隙)，请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的 代数意义.这个长方形的代数意义是 (2)小明想用类似方法解释多项式乘法( a 3b) ( 2a b ) =2a2 7ab - 3b2，那么需要用 张.a2 3ab 2b2 =(a b)(a 2b).(2) 3; 7眼见亦可为虚例4 一只小渔船在海上遇到了台风，触到礁石上，船身撞出了一个窟窿. 如果不把它堵上,渔船就有沉淀的危险.船中只有一块边长是8cm的正方形木板.但

35、是和船的窟窿相比，木板的面积少1cm2 .怎么办好呢？正在焦急当中，有一个船员用锯把这块正方形的木板裁开(如下图)，然后用胶粘接拼成了长方形木板.8X8-64 (cm2)从图中的计算可知：原来的正方形木板的面积是64cm2，可是改成长方形以后的木板的面积却变成了 65cm2 了，正好多出1cm2 船员赶紧把它堵在窟窿上，避免渔船的沉没可是 大家都感到惊奇的是，这 1cm2是从哪里多出来的呢，你能告诉他们吗？【答案】如图，形成“对角线”的三角形之边与梯形之边不在同一条直线上，贝,2*1；严180 ,这便函是问题的症结所在.横看成岭侧成峰-b =(a b)(a b) = 1(a b)(a b)2=

36、4(a b) (a-b)2 2F面的图形，形象直观验证了平方差公式:a =a =a柳卡趣题例6法国数学家柳卡施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士，他对射影几何与微分几何研究都作出了重要贡献.在某次国际科学会议期间，一次有许多著名数学家参加的晚宴上，他提出了如下的一个轮船问题，人们称它为“柳卡趣题”每天中午有一艘轮船从法国巴黎的勒阿佛尔开往美国的纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔. 轮船在途中需要七天七夜. 假定所有轮船都以同一航线、同速匀速行 驶，问某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？这个问题难倒了在场的所有数学家，连柳卡本人也没有彻底解决.后来有一位数学家通过构图解法，才能使问题最终得以解决.解 用“时间一路程图”解答.勒阿佛尔 1234567891011121314151617日期纽约1 23456 7 8910 111213 14 151617日期从图上可以很清楚地看