基本不等式教案(新人教必修

1、 34基本不等式価2第1课时授课类型：新授课【教学目标】1 知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定 理中的不等号取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2 .过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3 情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式【教学难点】基本不等式；au等号成立条件2【教学过程】1.课题导入 a b基本不等式.ab的几何背景：2如图是在北京召开的第 24界国际数学家大会的会标, 家赵爽的弦图设计的， 颜色的明暗使它看上去象一个风车， 你能在这个图案中找出

2、一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2.讲授新课1 探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形届a b的证明过程；2会标是根据中国古代数学代表中国人民热情好客。1 U “ijit i卜& 5 ITflnABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2 b2。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为2 2a b。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2 b2 2ab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即2 2a b 2ab。a=b时，正方形 EFGH缩为一个点，这

3、时有2得到结论：一般的，如果a,b R,那么a2 b22ab(当且仅当a b时取号)3思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为a2 b2 2ab (a b)2当a b时,(a b)2 0,当 a b时,(a b)2 0,所以，(a b)20，即(a2 b2) 2ab.4. 1）从几何图形的面积关系认识基本不等式ab 冬上2特别的，如果a0,b0,我们用分别代替a、b，可得a b 2. ab，通常我们把上式写作：.五 乞丄（a0,b0）22）从不等式的性质推导基本不等式ab2用分析法证明：要证a b . ab2(1)只要证a+b(2)要证（2）,只要证a+b-0要证（3）,只要证(- )2(3)

4、(4)显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。3）理解基本不等式 ab S的几何意义2探究：课本第110页的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点 C是AB上的一点，AC=a,BC=t。过点C作垂直于AB的弦DE连接AD B0你能利用这个图形得出基本不等式JOB 乞上的几2何解释吗？易证 Rt AC DR t DC B,那么 C D?= C A- C B 即 C D= . ab .这个圆的半径为，显然，它大于或等于 CD即Vab，其中当且仅当点 C与2 2圆心重合，即a=b时，等号成立.因此：基本不等式.ab几何意义是“半径不小于半弦”2评述：1.如果把 红上 看作是正数a、

5、b的等差中项，-ab看作是正数a、b的等比中项，2那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项2. 在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称“ ab为a、b的几何平均数.本2节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数补充例题例1已知x、y都是正数，求证：(2) (x+ y)( x2 + y2)( x3+ y3)8 x3y3.分析：在运用定理：. ab时，注意条件2握好每条性质成立的条件)，进行变形.a、b均为正数，结合不等式的性质 (把解：x, y都是正数x20, y20, x30, y30 2 . x3y322、/3:( x+ y)( x + y )( x

6、+ y即(x+ y)( x2 + y2)( x3 + y3)3.随堂练习1.已知a、b、c都是正数，求证(a+ b)( b+ c)( c + a)8 2 xy 2 . X2 y28 x3y3.33 3 2 x y =8 x y分析：对于此类题目，选择定理:abca b ab (a0, b0)灵活变形,2可求得结果.解： a, b, c都是正数a+ b2 ab 0b+ c 2 bc 0( a+ b)( b+ c)( c+ a)2、ab 2、be 2 . ac = 8 abc即(a+ b)(b+ c)( c+ a)8abc4.课时小结本节课,我们学习了重要不等式a2 + b2 2ab；两正数a、b

7、的算术平均数(),几何平均数b都是实数, 的重要工具(仝上 ab ).它们成立的条件不同，前者只要求a、2而后者要求 a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问(,ab )及它们的关系2 .2题：abw a_ , ab 2P，等号当且仅当 a= b时成立.例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低， 最低总造 价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式， 然后

8、求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。解：设水池底面一边的长度为xm,水池的总造价为I元，根据题意，得1600l 240000 720(x)x2400007202400007201600，即xx当2 J?02 4029760040时,1有最小值2976000.x297600因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是元 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立,又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1) 先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或

9、最小值的变量定为函数；(2) 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3) 在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4) 正确写出答案.3. 随堂练习2 811. 已知x丰0,当x取什么值时，x +2的值最小？最小值是多少？x2. 课本第113页的练习1、2、3、44. 课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数； (2)函数的解析式中，含变数的各项 的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含

10、变数的各项均相等，取得最值 .即用均 值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。5. 评价设计课本第113页习题A组的第2、4题课题： 3.4基本不等式.ab色丄2第3课时授课类型：习题课【教学目标】1.知识与技能：进一步掌握基本不等式、ab _-；会用此不等式证明不等式，会应用此2不等式求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题；2 .过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式.ab，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。3 .情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理 论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点】掌握基本不等式

11、- ab b ,会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值2【教学难点】利用此不等式求函数的最大、最小值。【教学过程】1.课题导入1.基本不等式：如果a,b是正数，那么. b(当且仅当a b时取号).a b2用基本不等式、五丁求最大（小）值的步骤。2. 讲授新课1）利用基本不等式证明不等式24例1 已知m0,求证 6mm24。思维切入因为m0,所以可把24-和6m分别看作基本不等式中的 a和b,直接利用基本不 m等式。证明因为m0,，由基本不等式得246m 2.24 62 1224m当且仅当24 =6m，即m=2时，取等号。m规律技巧总结注意：m0这一前提条件和24 6m=144为定

12、值的前提条件。m3. 随堂练习1思维拓展1已知a,b,c,d 都是正数，求证(ab cd)(ac bd) 4abcd .思维拓展2求证(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2.4a 3思维切入由于不等式左边含有字母4a 3例2求证:a 7.a,右边无字母，直接使用基本不等式，无法约掉字母a,而左边代(a 3)3.这样变形后，在用基本不等式即可得证证明4厂(a 3)4 ga 3)3 2.4 37a 3当且仅当oVa-3即a=5时，等号成立.例 3 (1)若 x0,求 f(x) 若x0和4X =36两个前提条件；(2)中x0来转化. X解1)因为x0由基本不等式得f(x)4x 9x2.4X9x2.3612 ,当且仅当4x-即x39x=时，f (x) 4x取2x最小值12.(2)因为x0,由基本不等式得：f(x)(4x9)(x4x)(?)x2/ 4x)(9)x2.3612,所以 f(x) 12.939当且仅当 4x 即x=- 时，f (x)