第三章二维随机变量及其分布

1、第三章 二维随机变量及其分布（一）作业1一个袋中有4个球，分别标有数字1、2、2、3，从袋中随机取出2个球，令、分别表示第一个球和第二个球上的号码，求：（，）的联合分布列。 (袋中各球被取机会相同).2设二维随机变量（）的联合密度函数为：求（1）分布函数；（2）（）落在由轴、轴和直线所围成的区域内的概率。3设二维随机变量的概率分布为 -112-15/202/206/2023/203/201/20求：（1）概率分布；（2）概率分布。4在10件产品中有两件一级品、7件二级品和1件次品，从中不放回的抽取三件，用分别表示抽到的一级品和二级品的件数，求：（1）的联合分布；（2）的边缘分布；（3）判断是否

2、相互独立；（4）相关系数。5设随机变量和的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量的数学期望。（二）练习题一、填空题1是二维连续型随机变量，用的联合分布函数表示下列概率：（1）（2）（3）（4） 2随机变量的分布率如下表，则应满足的条件是 12311/61/91/1821/2若相互独立，则。3设平面区域D由曲线及直线所围成，二维随机变量在区域D上服从均匀分布，则的联合分布密度函数为 。4设，则的协方差矩阵为 ；相互独立当且仅当 。5设。6设随机变量相互独立且服从两点分布，则服从 分布 。7设随机变量和独立，并分别服从正态分布和，求随机变量的分

3、布密度函数为 。8抛掷颗骰子，骰子的每一面出现是等可能的，则出现的点数之和的方差为 。二、选择题1设两个随机变量与相互独立且同分布， 则下列各式成立的是（ ） （A） （C） (B) （D） 2设两个随机变量与的联合分布如下 -1 101/1511/521/53/10则当时，随机变量与独立。、； 、 ； 、 ； 、3若随机变量和的协方差等于0，则以下结论正确的是（ ）。 （）和相互独立； （）； （）； （）。4如果存在常数,使，且，那么（ ）。 1 ； ； ； 5设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布和，则（ ）。 ； ； ； 。6设随机变量的方差存在且不等于0，则是（ ）(A) 不

4、相关的充分条件，但不是必要条件。(B) 独立的必要条件，但不是充分条件。(C) 不相关的充分必要条件。(D )独立的充分必要条件。7已知两个相互独立的随机变量和的方差分别为4和2，则随机变量的方差是（ ）。 （）8； （）16； （）28； （）-2。8设随机变量与相互独立，且，则仍具有正态分布，其分布为（ ）（A）； （B）; (C) ; （D）七三、计算1甲，乙两人独立地进行两次射击，假设甲命中的概率是0.2，乙命中的概率是0.5，以和分别表示甲、乙的命中次数，求和的联合分布。2一个商店每星期五进货, 以备星期六、日2天销售, 根据多周统计, 这2天销售件数彼此独立, 且有如下表所示分布:

5、 12 13 1418 19 20 0.2 0.7 0.10.1 0.8 0.1求：二天销售总量这个随机变量的分布? 如果进货32件, 不够卖的概率是多少? 如果进货31件, 够卖的概率是多少? 33个球随机地放入3个盒子，若分别表示放入第一个、第二个盒子中的球的个数，求：（1）二维随机变量（）的联合分布列；（2）的边缘分布。4二维随机变量（）的联合密度函数为：，确定常数，并计算（）的值落在矩形区域内的概率。5设二维随机变量（）的联合密度函数为：，求中至少有一个小于1/2的概率。6某一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80、10、10件，现从中随机抽取1件，记：，求随机变量和的联合

6、分布；（2）随机变量和的相关系数。 7已知随机变量和的联合分布为：（x , y）（0，0） （0，1） （1，0） （1，1） （2，0） （2，1）p 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.15求：（1）的分布；（2）的分布8假设二维随机变量与的分布密度为：，求：（1）关于与的边缘分布密度，并判断与是否独立。 （2）。9二维随机变量（）在由曲线和直线所围成的区域上服从二维均匀分布，求：（1）写出的联合密度函数；（2）求的边缘密度函数。（3）判断 是否独立。10设随机变量和相互独立，都在区间1，3上服从均匀分布，记事件，且，求常数。11设二维随机变量（）的联合分布函数为：求：（1）系数； （2）（）的联合密度；（3）相互独立吗？（4）12一个电子仪器包含两个主要元件，分别以和表示这两个元件的寿命（单位：小时），如果的联合分布函数为：求两个元件的寿命均超过120小时的概率。13旅客到达车站的时间均匀分布在早上7：55至8点，而火车在这段时间开出的时刻为，且具有密度函数为：，求旅客能乘上火车的概率。14设二维连续型随机变量的联合密度函数为：设，求。（三）附加练习1设二维随机变量（）的分布密度函数为:求：（1）和各自的期望和方差；（2）的期望和方差；（3）的期望和方差。2设随机变量和独立，并且有相同的正态分布，令，求（1）与的相关系数；（2）与独立的条件。3设与是两