f分布t分布与卡方分布

1、 1.4常用的分布及其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起, 是试验统计中常用的分布。2当X1、X2、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z= Xi的分布称为自由度等于i的 2分布，记作Z2(n)，它的分布密度 p( z)=1n22n2 Xn20,其他,n式中的n=0 u2Ud U，称为Gamm函数，且=1,布是非对称分布，具有可加性,即当Y与Z相互独立，且丫2(n)，z 2(n，丫+Z2(n+m。证明：先令X1、X2、XnXn+1、Xn+2、Xn+m相互独立且都服从 N(0,1)，再根据分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令y=x

2、 2+x2+Xn，之 1+Xn 2+Xn m， 丫+z= x 2+x2+xn+xn 1+xn 2+x2 m即可得到丫+Z2(n+m2. t分布若X与丫相互独立，且XN1), 丫2(n)，则Z =x/宵的分布称为自由度等于的t分布，记作Zt ( n)，它的分布密度P(z)=、n (；) n请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n30时，t分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。 这时，t分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到。3. F分布 若X与丫相互独立，且 X 2(n)，丫2(m)，则z=X 丫的分布称为第一自由度等于n mn、第二自由度等于m的F分布，记

3、作ZF (n,m),它的分布密度nz2P(z)=22(m nz) 20,请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当ZF (n, m)时，1 F (m ,n)。Z4. t分布与F分布的关系若 Xt( n)，则 丫=/ F(1, n)证：Xt( n), X的分布密度p(x)=x2nnn-2Y=X 2 的分布函数 Fy (y) =PY y=PX 2 0 时，FY(y) =P-yx y=:P(x)dx=2 oy p(x)dx,2Y=X 的分布密度n21y2(n y) 2与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此 丫mX2F(1, n)。为应用方便起见，以上三

4、个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但 是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下:4. 常用分布的分位数1）分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即a分位数、上侧a分位数与双侧a分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为F（X），实数a满足0 a 1时，a分位数是使 PX入=1- F（入）=a的数入，双侧a分位数是使 PX 入 2=1- F（入 2）=0.5 a 的数入 2。因为1- F（入）=a， F（入）=1 - a，所以上侧a分位数入就是 1- a分位数X i- a ;F（入1）=0.5 a，1- F（入2

5、）=0.5 a,所以双侧a分位数入1就是0.5 a分位数X 0.5a，双侧a分位数入2就是1- 0.5 a分位数X 1- 0.5 a。2）标准正态分布的a分位数记作ua ， 0.5 a分位数记作U 0.5 a，1- 0.5 a分位数记作 u1- 0.5a 。pgX当 X N(0,1)时，PXV Ua =F o,i(u a )= a,PXU0.5 a = F 0,1 (U 0.5 a )=0.5 a,PXU 1 - 0.5 a = F 0,1 (u 1- 0.5 a)=1- 0.5 a。根据标准正态分布密度曲线的对称性，当 a =0.5 时，Ua =0;当 a 0.5 时，Ua 0。则先查出Ua

6、 ,然后得ua =- u 1- a 0如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数,到 ua 二 u1- a o论述如下：当 X N(0,1)时，PX u a = F 0,1 (u a )= a,PX u 1- a =1- F 0,1 (u 1- a )= a,故根据标准正态分布密度曲线的对称性，ua =- u1- a例如, u0.10 =u 0.90=- 1.282u 0.05 =-u0.95 =- 1.645 ,u 0.01 =-u0.99=- 2.326 ,u 0.025 =-u0.975 =- 1.960 ,u 0.005 =-u0.995 =- 2.576 。又因为P|X|0，当

7、 X 2 (n)时，PXV 2 a (n)= a。例如， 2 0.005 (4)=0.21 ， 2 0.025 (4)=0.48 ，20.05 (4)=0.71 ， 20.95 (4)=9.49 ，2 0.975 (4)=11.1 ， 2 0.995 (4)=14.9 。4) t分布的a分位数记作t a (n)。当Xt (n)时，PX30时，在比较简略的表中查不到t a (n),可用ua作为t a (n)的近似值。5) F分布的a分位数记作 Fa (n , m)。Fa (n , m)0，当 X F(n , m)时，PXFa (n , m)= a。另外，当a较小时，在表中查不出Fa (n, m)

8、，须先查F1- a ( n)，再求 Fa (n,1。(m , n )论述如下:当 X F(m n)时，PX1=1-X F1 (m, n)a,P丄 X F 1(m,n)=又根据F分布的定义，11F(n, m)，P Fa (n, m) = a， XX因此 F a (n, m=1。F1 (m , n )例如，F 0.95 (3,4)=6.59 ，F 0.975 (3,4)=9.98 ，F 0.99 (3,4)=16.7 ，F 0.95 (4,3)=9.12 ，F 0.975 (4,3)=15.1，F 0.99 (4,3)=28.7 ，111F 0.01 (34)=，F 0.025(3,4)=，卜 0

9、.05 (3,4)=28.715.19.12【课内练习】1.求分位数2 0.05 (8)，20.95 (12) 03. 求分位数 F.o5(7,5)， Fo.95 (10,12)4. 由u 0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。5. 由t 0.95 (4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。6. 若X2 (4) , PX0.711=0.05 , PX9.49=0.95，试写出有关的分位数。7. 若 XF(5,3) , PX9.01=0.95 , 丫F(3,5) , Y1.44 oi习题答案：1. 2.73， 21.0。2.-1.860, 1.782。3.丄，3.37。4. 1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.960为双侧0.05分位数。 4.885. 2.132为上侧0.05分位数，-2.132与2