高等数学 预备知识 函数

1、第 0 章预备知识 函数新修订的大纲中已删去了函数这一章内容，就是说函数知识在考试中不作考核要求，即不会单独出现有关函数概念及性质的试题，但因微积分学是以初等函数为研究对象，所以把函数做为预备知识，对于后面学好微积分学是十分必要的。复习考试要求1.理解函数的概念，会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单分段函数的图像。2.理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。3.了解函数与其反函数之间的关系（定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数。4.熟练掌握函数的四则运算与复合运算。5.掌握基本初等函数的性质及其图像。6.了解初等函数的概念。7.会建立简单实际问题的

2、函数关系式。主要知识内容一、函数的概念1.函数的定义（1）常量与变量常量：在观察某种自然现象或技术过程中，保持不变的量，或者是取固定数值的量。常量一般用字母a,b,c表示。变量：在观察某种自然现象或技术过程中，变化着的量，或者是取不同数值的量。变量一般用字母x,y,z,表示。（2）函数的定义 设在某个变化过程中有两个变量x和y，变量y随变量x而变化，如果变量x在非空实数集合d中取某一数值时，变量y依照某一对应规律f总有惟一确定的数值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记为y=f（x）（xd） 其中x叫自变量，y叫因变量或函数。例如，收益函数y=ax（其中a表示价格）匀速直线运动s=s0+vt总

3、成本函数（其中c0为固定成本，c1为单位可变成本）在上述函数的定义中，重要的是：三因素两要素。定义域： 在数轴上使函数f有定义的自变量的取值范围（变化区域）d，称为函数的定义域。记为d（f）。对应规律： 自变量x在d上每取一数值时，函数y按照某一确定的规律f，有确定的数值与之对应。当自变量x取某一定值a时，函数y=f（x）的对应值记为f（a），有时也记为y|x=a。值域： 函数y的取值范围，称为函数的值域，记为z（f）。例1.函数的定义两要素（1）下列各组函数中，两个函数相同的是a.b. c.d. 【答疑编号11000101】答 b.（2）9501 下列各组函数中，两个函数相等的是a.b. c

4、. d. 【答疑编号11000102】答 c。例2.求函数定义域（1）9401函数的定义域是a.（0，5 b.（1，5 c. （1，5） d. （0，+）【答疑编号11000103】答 b。（2）9701 函数的定义域是a.（-，1 b.4，+） c.（-，14，+） d. （-，1）（4，+）【答疑编号11000104】答 c。（3）0001 函数的定义域是a.（-1，+） b.-1，+） c.（1，+） d.1，+）【答疑编号11000105】答 c。例3.求函数值或进行函数式的变换（1）9611设f（x）=3x+5，则ff（x）-2=_。【答疑编号11000106】答 9x+14解：f(

5、x)-2=3x+5-2=3x+3ff(x)-2=3(3x+3) +5 =9x+14 （2）设，则_。【答疑编号11000107】答（3）设f（x2+1）=x4+3x2+2，则f（x）=_。【答疑编号11000108】答x2+x 2.函数的表示法常用的函数表示法有三种：解析法（公式法）、表格法、图示法。（1）解析法 对自变量和常数施加四则运算、乘幂、指数运算、取对数、取三角函数等数学运算所得到的式子称为解析表达式。用解析表达式表示一个函数就称为函数的解析法，也叫公式法。（2）表格法 在实际应用中，常把自变量所取的值和对应的函数值列成表，用以表示函数关系，函数的这种表示法称为表格法。（3）图示法

6、设y=f（x）是一个给定的函数，定义域是d（f），由于自变量和函数都取实数值，因而我们可以在平面上取定一个直角坐标系oxy，用x轴上的点表示自变量的值，用y轴上的点表示函数值。于是，在d（f）内的每一个x及相应的函数值f（x）就确定了该平面直角坐标系中的一个点p（x,y），当x在d（f）内变动时，点p在坐标平面上移动，一般便得到平面上的一条曲线，这就是用图示法表示函数。函数的三种表示法各有优缺点，在具体应用时，常常是三种方法配合使用。3.函数的图像用图示法表示函数所得到的曲线，就称为函数的图像，用图像表示函数，使我们有可能借助于几何图形，形象直观地研究事物的运动变化过程，它对于理解高等数学中的

7、概念、方法和结论是十分重要的。描点法作图，例如作函数y=x3的图像。定义域（-,+），值域（-,+）x-2-1012y-8-1018二、显函数、隐函数和分段函数（1）显函数函数关系用解析式y=f（x）表示的称为显函数，如y=x2lgx，等。（2）隐函数由方程f（x,y）=0确定的函数关系y=f（x），称为隐函数。（3）分段函数有时还要考察这样的函数，对于其定义域内自变量x的不同值，函数不能用一个统一的公式表示，而是要用两个或两个以上的公式来表示。这类函数称为“分段函数”。例如，分段函数当x0时，函数式为y=x+1；当x0时，用函数式y=x-1来表示，这个函数的定义域是（-，+）。关于分段函数要

8、注意以下几点：1）分段函数是用几个公式和起来表示一个函数，而不是表示几个函数；2）因为函数式子是分段表示的，所以各段的定义域必须明确标出；3）对分段函数求函数值时，不同点的函数值应代入相应范围的公式中去求；4）分段函数的定义域是各项定义域的并集。例4.分段函数（1）0106设，则f（0）=_。【答疑编号11000109】答 1。（2）0301设，则f（0）=_。【答疑编号11000110】答 -1。（3）设，则当x（-，+）时，ff（x）=_。【答疑编号11000111】答 1。当-1x1f（x）=1ff（x）=f（1）=1当x-1或x1f（x）=0ff（x）=f（0）=1当x（-,+）,ff

9、（x）=1三、函数的简单性质1.函数的单调性定义 设函数y=f（x）在区间（a,b）内有定义，（1）如果对于（a,b）内的任意两点x1和x2，当x1x2时，若恒有f（x1）f（x2），则称函数f（x）在（a,b）内是单调增加的；恒有f（x1） f（x2），则称函数f（x）在（a,b）内是严格单调增加的。（2）如果对于（a,b）内的任意两点x1和x2，当x1x2时，若恒有f（x1）f（x2），则称函数f（x）在（a,b）内是单调减少的；恒有f（x1） f（x2），则称f（x）在（a,b）内是严格单调减少的。注意：单调增加或单调减少函数统称为单调函数。单调性是对一个区间而不是对一个点来讲的。单调函

10、数必须指出它的单调区间。例如函数y=x2在区间（0,+）内是单调增加的；在区间（-,0）内是单调减少的；而在区间（-,+）内不是单调的。2.函数的奇偶性定义如果对于函数y=f（x）定义域d中的任一点x恒有f（-x）=f（x）则称f（x）为偶函数如果对于定义域d中的任一点x恒有f（-x）=-f（x）则称f（x）为奇函数。偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。例如y=x2是偶函数，y=x是奇函数，y=sinx是奇函数；y=cosx是偶函数 3.函数的有界性定义设函数y=f（x）在区间（a,b）内有定义，如果存在一个正数m，使得对于（a,b）内的任意一点x，恒有|f（x）|m，则称函数

11、f（x）在（a,b）内是有界的，否则，称f（x）在（a,b）内是无界的。例如：函数y=sinx，在（-,+ ）内，恒有|sinx|1，所以函数y=sinx在其定义域内为有界函数。4.函数的周期性在自然界中，周而复始的现象叫做周期现象。定义对于函数y=f（x），如果存在一个常数t0，使得对于任意实数x，关系式f（x+t）=f（x）恒成立，则称f（x）为周期函数，称满足这个等式的最小正数t为函数的最小正周期或简称为周期。例如y=sinx就是一个周期函数，最小正周期。对于函数y=sinx，最小正周期例5.函数的性质（1）0201函数f（x）=x3sinx是（a）奇函数（b）偶函数（c）有界函数（d）

12、周期函数【答疑编号11000112】答 b。（2）9702设f（x）为奇函数，且,则f（x）是（a）奇函数（b）偶函数（c）非奇非偶函数（d）既是奇函数，又是偶函数【答疑编号11000113】答 b。（3）在（0,+）内，下列函数中是无界函数的是（a）（b）（c）y=sinx（d）y=ln（1+x）【答疑编号11000114】答 d。四、反函数定义 设已知函数为y=f（x）（1）如果由此解出的（2）是一个函数，则称为y=f（x）的反函数，记为x=f-1（y），并称y=f（x）为直接函数。注意：习惯上常用x表示自变量，用y表示因变量，因此将x=f-1（y）中的y换为x，而将x换为y，记作y=f-

13、1（x）。定理如果函数y=f（x） ，d（f）=x，z（f）=y是严格单调增加（或减少）的，则它必定存在反函数并且也是严格单调增加（或减少）的。求反函数的步骤：第一步：从直接函数y=f（x）中解出，看它是否能成为函数；第二步：如果是函数，将字母x换成y，将字母y换成x得这就是y=f（x）的反函数。（1）直接函数y=f（x）与它的反函数y=f-1（x）的图形，必定对称于直线y=x（一般地，二者是不同的函数，其图形是不同的曲线）；（2）直接函数y=f（x）与它的反函数x=f-1（y）是同一条曲线（二者是不同的函数，但是，它们的图形是同一条曲线）。根据这个结论，当我们知道了直接函数y=f（x）的图形

14、之后，就可利用对称于直线y=x的性质画出其反函数y=f-1（x）的图形。例6.反函数（1）9402函数f（x）=2x-1的反函数f-1（x）等于（a）log2（x+1）（b）1+log2x（c）（d）2log2x【答疑编号11000201】答 b。（2）函数的值域是_。【答疑编号11000202】答（0，1）（1，+）（3）函数的反函数f-1（x）=_。【答疑编号11000203】答 五、基本初等函数1.常数函数y=c它的定义域是（-, +），图形是一条平行于x轴的直线，显然这是个偶函数。2.幂函数 它的定义域随值的不同而不同，但不管值是多少，它在（0, +）内总是有定义的。当0时，它的图形如

15、图1，不论为何值，它的图形都通过原点（0,0）和点（1,1），在 （0, +）内严格单调增加且无界。当0时，它的图形如图2，在（0, +）内严格单调减少且无界，曲线以x轴和y轴为渐近线，都通过点（1,1）。3.指数函数y=ax（a0，a1）它的定义域是（-, +），由于不论x为何值，总有ax0，且a0=1，所以它的图形总是在x轴的上方，且通过点（0，1）。当a0时，函数严格单调增加且无界，曲线以x轴的负半轴为渐近线；当0a1时，函数严格单调减少且无界，曲线以x轴的正半轴为渐近线，如图3 以无理数e=2.7182818为底的指数函数y=ex，是微积分中经常用到的。4.对数函数y=logax（a0

16、，a1） 它的定义域为（0, +），不论a为何值，对数曲线都通过点（1，0）。当a1时，函数严格单调增加且无界，曲线以y轴的负半轴为渐近线；当0a1时函数严格单调减少且无界，曲线以y轴的正半轴为渐近线，如图4所示。以无理数e为底的对数函数y=logex叫自然对数函数，简记作y=lnx。自然对数函数在微积分中是经常用到的。5.三角函数三角函数有以下六个：y=sinxy=cosxy=tanx y=cotxy=secxy=cscx 在微积分中，三角函数的自变量x一律以“弧度”为单位。例如x=1就表示x等于一个弧度（571744.8）。函数y=sinx的定义域为（-, +），是奇函数，且是周期等于2的

17、周期函数，其图形如图5所示。函数y=cosx的定义域为（-, +），是偶函数，且是周期等于2的周期函数，其图形如图6所示。因为|sinx|1，|cosx|1，所以它们都是有界函数。函数y=tanx的定义域是的一切实数。它是奇函数，且是周期为的周期函数，其图形如图7所示。函数y=cotx的定义域是的一切实数。它也是奇函数，且是周期为的周期函数，其图形如图8所示。6.反三角函数常见的反三角函数有以下四个：y=arcsinxy=arccosx y=arctanxy=arc cotx 它们是作为相应三角函数的反函数定义出来的，由于y=sinx，y=cosx在定义域内不单调，所以对于y=sinx，只考虑

18、，对于y=cosx，只考虑x0，使他们单调，并使其反函数存在。此时我们称反正弦函数和反余弦函数取主值，即，它们的图形分别为图9和图10中的实线部分。y=arcsinx和y=arccosx的定义域都是-1,1。同理，对于反正切函数y=arctanx，也取主值，即，它的定义域为（-，+），其图形如图11所示。六、复合函数与初等函数1.复合函数定义：设y是u的函数y=f（u），而u又是x的函数 ，又设x表示函数的定义域的一个子集，如果对于x上的每一个取值x所对应的u值，函数y=f（u）有定义，则y通过而成为x的函数，记为这个函数叫做由函数y=f（u）及复合而成的复合函数，它的定义域为x，其中x称为自

19、变量，u称为中间变量，y称为因变量或函数。所以复合函数实际就是将中间变量代入后所构成的函数。注意：不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的。例如y=arcsinu及u=x2+2就不能复合成一个复合函数。因为对于u=x2+2的定义域 （-, +）内的任何值x所对应的u值（都大于或等于3）都不能使y=arcsinu有意义。复合函数不仅可以由一个中间变量，还可以有更多的中间变量，如u、v、w、t等，即可以经过多次复合得到一个函数。在求函数的导数时，往往要反过来考虑问题，即一个函数是有哪几个基本初等函数（或简单函数）复合而成的？例7.复合函数（1）0206 设f（x）=lnx,g（x）=e2x+1，则fg（x）=_。【答疑编号11000204】答 lne2x+1=2x+1。（2）0401设，则fg（x）=_。【答疑编号11000205】答。（3）9906 设y=3u,u=v2,v=tanx，则复合函数y=f（x）=_。【答疑编号11000206】答。（4）设f（x）的定义域是1,10