七下3三角形全章导学案

1、3.1 认识三角形(1)【学习目标】1. 认识三角形，？能用符号语言表示三角形，并把三角形分类.2 知道三角形三边不等的关系.【学习重点】3懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法,?并能用于解决有关的问题知道三角形三边不等关系.【学习过程】 、探索思考知识点一:三角形概念及分类(1) 三角形概念:做三角形。由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫如图，线段AE、 是三角形的边;.是三角形的顶点；是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。图中三角形记作 ABG(2 )三角形按角分类可分为练习一:1、如图2.下列图形中是三角形的有图22、图3中有几个三角形？用符号表示这些

2、三角形.知识点二：知道三角形三边的不等关系，并判断三条线段能否构成三角形1、画一个 ABC分别量出AB BC, AC的长，并比较下列各式的大小：AB=cm, BC=cm, CA=cm;AB+BCAC AB+ ACBC AC +BCAB从中你可以得出结论：三角形任意两边之和 第三边问题：三角形任意两边之差与第三边长度比较大小？AB-ACBC, AC-BCAB, AB-BCAC由上面得到结论：三角形任意两边之差 第三边练习二：1、下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3，4，8；（2）5，6，11；（3）5, 6，102、有四根木条，长度分别是12cm、10cm 8cm 4cm,选其中三

3、根组成三角形，能组成三角形的个数是个。3如果三角形的两边长分别是3和 5,那么第三边长可能是（)A 1 B 、9C、3D、104、一个三角形有两条边相等，周长为20cm,三角形的一边长6cm,求其他两边长。、当堂反馈1、一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是（)A、7B、9C、12D 、 9或 122、 若三角形的周长是 60cm,且三条边的比为 3： 4: 5,则三边长分别为 3、（选做）若厶ABC的三边长都是整数，周长为 11,且有一边长为4，则这个三角形可能的最大边长是 .4、 （选做）已知线段 3cm,5cm,xcm,x为偶数，以3, 5, x为边能组成 个三角形。三、课堂小

4、结： 本节课你学到了那些知识？3.1认识三角形（二）导学案【学习目标】：1、理解三角形三个内角的和等于180。【导学部分】：活动一： 用量角器测量三角形 ABC的三个内角， Z A=,Z B=，/ C= , Z A+Z B+Z C=A bA活动二：做一个三角形纸片，它的三个内角分别为Z1,Z 2和Z 3AD（如图2）将/ 1撕下摆放，Z 1的顶点与Z 2的顶点重合。观察：AB与CD的位置关系思考：Z A+Z B+Z C=。在撕纸的过程中，发现三角形内角和定理的证明方法已知： ABC求证：Z A+Z B+Z ACB=180证明：过C作AB的平行线CE CE / AB （辅助线的作法） Z AZ

5、ACE（两直线平行，内错角相等）又 AB / CEZ B+Z BCE= （两直线平行，同旁内角互补）Z A+Z B+Z ACB=180证明： 过A作BC的平行线AE如右图,你还有其它的证明方法吗?/ AE/ BC/ 2= （两直线平行 角相等）/仁 （两直线平行角相等）又/ 1 + Z BAC+/ 2=。（平角的定义） _/ BAC+定理：三角形的内角和为 几何表示：在 ABC中，/ A+/ B+/ C= 活动三：如右图，已知 AB丄BC直角三角形 ABC记作,读作“ RT三角形ABC。它的斜边是，直角边是思考/ A+/ B=.证明：在 RT ABC 中，A+/ B+/ C=180又/ B=9

6、0A+/ B=.定理：直角三角形两个锐角 【达标检测】 如图：已知CD丄AB DF丄AC1. 图中有 个直角三角形，它们是Rt CDB 2. 在Rt ACD两锐角是 ，它们俩互 ,斜边是, 直角边是 ,【课堂探究】：1、在厶 ABC中若/ A=45,Z B=30,则/ C=.变式1:在厶ABC中，/ A=45,Z B= 2 / C,求/ B、 / C的度数。变式2 :在 ABC中，/ A=/ B= 2 / C,求/ B、/ C的度数。变式3 :在 ABC中，/ A+ / B = / C，求/ C的度数。3.1认识三角形（三）导学案【学习目标】：1.三角形的角平分线、中线的定义。【导学部分】：（

7、二）探索新知活动一：1、已知如图，AD是厶ABC的平分线，1思考：=，2若/ BAC=80,则/ BAD ，/ CAD 2.已知如图， AD是厶ABC中BC是的中线，则1思考: BDDCBC,2C 若 BC=8cm 贝y BD=, CD=。 Sa ABD S ADCSa ABC,2活动二：1、请在 EFG中画出三个角的平分线，在 IHJ中画出三条中线。 猜测：三条角平分线之间有怎样的位置关系？三条中线之间有怎样的位置关系？2、每人准备锐角三角形、钝角三角形、直角三角形纸片个两个， 、用折纸的方法得到三角形三条角平分线 、用折纸的方法得到三角形三条中线观察：三角形三条角平分线、三条中线有怎样位置

8、关系？结论：三角形的三条角平分线交于 点，三条中线交于 点。【课堂探究】 例 1:如图 1, Rt ABC中，/ A=90o,Z C=40o, BD是角平分线, 求/ ADB / CBA的度数。解:丄 CBA=5Gb/ BD是线/ ABD=25)/ ADB=9Gb- / ABD=90-=变式训练：如图， ABC中，/ ABC=Z C, BD是/ ABC的平分线，/ BDC=87 求/ A的度数。图4例2，如图4，若BC是Rt ADB中DA边上的中线，/ D=90), AB=2BD 且厶BDC的周长是7, 比厶ABC的周长少2,求BD, BA的长。解：/ BC是 Rt ADB中DA边上的中线，

9、DC=/ BDC的周长比厶ABC的周长少2( AB+BC+CA - ( BD+BC+D) =2即 AB-BD=2又 AB=2BD 2BD-BD=2 BD= BA=2BD=变式训练：在 ABC中，AB=AC中线BD把这个三角形的周长分成15和16两部分,求BC边的长。C【课后练习】1、如图，在 ABC中，AD是/ BAC的平分线，已知 / B=30,Z C=4C0,则/ BAD=度。2、已知 ABC中，AC=5cm中线ADffi ABC分成两个小三角形， 且厶ABD的周长比厶ADC的周长大2cm。你能求出AB的吗？ 若将条件变为：“这两个小三角形的周长的差是2cm”，你能求出AB的长吗？ 已知

10、ABC中，AD是厶ABC的中线，AC=8cm AB=5cm,求厶ADC与 ABD的周长差?A3、如图，在 ABC中，BD CD分别是/ ABC / ACB的平线。(1) 若/ ABC=6,/ ACB=5,求/ BDC的度数。(2) 若/ A=60，求/ BDC的度数。3.1认识三角形（四）导学案【学习目标】：1 、经历折纸和画图等实践过程，认识三角形的高；2 、会画任意三角形的高；【导学部分】：（一）、知识链接1、垂线：如果两直线相交成 90 （直角）,则两直线互相 ，其中一条直线是另一条直线的2、分别过A、B两点作直线 a的垂线（二）、探索新知1、高线的叙述: 人。是厶ABC的边上的高。 A

11、D BC垂足为D / / 0 三角形BC边上的高AD是2、三角形高线的定义：Aa（线段射线直线）3、识别三角形的高：如图 ABC中:BC边上的高 ;AB边上的高 _ AC边上的高4、画高线：C用三角尺分别画出图中锐角ABC直角 DEF,钝角 PQR勺各边上的高。问题：一个三角形有几条高?（1） 锐角三角形的三条高都在三角形的 ，垂足在相应顶点的对边上且三条高相交于点；（2） 直角三角形的斜边上的高在三角形的 ，一条直角边上的高是另一条直角边，三条高相交于 ；（3） 钝角三角形的钝角所对的边上的高在三角形的 ，另两条边上的高均在三角形的 ，三条高的延长线也相交于 点。结论：三角形的三条高所在的直

12、线交于 点。3.2图形的全等【课堂探究】例1:如图，在ABC中，AE AD分别是高线和角平分线,已知/ BAC=80,/ C=3&,求/ DAE的度数【课后练习】1、下列各组图形中，哪一组图形中AD ABC的高（）A、三角形的三条高线都在三角形内部CBB、三角形的高线、中线、角平分线都是线段C、三角形高线是垂线D三角形角平分线是射线3 已知：/ ACB=90 , CD ABC的高线/ A=30求：/ ACD / BCD4、已知：/ ACB=90 CD 丄 AB AB=13 BC=12 AC=5求：(1) SA ABC (2) CD长学习目标：1 知道什么是全等形、全等三角形；2 会用符号正确地

13、表示两个三角形全等;3 掌握全等三角形的性质自主学习：阅读课本P73-74内容，回答课本思考问题，并完成下面填空:、全等形、全等三角形的概念1 能够完全重合的两个图形叫做 全等图形的特征：全等图形的2.能够完全重合的两个三角形叫做二、全等三角形的对应元素及表示 完成下面填空：1.平移(平行移动)和都相同.旋转甲翻折启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后, 所以平移、翻折、旋转前后的图形2.全等三角形的对应元素变化了，？但、都没有改变， ，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略.(1)对应顶点(三个)-重合的顶点(2) 对应边(三条)-重合的边(3) 对应角(三个)-重合的角请同学们写出上图甲、

14、乙、丙的对应顶点、对应边、对应角 图甲：对应边是：对应顶点是：对应角是：图乙：对应边是：对应顶点是：对应角是：图丙：对应顶点是：对应边是：对应角是：3“全等”用“也”表示，读作“全等于”(1) 如图甲记作： AB3A DEF读作： ABC全等于 DEF如图乙记作： 读作：如图丙记作： 读作:注意：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上三、全等三角形的性质全等三角形的性质：全等三角形的相等，相等.练习1. 如图1 , OBD C和B, A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角.2.如图图1已知 ABEA ACD /课堂小结 本节课你有哪些收获?巩固练习对应角1下面是两

15、个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、2如图， ABEA ACD AB与AC, AD与AE是对应边，已知：/ A=43, / B=30,求/ ADC的大小.3.3探索三角形全等的条件(一)：sss学习目标1 理解三边对应相等的两个三角形全等的内容.2 会运用“边边边”条件证明两个三角形全等.3.会作一个角等于已知角.自主学习一、课前准备1. 叫做全等三角形2. 全等三角形的和相等3将 ABC沿直线BC平移，得到 DEF 说出你得到的结论，说明理由？如果 AB=5, / A=55 , / B=45 ,那么 DE ，/ F= .二、自主探究自主探究三角形全等的条件：阅读

16、课本P78,回答下面问题:(1) 只给一个条件 对应相等的两个三角形一定全等吗?只给一个角时;只给一条边时;3 cm3 cm3cm(2)如果给出两个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况?给出两个角时;给出两条边时;给出一条边和一个角时;(3) 由上面的几种情景，两个三角形满足 一个或两个条件时，它们一定全等吗?(4) 如果两个三角形有三个条件对应相等，这两个三角形全等吗？我们也可以分情况讨论，有哪几种情况？我们先来探究两个三角形三个角相等的情况:我们再来探索两个三角形三条边相等的情况：画出一个三角形，使它的三边长分别为4cm、 5cm、7cm ,把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定

17、全等吗？ 上面的探究反映了什么规律? 阅读课本P79,回答下面问题:的两个三角形全等，简写为“ ”或“ 巩固练习(注意:学习“边边边”证明两个三角形全等的格式)1. 如图，AB=AD BC=CD 求证：(AB3A ADC (2)Z B=Z DA证明：(1 )在厶 ABC和 ADC中()() (公共边) ABCA ADC()(2) ：公 ABCA ADC/ B=Z D ()2. 完成下面的证明过程：如图，OA= OB AC= BC.求证：/ AOC=Z BOC.证明：在厶 和厶中，OA ,AC ,OC . 也 (SSS ./ AOC=Z BOC().3右图已知：AE=DE,EB=EC,AB=CD

18、, / ACB=30 求：/ DBC 的度数.解： AE=DE, = （已知） AE+EC= + （等式的性质）即=BD在厶ABC 和厶DBC中：A = （）Q_= BD（已证）吏=（） （ ）/ ACB = /（全等三角形相等）4已知：如图，A、B、E、F在一条直线上，且AC=BD , CE=DF, AF=BE。求证： ACE BDF5、已知：如图， B、E、C、F 在一条直线上，且 BE=CF , AB=DE , AC=DF。 求证： ABCA DEF。6、已知：如图， AB=DC , AD=BC，求证：/ A= / C。A/ ACB =30D7、已知：如图,AB=AC , AD=AE ,

19、 BD=CE .求证：/ BAC2 DAE3.2探索三角形全等的条件（二）（SAS学习目标：1. 会运用“边角边”公理证明三角形全等自学过程：知识回顾：一、判别三角形相似的方法之二：1、如果两个三角形有 边对应 ，并且相等，那么这两个三角形全等.新课讲解：做一做以图2425中的两条线段和一个角画一个三角形，使该角恰为这两条线段的夹角.3 cmAC亠4 fEB图 24.2.5步骤：1、画一线段AB使它的长度等于 4cm.2、以点A为顶点，作/ BAP=45 ,在射线AP上截取AC= 3cm,3、连结BC.AABC即为所求.把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗?换两条线

20、段和一个角，用同样的方法试试，是否有同样的结论.A C这样我们就得到识别三角形 全等的另一种简便的方法如果两个三角形 有边及其分别对应,那么这两个三角形全等.简记为（S.A.S.）.例 2 如图 11-1 , ABC中，AB= AC, AD平分/ BAC 试说明ACD.11-1做一做 如图2427，已知两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为其中一条边的对角，画一个三角形4.5 5)图 24.2.7把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形一定都全等吗? 练习1.根据题目条件，判断下面的三角形是否全等？(4)AMDD BMC全等吗?2. 点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点

21、, 说明你的理由？2、如图(1): OA=OD,OB=OC,求证： AB3A DCO 证明：在 ABODA DCO中,OA=OD()v CB=OC()1-=-() ABOA DCO()3、如图(2):已知 AB=DC / ABC玄 DCB,求证：AC=BD证明： BCDn CBA中,在AB=DC ()* / ABC2 DCB() BC=() BCD,()AC=()证明:1、如图，已知/ 1 = Z 2, AO= BO,求证： AOPA BOP(第 1 题)2、已知：AD= BC, / ADC=Z BCD 求证： / BDC=Z ACD 3、 如图，AB DB BC= EF, BC/ EF,说明

22、 ABCD DEF全等的理由.4. 如图：点M是等腰梯形 ABCD底边AB上的中点，求证： MD=MC5、已知点 A、B C D在同一条直线上， AB=CD, / D=Z ECA, 试问：AE与BF的大小关系，并说明理由。6、如图：在厶 ABC中，AB=AC, / BAC=90 ,在AB上取点P，边CA的延长线上取点 Q,使AP=AQ边CP与BQ交于点S，求证： CAPA BAQ7、如图，AB= AD, AC= AE,/ BAE=Z DAC ABCM ADE全等吗？并说明理由。3.3 探索三角形全等的条件(三)(ASA及AAS学习目标：会运用“角边角”公理及其推论证明三角形全等的简单问题 自学

23、过程：做一做下图，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角， 以这条线段为两个角的夹边，画一个三角形.步骤：1、一线段AB使它的长度等于4cm.2、分别以点 A B为顶点，作/ BAP=40 / ABQ=60 ,AP、BQ相交于点 C,3、 ABC即为所求.把你画的三角形与其他同学画的进行比较，所有的三角形都全等吗？ 换两个角和一条线段，用同样的方法试试看，是否有同样的结论./ ACB=Z DBCA B由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：如果两个三角形的及其分别对应，那么这两个三角形全等.简记为(A.S.A.).例3 如图所示，/ ABC=Z DCB试说明 ABC DCB.解：在中，/ABC

24、=Z DCB/ ACB=Z DBCBC=(思 考:如图24.2.11，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等, 那么这两个三角形是否一定全等？你的结论是证明:/ A=Z D,Z C=Z F,/ B= 180 -，/E= 180 -又 /=Z,AB= ABCA DEF.()由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：如果两个三角形的及其分别对应，那么这两个三角形全等.简记为(A.A.S.).小结：如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这时应该有两种不同的情况：一种情况是两个角及两角的 ( ASA ；另一种情况是两个角及其中一角的 ( AAS,两种情况都可以证明三角形全等。如图

25、24.2.8所示.DE交 AC于点 E,交 CF于点 F , DE=FE,FC/ AB,FFB=CE,AB/ ED,AC/ FD,D图 24.2.8一填空：1、 如图：D是厶ABC的边AB上一点, 求证：AE=CE证明：FC/ AB ()= /,/=/,DE=FE () AED () AE=CE()2、如图：点B F、C、E在同一条直线上，求证：AB=DE证明： FB=CE()FB + =CE+ ()即: =AB / ED,AC/ FD/ ABC=Z, / ACB=/ ABD,()AB=DE ()3、如图：AB=CD,AD=BC,E过BD的中点证明： AB=CD,AD=BC( )=( ABD,

26、()Z CBD=EF过BD的中点0()O,求证： OBFA ODE又Z FOBZ() OBF()三、证明与计算：1.根据题目条件，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由2. ABC是等腰三角形，AD BE分别是Z A、Z B的角平分线, ABD和 BAE全等吗？试说明理由.(第 2 题)3、如图，AB= DE, AC/ DF,BC/ EF,A ABCM DEF全等吗？试说明理由.4 如图，Z 1 = Z 2, Z B=Z 试说明理由。D,A ABCD ADC全等吗?5已知：如图，Z C=Z D,求证：Z DAB=Z ABCCE= DE（第4题）6、已知:如图，Z BDA=Z CEA AE=

27、AD.7、已知：求证：BD=CE点 D在AB上，点E在AC上, BE和CD相交于点 O,AB=AC, Z B=Z C,BC3.4利用尺规作三角形学习目标：1在分别给出的两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形。学习过程：读句作图，体会作法1、已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形 已知：线段a, C,/a。求作： ABC，使得 BC= a , AB=c，/ ABC= Za作法与过程：(1 )作/ DBE= Za ；(2) 分别在 BD , BE上截取 BA=c,BC=a;(3) 连接AC. ABC就是所求作的三角形。小结： 在作图之前可先在练习本上画出所求作三角形的草图,在图

28、上标出已知条件再作图。 把自己作的三角形和小组内其他同学所作的三角形重叠比较，看是否一样大。 用_ 证明两个三角形全等。2、 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形已知：线段Za,Z3，线段 C。求作： ABC，使得Z A= Za,Z B= Z3,/Q AB=c。作法：c(1) 作= Za ；(2) 在射线上截取线段=C；以为顶点，以为一边，作Z= Z3 ,交于点. ABC就是所求作的三角形.小结：把自己作的三角形和其他同学所作的三角形重叠比较，看是否一样大。用证明两个三角形全等。3、已知三角形的三边，求作这个三角形. 已知：线段 a, b, Co求作： ABC，使得 AB= c, AC=

29、b, BC= a。作法：(尝试自己写出作法)4、已知三角形两边及其中一边的对角能作出不同的三角形已知：线段 a、b和/a,如图，求作 ABC，使AB=a, AC=b, / B= Za 作法： 作Z DBE= Za ； 在BD上截取BA=a; 以A点为圆心，以b长为半径作弧交 BE于点C、CI 连接AC、AC/所以 ABC和厶ABC/都为所求作的三角形【归纳小结】1、作图要保留痕迹 ；2、根据条件画出草图，明确已知条件和求作三角形之间的关系。3、书写作法时语言要规范。达标检测1、利用尺规不能唯一作出的三角形是（）A、已知三边B、已知两边及夹角C、已知两角及夹边D 、已知两边及其中一边的对角2、

30、以下列线段为边能作三角形的是（）A、2厘米、3厘米、5厘米 B、4厘米、4厘米、9厘米C 1厘米、2厘米、3厘米 D、2厘米、3厘米、4厘米3、已知线段 a、bab求作： ABC，使得 AB= BC= a , AC=b4、已知线段 a、b,且 ab。求作 ABC，使Z C=90, AB=a , AC=b。ab5、你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？ 小明回顾了作图的过程，并进行了如下的思考，：你能说明每一步的理由吗?解： 0, Cx =OC , 0, Dx =OD Cx Dx =CD（由作法可知）Af O C，D7 OCD()Z Cx O Dx =Z COD( )03.5利用三角形全等测量距离学习目标：1、能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学于实际生活的联系;2、能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。:学习过程: 探索练习：1如图：A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间