变化率问题导学案

1、 1.1.2导数的概念一问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现,随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢从数学角度，如何描述这种现象呢？气球的体积 V单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 。如果将半径r表示为体积V的函数，那么。分析：， 当V从0增加到1时，气球半径增加了 r(1r(0) : 0.62(dm) 气球的平均 膨胀率为 。 当V从1增加到2时，气球半径增加了 r(2) - r (1) ：、0.16(dm)气球的平均 膨胀率为。可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考：当空气容量从 V1增加到V2时，气球的平均

2、膨胀率是多少 ？问题2高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均 速V度粗略地描述其运动状态 ？思考计算：0乞t乞0.5和1乞t空2的平均速度v在0乞t乞0.5这段时间里，v=;在12这段时间里，v =;65探究：计算运动员在0t这段时间里的平均速度，并思考以下问49题： 运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知,h乳49h(0),所以，v

3、 =；65虽然运动员在0空t 这段时间里的平均速度为 0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运49动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.二平均变化率概念：1. 上述问题中的变化率可用式子 表示， 称为函数f(X)从X1到X2的平均变化率。2 .若设X2 -X1,f = f(X2)- f(Xj (这里X看作是对于X1的一个 增量”可用X1+ 汶代替 X2,同样 f 讨二 f (x2) - f (x1)十亠、， AyAff(x2) - f(xj3.则平均变化率为2-LX LXX2 -X思考：观察函数f(x)的图象平均变化率兰= f(X2)f(Xl)表示十么?二 XX2 Xf

4、(x=x) - f (x1).典例分析例1 .已知函数f(x)= -x2x的图象上的一点A( -1, - 2)及临近一点B(-1：x,-2 勺),则二=.x例2. 求y=x2在XXo附近的平均变化率。四课堂练习1.质点运动规律为 s=t2，则在时间(3,3 J=t)中相应的平均速度为 2物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动，求在4s附近的平均变化率.3过曲线y=f(x)=x3上两点P (1, 1 )和Q (1+ x,1 + A y)作曲线的割线，求出当 x=0.1时割线的斜率五回顾总结1.平均变化率的概念2函数在某点处附近的平均变化率 教学目标：1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2

5、 .理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3 会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念.教学过程：一. 瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t=2时的瞬时速度是多少？考察t = 2附近的情况：拉0时.在2+&,2这段时间內& n 0时，在2,2+Af 这段时间内门-必一城2+应）4 9AF+131加 V 2-（2+拉）-A;Q-方（2 + 位）-何2）-4 9Az2 -13.1A/（2 + A/） 2Ai= 4JA/-1

6、3.1当 AZ = -0 01 时， = -13.051, Q当 A/ = 0 01 时，Az = 13 051（屮当 M = -0.001 时.= -13.0951? 4当A = 0.001 时，A =-13.0951； Q当 Az = -0 001 时，A/ =-13 0995b当 M = 0 001 时，AZ = -13.09951； p当 ZT= -0.0001 时，A/=-13.0999511 卫当M = 0.0001 时，A/ =-13.0999511 p当Ai = -0.00001 时,Af = -13.099951?工当Ai =0.00001 时,Az = -13.099951

7、；卫P4思考：当氏趋近于0时，平均速度V有什么样的变化趋势？结论：当氏趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于 2时, 平均速度V都趋近于一个确定的值 。从物理的角度看，时间|列间隔无限变小时，平均速度V就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在t =2时的瞬时速度是。为了表述方便，我们用lim h(2。_ -13.1At表示“当t =2，厶t趋近于0时，平均速度V趋近于定值-13.1 ” 小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的 近似值过渡到瞬时速度的精确值。二、导数的概念函数 y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 ：|jm f(Xo

8、x)= Ijm fAxAx我们称它为函数y = f (x)在x = x0处的导数，记作f (x0)或y |xz，即f(X。X) - f(X。)f(x0)pm0&说明：(1)导数即为函数 y=f(x)在x=x0处的 。(2) AX=X-Xo，当0 时，X-; Xo，所以 f(Xo)=三. 典例分析例1. (1)求函数y=3X2在x=1处的导数.例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第Xh时，原油的温度(单位：;C )为f(x) = x2 _7x 15(0空x乞8)，计 算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.四课堂练习2

9、1. 质点运动规律为 s=t 3,求质点在t = 3的瞬时速度为.2. 求曲线y=f(x)=x3在X = 1时的导数.3. 例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.五回顾总结1瞬时速度、瞬时变化率的概念2. 导数的概念六布置作业 1.1.3导数的几何意义教学目标：1 了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2 理解曲线的切线的概念；3 通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义.教学过程：一、曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当Pn(xn ,f (xn)

10、(n总2,3,4) 沿着曲线f(x)趋近于点P(Xo, f(Xo)时，割线PPn的变化趋势是什么？X(3LLJ/J/X(3)图 3.1-2我们发现，当点P,沿着曲线无限接近点 P即厶XT 0时，割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线 PT称为曲线在点P处的.问题：害熾PR的斜率 匕与切线PT的斜率k有什么关系？切线PT的斜率k为多少?二、导数的几何意义：函数y=f(x)在x=xo处的导数等于在该点(x0, f (x0)处的切线的斜率f(X。)=imf(XX)- f(X。)x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤求出P点的坐标； 求出函数在点X)处的变化率 f(X。)= 啊f (xX)

11、一 f (x) = k ，得到曲线在点(Xo , f (Xo)的切线的斜率； 利用点斜式求切线方程(二)导函数：由函数f(X)在X=Xo处求导数的过程可以看到，当时,f(X。)是一个确定的数，那么，当X 变化时 便是X的一个函数，我们叫它为f(x)的导函数记作：f (x)或y，即:f(X . ：x) - f(x)即：f (x) = y lim注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.(三)函数f (X)在点X。处的导数f (x0)、导函数f(x)、导数 之间的区别与联系。1) 函数在一点处的导数f(X。)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极 限，它是一个常数，不是变数。2) 函数的

12、导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数3) 函数f (X)在点Xo处的导数f(x。)就是导函数f(X)在X = X。处的函数值，这也是 求 函数在点Xo处的导数的方法之一。三.典例分析例1: (1)求曲线y=f(x)=x2+i在点P(1,2)处的切线方程. (2)求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.2 X LX2 c2,xy_2 =2(x_1)即 2x_y =0lim xx2,因此，所求的切线方程为2 2 2 23x -3 13(x -1 )limx_1 x 1 x -16,因此，所求的切线方程为解：(1) y izif mi1)所以，所求切线的斜率为lim3( x

13、 1) =6X询y_3=6(x_1)即 6x_y _3 = 0(2)因为 y km = lim所以，所求切线的斜率为(2)求函数f(x)= -x2 x在x - -1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数. 解：卫=4 x)2(T 口 =3xZ也x知_(_1+Ax)2+(_1+4) _2Af (-1) =|imlim(3 - ：x) =3。x 0 X/ - xx 0例2.(课本例2)如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2h(x) =-4.9x6.5x 10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t、匕、t?附近的变化情况.解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线

14、h(t)在上述三个时刻附近的变化情 况.(1) 当t =t0时，曲线h(t)在t0处的切线I。平行于，所以，在t=t0附近曲线比较_，几乎没有升降.(2)当t =ti时，曲线h(t)在ti处的切线li的斜率h(tJ：O，所以，在t 附近曲线 ， 即函数2h(x) - -4.9x6.5x 10 在 t = t1附近单调_.(3) 当t =t2时，曲线h(t)在t2处的切线12的斜率h(t2) 0 ,所以，(4) 在t =t2附近曲线 ，即函数2(5) h(x) =-4.9x6.5x 10 在 t =t2附近单调.从图3.1-3可以看出，直线11的倾斜程度直线|2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比

15、在例3 (课本例3)如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度c= f (t)(单位：mg/mL)随时间t (单位：min )变化的图象根据图像，估计0.2,0.4, 0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到 0.1 )t2附近下降的解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f (t)在此时刻的 ，从图像上看，它表示曲线 f(t)在此点处的切线的斜率.如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率， 可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作t =0.8处的切线，并在切线上取两点，如(0.7,0.91) , (1.0,0.48)，则它的斜率为：0.48

16、 -0.91,k1.4 所以 f (0.8) I -1.41.0-0.7下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：t0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率f(t)0.40-0.7-1.4四课堂练习1已知函数f(x)二ax3 3x2 2，若f(-1)=4，问f (x)=-4表示的几何意义是 2、1)函数y二f (x)在点P处的导数值为0,则函数y二f(x)在点P处的切线的斜率为，切线的倾斜方式是。2) 函数y = f (x)在点P处的导数值为3，则函数y = f (x)在点P处的切线的斜率为，切线的倾斜方式是。3) 函数y二f (x)在点p处的导数值为3，则函数y二f (x)在点p处的切线的斜率

17、为，切线的倾斜方式是。3、教材 P80A 组 T6、B 组 T3。五回顾总结1曲线的切线及切线的斜率;2 导数的几何意义 1.2.1几个常用函数的导数教学目标：2 11. 使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y=c、y=x、y二x、y二一x的导数公式；2 掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.2 1教学重点：四种常见函数y二c、y=x、y=x2、y的导数公式及应用x2 1教学难点：四种常见函数y=c、y=x、y = x、y的导数公式x教学过程：1. 函数y = f(x)二c的导数根据导数定义，因为 7 = 。所以y = 。y = 表示函数y = c图像(图3.2-1)上每一点处的

18、切线的斜率都为 .若y二c表示路程关于时间的函数，则y丄0可以解释为某物体的瞬时速度始终为_,即物体一直处于_状态.2. 函数y = f (x)二X的导数因为乜=所以y =y = 表示函数y=x图像(图3.2-1 )上每一点处的切线的斜率都为 .若y=x表示路程关于时间的函数，则y = 0可以解释为某物体的瞬时速度始终为_,即物体一直处于状态.探究：教材P82。3. 函数y = f (x) = x2的导数因为显=所以y =y =表示函数y = X图像(图3.2-3)上点(x, y)处的切线的斜率都为 2x ,说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，

19、表明：当x : 0时，随着x的增加，函数y =x2减少得越来越慢；当x 0时，随着x的增加，函数y =x2增加得越来越快.若 y=x2表示路程关于时间的函数， 则/-2x可以解释为某物体做变速运动， 它在时刻x的 瞬时速度为2x .14. 函数y二f (x) 的导数x因为竺=x所以y = 探究：P82。课堂练习1.求函数y=x3的导数。2. 求函数y=xn的导数。3.求函数y = . x的导数。回顾总结函数导数y =cy =x2y =x1y = 一xy = f (x) =xn(n e Q*)布置作业 3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1熟练掌握基本初等函数的导数公式；2 掌握导数的四则运算法则；3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：(一)基本初等函数的导数公式表函数导数y =cn*y = f (x) =x (Q )y =sin xy =cosxy = f (x) = axy = f (x) =exf (x) =logaXf (x) = 1 n x(二)导数的运算法则 导数运算法则1. f (x)g(x) = f(x) 土g(x)2. f(x)