第一章鞅第三节离鞅的基本不等式

1、学习必备欢迎下载第三节离散鞅的基本不等式定义1-3-1 若丫覆乂, N 为可积适应序列，且对每个 n NE【YF= O（ZO）, a.e.则称丫为鞅差（或下鞅差）序列。命题 1-3-1 若X =；人,n N 为鞅（或下鞅），Yn 二 Xn -Xn，n_1,Y。=X， 则丫Yn,nN 1为鞅差（或下鞅差）序列。反之，丫 JYn,N?为鞅差（或下 n鞅差）序列，Xn - 7 Yj，贝U X二Xn，n N为鞅（或下鞅）。j=0证明：设X为鞅序列，则EYn+ Fn 】=EtXn 审 一Xn |Fj = E kn + |Fj- Xn 厅.】=Xn -Xn =0又设Y为鞅差，则EXn 卅 Fn 】=EYn

2、 十十 Xn IFjEY. |F. + E Xn |Fn 】=0故X i：Xn,nN 1为鞅。（习题1-3-1，证明下鞅差的情形）定义1-3-2 设随机序列V = M, nN若乂 Fo，且当n_ 0时，必 F.，则称V为可料的。定义1-3-3 （鞅变换） 若X，Xn, nN ?，V =M, n，N，为随机变量序列，定 义新的序列Z二Z, n N ?nZn =XV0 Vj X j -X j4 , n N（1-3-1）j壬则记Z =V X。定理1-3-1若X为鞅（下鞅），V为可料的（非负可料的），则Z是鞅（下鞅） 证明：由式（1-3-1）可知，乙是对Fn可测的，因而是适应的，又因为Z n 1- Z

3、n = Vn 1 X n 1 _ X nVni Fn，所以,EZn1 Zn |F n 丄E Vn i（Xn1 Xn） |Fn 1二 E Vni Xni|Fnl-EVni 人已丨7 iXn -VmXn =0EZn 1 |F n二 EZn |F nH Zn所以Z是鞅（下鞅）。（习题1-3-2，证明下鞅的情形）。END推论1-3-1若X为鞅（下鞅），T为停时，则XT Xt n, n，N 1必是鞅（下鞅）。证明：取Vn = l（n工）,则Vn = 1 - I（t屮）,n _1。因为；T（ n -1 Fn，所以； I Tz广仁八；T m n-1? Fn ，;l （T_n）=0Fnj，I （T 勺厂，1

4、-丨（T_o厂Fn，乂 Fn4，故V是可料的，非负有下界的。若T 门nnV X n = Xol 0T； Xj - Xjj l（jT） =Xo 、 Xj -Xj二 Xnjmj 二若 T : n，则TTV X n = Xol on、Xj - Xjj l（jj）=Xo 、Xj -Xjj 二 Xtjmjm所以V X n二XnT二XT n，故XT为鞅。（习题133证明下鞅的情形）END 定理1-3-2 （有界停时定理）设x二Xn,nN ?为下鞅（鞅），S,T为有界停 时，且S空T ,则E（Xt |Fs） - Xs（=Xs） a.e.。证明：设S,T空k，则Vn = l（SZ） = I咕是非负可料的，所以

5、V l是下鞅(鞅)。实际上，在推论1-3-1中我们已经证明了 Ig” Fn，故l(n”ln_S，F . 1 , 从而Fni。同时，我们令Xo =0，故(VX)o =0。此外，因为S乞k,Tk， 所以(VX)k =Xt -Xs，于是E(Xt Xs )=E(V X=EE(V X 1 |FkJ(3-E I.V X_EV X 0 丨-0-任取AFs，记Ta和Sa为T和S在A上的限制，另取T -Ta (k 1)， s -Sa (k 1)则 T,s是有界停时(习题 1-3-4),且 _S，则 XtIa =Xt， XsIXs，将T,S替代不等式(3-2)中的T，S，得到，E Xa -XsIa 二E Xt -

6、Xs 一0E XtI a 一 E XsIa , -A F由条件期望的定义可知E Xt |Fs - E Xs |Fs 二 Xs(习题1-3-4证明X鞅的情况)END推论1-3-2 设X二Xn,nN为下鞅(鞅)，S,T为有界停时，则E(Xt |Fs) - Xt s(二 Xt s) a.e.证明：因为S,T为有界停时，所以S T也是有界停时，于是E IXt|fJ=eIXtIt- Xt s：|Fs Ifg It s?E-Xt sg】因为T S S，由定理1-3-2知，e-Xt s |Fj-Xs，所以eXt |fJ=XtIt It s：EXt s|Fs】二 XtGq I s：s S 时，Xt I t _

7、s X sI t - Xt，当心三；T S油寸，XT I T _S X SI T S = Xs，所以E Xt |Fs ：冷1+ XsItS = Xs,订END推论1-3-3 设X 一 .Xn, n N 1为下鞅(鞅)，T T，贝Ue|Xt n -2eIxJ-eI.Xo1E|Xt |Il3supE|Xn |1n证明：E|Xt nH-2EX； J-EXt n 1因为T n M，由定理1-3-2知EXn 丄 EEXJFt J-EXt n 1又因为T n _0 ,定理1-3-2知eXt J=ElElXTn|Fj_ElXol所以E|Xt n 2ExJ-EIXo1又E |Xt找 | IE Xt2supE

8、&】+ EX。】兰 3sup E x】k6kh再令n t旳，由Fatou引理得E(|Xt |It 枣23supE(|Xn |) onEND定理1-3-3(极值不等式)设X=Xn,nN为下鞅，贝U对灯九0有扎p supXk K 人兰 jXndPIk/丿豐pXn揄n(I),(J aP inf Xk 兰一扎芒XndP EX0(n)Ik虫丿蚩心锻P sup|Xk Q 丸EX：EX。k &P(supXk 兰九)+ Jk印XTdPSupXn：k .：nXTdP SupXn：.k .：nJXndPTsup/XTdPMPXdy护sup XTdP取T二inf fk;Xk _ ? n，则T也是停时，且T乞n ,同

9、样有定理1-3-2知 k虫E X J E XtXTdP0infXn*见infXn_”k -nk :n_ - P inf Xkk 丿也fx?加XdPXndPinXKXndP_EX0k （习题1-3-5证明（川）式）END推论 1-3-4 设 X 二Xn, n N为鞅，E（X：）：:，则1 2p(maxiXk |- 市 ex；证明：因为X是鞅，X2, n，N为下鞅，故P(max|Xk |_ J 二 P(maxX - 2)1 2 1 2rZ_2X：dPrE(X：)k成注 1-3-1 机序列 X =Xn, n N，记 x ” =supXk定理1-3-4 设X -Xn，N为非负下鞅，F（t）是0,=上的任意非降右连续函数，F（0）=0,则有E0X*dF(t)兰 EXnF(X：)(0, Xn 证明：因为所以r _ n 时，令 X。定理1-3-5证明：令:-于是得若X有界，XxtdFt)二=0X州 Y _，由定理 1-3-4 知-1X ：.一. 1XnE (Xn)Edr HE0 : t dt1 川二、0 1 匕0X “X 二 E0ntCt)dt =E0nt