高三总复习导数——专题总结归纳

1、历年高考题型总结及详解倒数内容简介 ：1. 有关倒数考试方向及常考点 .2. 常考点方法总结及名师点拨 .3.2014 2016 各地历年高考题及解析4. 名校有关模拟题母题 .【命题意图】 导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图 象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据.分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧.因此高考对这类题主要考查导数的运算、代数式化简与变形，考查运算求解能力，运用数形结合、 分类讨论的思想 方法分析与解决问题能力 .【考试方向】 含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某

2、些条件求出 这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围 （或取值）使得函数具有 某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想.含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一.这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等 .【得分要点】1. 研究函数单调区间， 实质研究函数极值问题 .分类讨论思想常用于含有参数的函数的极值问 题，大体上可分为两类，一类是定区间而极值点含参数，另一类是不定区间（区间含参数） 极值点固定， 这两类都是根据极值点是否在区间内加以讨论， 讨论时以是否使得导函数变号 为标准，做到不重不漏 .2. 求可导函数单

3、调区间时首先坚持定义域优先原则，必须先确定函数的定义域，尤其注意定 义区间不连续的情况， 此时单调区间按断点自然分类； 其次， 先研究定义区间上导函数无零 点或零点落在定义区间端点上的情况， 此时导函数符号不变， 单调性唯一； 对于导函数的零 点在定义区间内的情形，最好列表分析导函数符号变化规律，得出相应单调区间 .3. 讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下， 这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论， 在能够通过因式分解求出不等式对应方程 的根时依据根的大小进行分类讨论， 在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方 程的判别式进行分类讨论 .

4、讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制4. 含参数的函数的极值 (最值 )问题常在以下情况下需要分类讨论：(1) 导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；(2) 导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；(3) 端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；(4) 参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论.5. 求可导函数单调区间的一般步骤(1) 确定函数 f(x) 的定义域 (定义域优先 )；(2)求导函数 f (x) ；(3)在函数 f(x) 的定义域内求不等式 f (x) 0或 f (x) 0的解集由f (x) 0 ( f (x)

5、0 )的解集确定函数f (x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有 参数时，可分类讨论求得单调区间6 .由函数f(x)在(a,b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f (x) 0 (或f (x) 0)恒成立问题，要注意 二”是否可以取到.7. 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另 外注意函数最值是个 “整体”概念，而极值是个 “局部 ”概念.8. 函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思 想是必要的，由于是函数问题， 所以函数思想、数形结合思想也是必要的， 把不等式问题转 化为函数最值问题、 把方程的根转化为函数零点问

6、题等， 转化与化归思想也起着同样的作用， 解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用 .9. 导数及其应用通常围绕四个点进行命题.第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求 曲线的切线方程， 根据切线方程求参数值等问题， 这类试题在考查导数的几何意义的同时也 考查导数的运算、 函数等知识， 试题的难度不大； 第二个点是围绕利用导数研究函数的单调 性、极值 (最值 )展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数 范围等问题， 在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、 化归与转化思想等数学 思想方法； 第三个点是围绕导数研究不等式、 方程展开， 涉及不等式的证明

7、、不等式的恒成 立、讨论方程根等问题， 主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不 等式和方程等问题的能力， 该点和第二个点一般是解答题中的两个设问， 考查的核心是导数 研究函数性质的方法和函数性质的应用； 第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式 和方程等问题的能力， 该点和第二个点一般是解答题中的两个设问， 考查的核心是导数研究 函数性质的方法和函数性质的应用10. 函数的单调性问题与导数的关系(1)函数的单调性与导数的关系：设函数 y f(x)在某个区间内可导，若 f (x)0 ,则f(x)为增函数；若f/(x)0，则f (x)为减函数( 2)用导数函数求单调区间方法

8、 求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0 的不等式，得到区间为增区间， 解导数小于 0 得到的区间为减区间， 注意单调区间一定要写出区间形式， 不 用描述法集合或不等式表示，且增(减)区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写 成并集形式，要说明增(减)区间是谁，若题中含参数注意分类讨论；(3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题 先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于(增函数)(小于(减函数) ) 0 恒成立问题， 通过函数方法或参变分离求出参数范围， 注意要验证参数取等号时， 函数是否满 足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加 ( 4)注意区分函数在某个

9、区间上是增(减)函数与函数的增(减)区间是某各区间的区 别，函数在某个区间上是增(减)函数中的区间可以是该函数增(减)区间的子集 11. 函数的极值与导数( 1 )函数极值的概念设函数y f(x)在X。附近有定义，若对 X。附近的所有点，都有 f (x) f(Xo)，则称f(xo)是函数f (x)的一个极大值，记作 y极大值= f(x。)；设函数y f(x)在X。附近有定义，若对 X。附近的所有点，都有 f (x) f(Xo)，则称f(x。)是函数f(x)的一个极小值，记作 y极小值= f(x。).注意：极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质 ;极值可有多个值，且极大值 不定大于极小值

10、;极值点不能在函数端点处取 .( 2)函数极值与导数的关系当函数y f (X)在x0处连续时，若在x0附近的左侧f/(x)。，右侧f/(x)。，那 么f (Xo)是极大值；若在Xo附近的左侧f/(x)。，右侧f/(x)。，那么f (Xo)是极 小值 . 在导数为。的点不一定是极值点，如函数 y X3，导数为y/ 3x2，在x 0处导数为0，但不是极值点； 极值点导数不定为 0，如函数y |x|在x 0的左侧是减函数，右侧是增函数，在x 0处取极小值，但在x0处的左导数xm0(0x)x3 =-1，有导数lim (0一=1，在x 0处的导数不存在x 0(3 )函数的极值问题求函数的极值，先求导函数

11、，令导函数为0，求出导函数为0点，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点 取值极大值，若左减右增，则在这一点取极小值，要说明在哪一点去极大(小)值； 已知极值求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0,列出关于参数方程,求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件,故需将参数代入检验在给点的是否去极值； 已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0,求出参数的范围12. 最值问题(1)最值的概念对函数y f(x)有函数值f (x0)使对定义域内任意X，都有f(x)f(

12、x。)(f (x)f(x。)则称f(x)是函数y f(x)的最大(小)值.注意：若函数存在最大(小)值，则值唯一；最大值可以在端点处取；若函数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大(小)值就是最大(小)值.(2) 函数最问题 对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值； 对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式f (x) )g(a) ( x是自变量，a是参数)恒

13、成立问题，g(a) f(X)max(W f(x)min)，转化为求函数的最值问题，注意函数最值与极值的区别与联系2x 11.（2016高考山东理数）已知f（x） a x In x 2 ,a R.x（I）讨论f （x）的单调性；（II）略【解析】（I） /00的定义域为（。杆）；他円-三-卜 芋迴匕警二2当*1）时=fr（x）o,单调遶増；JTE（L-K0）atrM0, 单调連减-当“0时，广二竺#仪+心-_L） a 1 ；当XE（0J）或工占（J|,+X时，厂W /&）单调递増； 当XE（t|）时，代亦0, /C0单调ii；J（2）=2时” J|=r在文E（aw価 几go,单调递辄J2（3）a

14、29寸.C o? /单调递愉当x e（J|,i）时，/wof。:对单调递减一综上所述，当虫0时，函数在0D內单调递增.在（I汁內单谓建减,当0 丈2时在（）内单调递增，在a）內单调递甌 在内单调递増,a=2fCO在（0,T內单调递增去兰去、2, no在e）内单蘇増，在（卫内单调邃肌在询內单调递増一考点：应用导数研究函数的单调性【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性、分类讨论思想解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出基本计算能力、分类讨论思想等R 其中a

15、,b2.(2016高考天津理数)设函数f(x) (x 1)3 ax b,x(I)求f(x)的单调区间；(II)略；(川)略.【答案】(I)当a 0时，单调递增区间为(，)；当a 0时，单调递减区间为(1 翌,1)，单调递增区间为(,1 更),(1 烫，).3333【解析】(I)解：由 f(x) (x 1)3 ax b，可得 f(x)3( x 1)2 a.F面分两种情况讨论： 当0时，有八工帀玄兀1尸必0恒成茲 所gg的单调递增区间为Q+单调递増极大值单调递减概小值单调递増所以與兀)的单调递减区间为(1+孕).单调递增区间为(i+.w).【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤(1) 确定函

16、数f (x)的定义域(定义域优先)；(2) 求导函数f (x)；(3) 在函数f (x)的定义域内求不等式 f (x)0或f (x)0的解集.(4) 由f (x) 0 ( f (x) 0 )的解集确定函数 f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间.2.由函数f (x)在(a,b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f (x)0 (或f (x)0)恒成立问题，要注意 丄”是否可以取到.2016高考真题及名校模拟题一一母题【母题1】(I )讨论函数f(x)的单调性，并证明当x 0时，(X 2)ex x 2 0 ；x 2xe ax a(n )证明：当a 0,1)时，函

17、数g(x)=2 (x 0)有最小值.设g(x)的最x小值为h(a)，求函数h(a)的值域.1 e2【答案】(I)详见解析；(n)(亍 【解析】(I) /(力的定义域为(to厂22(-1杉)蚀=5叱U皆.仪+2)且仅当*0时，/Xx) = o. m/(x)在(TQ-2),(-2丹)单调递増,因此当雄.如)时，/(x)/(O) = -L所火 Y时 2H20 +x-n20由(IMb JX力+0单调递増，JS0:1)= /(D+ = o-1 0,因此，存在唯一孔e (Q 2点得 g + 口二0=即区)二X当Ou兀亡旳时*丿仪)+口 O=g-(x)0(X)0=x)B调递増.因此牙C0在兀=耳处取得最小值

18、P最小值为_呑勒_凤耳+1) _ 决甘()(花+1) _ 竺花=V =Z2于是h心三由 *緒鸟卑调蹄 所叹，由抵E21得1 =彩丐0(f (x)v 0)解出相应的x的范围.当f (x) 0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当 f (x) 0时，f(x)在相应的区间上是减函 数，还可以列表，写出函数的单调区间.注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念.【母题2】设函数f(x) xea x bx，曲线y f (x)在点(2, f (2)处的切线方程为 y (e 1)x 4,(1 )求a , b的值；(

19、2)求f (x)的单调区间.【答案】(I ) a 2, b e ； (2) f (x)的单调递增区间为(，)【解析】(1)因为 f(x) xea x bx，所以 f (x) (1 x)ea x b.依题设，f 2e 22ea 2 2b 2e 2,即a 2f (2) e 1,eb e 1,解得a2,b e. (2)由(I)知 f(x) xe2 x ex.由 f (x) e2 x(1 x ex 1)即 e2 x 0 知，f (x)与 1 x ex 1 同号.令 g(x) 1 x ex 1，则 g (x)1 ex 1.所以，当x (,1)时，g (x) 0, g(x)在区间(,1)上单调递减；当x

20、(1,)时，g (x) 0 , g(x)在区间(1,)上单调递增故g(1) 1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而 g(x) 0, x (,).综上可知，f(x) 0，x (,)，故f (x)的单调递增区间为(，)考点：导数的应用【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域 内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时，除了必须确 定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点.【母题3】设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a R.(I)讨论f(x)的单调性；r .11x(n)确定a的所有可能取值，使得f(x) e 在区间(1，

21、+8)内恒成立(e=2.718【解析巧/3 = 3_丄=数的一.广、口工、订口+工广|中调荷巧当时门广0丸门X)单调递増-l? /WX).SoSO, xlH寸,/(x)=fl(j?-l)hxS(DC)在区间(1,+x)内恒成立时，塚心0当 0-B寸，2 yj2a由有兀亠)/(1) = 0以而肌亠y/2aJ2a所以此时/g 工-十 冇 *=二1= 0 =X X工 X 鼻AJC因此g在区间厲单调递増一又因为心S所以当工时，転2 代小 0即S(x)恒成立. 绘上卫号-考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立

22、问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力求函数的单调性，基本方法是求f(x)，解方程f (X) 0 ,再通过f (X)的正负确定f (x)的单调性；要证明函数不等式f (x) g(x),般证明f (x) g(x)的最小值大于0,为此要研究函数h(x) f (x) g(x)的单调性本题中注意由于函数h(x)有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范 围比较新颖，学生不易想到有一定的难度.【母题4】已知函数f(x) x3 ax2 b(a,b R).(1)试讨论f (x)的单调性;(2)若b c a (实数c是a与无关的常数)，当函数f (x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰

23、好是（,3)（1|）（|），求c的值.【答案】（1）当a0时，f x在，上单调递增；当a 0时，f x在2a，3,0,上单调递增，在上单调递减;当a 0时，f x在,0 ,2aJ3上单调递增，在0, 2a3上单调递减.(2)c 1._ 2a【解祈】）亠+吧令厂（刃叫解得叫=,当“0时，因为/W = 5x20 （*g所以函数在（7杪）上单调递増j当心0时，XC TIC,U（Q血）时/*（刃0疋-敎）时，）9所以函数/（X）在y（QE）上单调递增在-y|上单谓递减;当xQ时P h(tb,0)U2a/时/W0, xe 0:-I 3时，r（x）上单调递増，在（上-丰）上单调递减. 由 知,函数几力的两

24、个极值为才（0），/（） = *务 軀数/（力有三个零点筹价于/0）J=彳+frj0,从而D4at 1牛-_d3 b00b0B 寸* / a+e a 0 B 寸* a+c 且(_1尸_(门_)+1_口工百解得水(7一3)屮迈JU&3.402【考点定位】禾U用导数求函数单调性、极值、函数零点【名师点晴】求函数的单调区间的步骤：确定函数y= f(x)的定义域；求导数y=f (x)，令f (x) = 0,解此方程，求出在定义区间内的一切实根；把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些 点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；确定 f

25、 (x)在各个区间内的符号，根据符 号判定函数在每个相应区间内的单调性.已知函数的零点个数问题处理方法为：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解.已知不等式解集求参数方法：利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系【母题5】设函数f(x) x2 ax b .(I)讨论函数 f(sin x)在(内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(n)记 f0(x) x2 a0x b0，求函数 f(sinx) f0(sinx)在上的最大值 D；2a(川)在(n)中，取 ao bo 0 ,求z b 满足D 1时的最大值.4a2【答案】(I)极小值为b ； (n) D | a ao

26、 | | b bo | ；(川)1.4【解析】(I) f (si n x) si n2 x asin x b sin x(si nx a) b , x .2 2f (s in x) (2si nx a)cos x ,x .2 2因为x ，所以 cosx 0, 2 2sin x 2.2 2当a 2,b R时，函数f(si n x)单调递增，无极值当a 2,b R时，函数f(sin x)单调递减，无极值当-2o2在内存在唯一的花橈得2日11召=卫.* -5叭 西数金5单调递减F兀勺吋，国数朋陶单调递增.因此-2a2,陡盘时，函数/X如Q在也蛙有按小值兀釦也=一2 +(II) xjc+方一心国也一如

27、十|总一$ |. *-当(绳一&X妬一石二0时 x = -?等号販去JT当gnX心毋宀时，?=-，等号成立，丄矿 JT由此可知函|/(Mnx)-(sifljr)|在-亍了上的最大值为-绳|+2-如一 jt ,-t2(Id) Dh即|纠+ |刿幻止从而也1.取总=0=1,则|纠+ |*|1,并且左=0巳=1+由此可知，*&-Y满足条件D1的最大值为1. 斗【考点定位】1函数的单调性、极值与最值；2绝对值不等式的应用.【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问

28、题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用【母题6】已知函数f(x) nx xn,x R，其中n N*, n 2 .(I)讨论f (x)的单调性;（II）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为 P,曲线在点P处的切线方程为 y = g（x）,求证:对于任意的正实数 x，都有f （x） g（x）；（III）若关于x的方程f（x）二a（a为实数）有两个正实根x1? X2，求证：. a|x2-xJ f（X）, /（X）的变化情况如下表:Xg-1)(-1J)a+30)fU)+所儿/何在（YT厲炖）上单调递赢 在（一1血內单调递

29、増一当用为偶颛右即兀ci时函数/x力单调递増,a/v）o；即ei时，固数/单调递减所以，/（力在上里调递增，/何在a-KP）n调递减（II）证叭：设点P的坐标为（爲0），则握，fg = n-f曲携y = /x）在点P处的切线方程为y=f（）（x-）?即肌对匸尹花）（兀切令FS = fS_阳、即x） = /（x）-/U）（-）、wir（x）=Ax）-/u）由于在炖）上单调邈虧 做叫在（6祗）上单调递為 又因FU） = O,所以 当施（Q对吋，叫H当施（耳枷）时，FgXChfiff以巩力在（Q勾内调速轨在（心皿） 内单调递風,所以对任意的正实数xPW巩x）玉F（兀）=0,即对任意的正实数x、邯有/

30、（x）占如.【考点定位】1导数的运算；2导数的几何意义；3利用导数研究函数性质、证明不等式 .【名师点睛】本题主要考查函数的性质与导数之间的关系以及利用函数证明不等式第（I）小题求导后分n为奇偶数讨论函数的单调性，体现了数学分类讨论的重要思想；第(ii)(iii)中都利用了构造函数证明不等式这一重要思想方法，体现数学中的构造法在解题中的重要作用， 是拨高题.【母题7】已知函数f(x) 2(x a)ln x x2 2ax 2a a，其中a 0.(1 )设g(x)是f (x)的导函数，评论 g(x)的单调性；(2)证明：存在a (0,1)，使得f (x) 0在区间(1,+ )内恒成立，且f(x)

31、0在(1,+ ) 内有唯一解.【答案】(1 )当0 a -时，g(x)在区间(0,11如),11 4a,)上单调递增，422在区间(一,1一_4a)上单调递减；当 a 1时，g(x)在区间(0,)上单调递224增.(2)详见解析.【解析】 由已知，函数八刃的定义域为+对，也力二广00 = 2工一加一辺工一2(1 +弋人所以0(力=2二+写=x x当g*弋料寸，g(功在区间匕巫西衣1卫三卫,他)上单调递疑 斗22在区间(上尸,LbZ严)上单鯉痛当门上2时f班功在区间(QpO上单调递増.4(2)由 frM=2x -2fl-2Lnx-2(L+ -)=0,解得二乂 亠严 x14-x* 九几jc1lax

32、.i _ .jtllnlux.i jc_L_1h工1+T则风121,0展叭二-学芒）一2（ 二）Uo1 +1 + e故存在齐使得贺无）= 0-由畑十、顷 駛咖在区间（1网上里调劇GF；rj n (1)()-嗣 &-2所以弋刁二市“当口口為时，有/（兀）二底/（观二锁迪）= 0, 一 由 知函数广S在区间十可上单调递増一故当工巴a耳）时有ru）oJ Rrraz（x）/u）=oj当施（耳2）时有/W0,从而/x）/（） = Qj所叽 当 x e（l+oc）时，综上所述存在口紅 W 使得/0在区间心）内恒咸立且/W-0在估心）內有唯一解【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零

33、点等基础知识，考 查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化 归与转化等数学思想【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考 查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化 归与转化等数学思想【名师点睛】本题作为压轴题，难度系数应在0.3以下导数与微积分作为大学重要内容，在中学要求学生掌握其基础知识，在高考题中也必有体现一般地，只要掌握了课本知识，是完全可以解决第（1）题的，所以对难度最大的最后一个题，任何人都不能完全放弃，这里 还有不少的分是志在必得的解决函数题需要的一个重要数学思想是

34、数形结合，联系图形大胆猜想在本题中，结合待证结论，可以想象出f（X）的大致图象，要使得 f（X） 0在区间（1,+）内恒成立，且f（x） 0在（1,+ ）内有唯一解，则这个解X。应为极小值点，且极小值为0,当x (1,Xo)时，f(x)的图象递减；当x (Xo,)时，f (x)的图象单调递增， 顺着这个思想，便可找到解决方法1【母题8】已知数列兔的各项均为正数，bn n(1 -)nan (n N )，e为自然对数的底数.n1(I)求函数f (x)1 x ex的单调区间，并比较(1 -)n与e的大小；n(n)计算比,空,bbb3，由此推测计算睑L bn的公式，并给出证明；a1印玄2aa2a3aa

35、2 L an1(川)令Cn(aLan)n，数列an,Cn的前n项和分别记为Sn,Tn,证明：TneSn.【解析】(I )的定义域为(Y3.+C0儿fx) = l-e当厂(X)AO,即工VO时，00单调递増, 当厂00oa寸，/(工)单调递加.故的单调速增区间为(yoQ,单调速减厦间为gg)当JCAOB寸，/W/(0) = 0,即 1 + XV，1 1 令工=上，得1 +丄即(1 + / .nnn II )色=1(1小=2=2;坐=勺-鱼=2钦+牙=(2初=32, 1|136 a 2 2A_A=32 304-1/=(3-f1)j = 4j.G色丐3由此推测： 也耳=3+巧叫下面用数学归纳法证明.

36、(1) 当？! = 1时，左边=右边=2,成立.(2) 假设n = k时，成立，即幅-WF.3吆畋当日寸,=(fc+lXLH.-ATr，a4+1,由归纳假设可得影汁影=Qt十1丫(圧十1X1十召=(无十2丫所以当乃=尢+1日寸，也成立根1S (1) (2),可知对一切正整数刃都成立5)由J的左义，算术-几何平均不等式，耳的走义及得7；= + +- + =3 +(2|)5 十(qyp 十十(绍色乙尸丄购b十附$十十士也尸234?t + L & .0 讥、勺二女十虫十+ S肌”+l)张斗1x2 2x3一十h丄+丄斗十一+九一71?1+1)*l2x3 3x4?i(?i+l)Jfifn+l)W-命屮烷

37、-衣H乜匕-詡需心4+捡=(1 + ；丸子(1#)屯卄弋十丄血Lfl.LjL-0(3!十羽+=斜r【考点定位】导数的应，数列的概念，数学归纳法，基本不等式，不等式的证明【名师点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.运用数学归纳法应注意以下三点：(1)n= no时成立，要弄清楚命题的含义.(2)由假设n=k成立证n= k+ 1时，要推导详实，并且一定要运用n= k成立的结论.(3)要注意n= k到n= k+ 1时增加的项数.【母题9】设a 1，函数f(x) (1 x2)ex

38、a .(1 )求f (x)的单调区间；(2) 证明：f (x)在 ,上仅有一个零点；(3) 若曲线y= f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m, n)处的切线与直线 OP平行(0是坐标原点),证明：m 3 a2e1 .【答案】(1),；(2 )见解析；(3)见解析.【解析】(1)依题f x1 x2 ex12x ,x e 1 x 2ex 0,f x在上是单调增函数;（2 ） a 1 ,f 0 1 a 0 且 fa 1 a2 ea a 1 a2 a 0, 二6）在血口）上有零点又由in /（i）在（-理刊町上是里调増函数，f （可在（-*+）上仅有一个零点；C3）由（D知令广（Q=0得工=

39、一又才（亠1）=扌一,即卫.（1-FW）3= 3- ?/由得 maO,由 g（jw） 0 得 mm+l；-a - = (1 + m y 夕111 X (1 + 肮(14狮 1+ ?n ;【考点定位】导数与函数单调性、零点、不等式，导数的几何意义等知识.【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性、零点、不等式恒成立，导数的几何意义等基础知识，属于中高档题，解答此题关键在于第（1）问要准确求出f x的导数，第（2）问首先要说明0,a内有零点再结合函数在单调性就易证其结论，第(3)问由导数em m 1的放缩作用并利用导数证明emm 1成立，则易证m2 2的几何意义易得 1 m em a对比要证明的结论

40、后要能认清e【母题10】设函数3x2 axxx a Re(1 )若f x在x 0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y f x在点1, f 1 处的切线方程；(2)若f x在3,上为减函数，求a的取值范围。9【答案】(1) a 0，切线方程为3x- ey = 0 ; (2)-,).22015高考真题及名校模拟题一一母题1.【2015高考福建，文12】对任意 x (0,), ksinxcosx2x ”是“k 1 ”的()A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当k 1时kksi nxcosxsi n 2x ,构造函数 f (x)2k .

41、sin22x x，则f (x) kcos2x 10 .故f (x)在x (0, )单调递增，故f(x)2贝U ksinxcosx x ；匕)11时，不等式ksinxcosx x等价于一sin 2x2x，构造函1数 g(x) -sin2xg (x) cos2x 10，故 g (x)在x (0,-)递增，故g(x)咛 2贝U sin xcosx x . 综上所述，“对任意x (0, ),2ksin xcosx x ”是“ k1 ”的必要不充分条件，选B.【考点定位】导数的应用.【名师指点】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用, 据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，

42、是函数思想的体现，属于难题.2【2015高考湖南，文8】设函数f(x) ln(1 x) ln(1 x)，贝U f(x)是()A、奇函数，且在(0,1)上是增函数B、奇函数，且在(0,1)上是减函数C、偶函数，且在(0,1)上是增函数D、偶函数，且在(0,1)上是减函数【答案】【解析】f (x) ln(1x)ln(1x)， 函数的定义域为(-11 )， 函数f( x)ln(1 x)ln(1x)f (x)所以函数是奇函数.fx11 x2 ，在(0,1)上 f x，所以f (x)在(0,1)上单调递增，故选A.【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师指点】利用导数研究函数f (x)在(a, b)内的

43、单调性的步骤：(1)求fx ； (2)确认f x在(a , b)内的符号；(3)作出结论：f x 0时为增函数；fx 0时为减函数.研究函数性质时，首先要明确函数定义域3.【2015高考北京，文19】(本小题满分13分)设函数x在区间1,je上仅有一个零点.(I )求f x的单调区间和极值；(ll )证明：若f x存在零点，则【答案】(I )单调递减区间是(0, k)，单调递增区间是 c.k,)；极小值f( k) k(1 J ；(II )证明详见解析【解析】试题分祈：本題王要君查导数的运篦、利用导数利新国数的单调性、利用导魏求酗的1值和最值、ffi 零点问題等基础知识卩考査学生的分析i可题解决

44、问題的能力、转化能力、计算育肋.(I)先对畑求导, 令/(x)=0解出厂將II嵌的定义域斷开#列表，分析函数的单调生所決由表格知当拡时，国数 职得极小值同时也是最小值(ID刑用第一冋的表，知只展)九雪数的最小值如果團魏有零為 只需 0 ,从而解出宀e , K再分悄况廿析團魏有几个零点.试题解析： 1 )由f(x) -klnxf 30)得由f(x) 0解得xZkf(x)与f(x)在区间(0,)上的情况如下:(6屈(用+T)/(Q/所以，f (x)的单调递减区间是(0.k)，单调递增区间是 c.k,k(1 Ink)2()由(I)知， f (x)在区间(0,k(1 Ink)2因为f(x)存在零点，所

45、以k(1 lnk)所以e时，f (x)在区间(1厂、e)上单调递减，且 f(-、e) 0 ,x e 是f (x)在区间(i,、,e】上的唯一零点._ 1e时，f (x)在区间(0, - e)上单调递减，且 f(l) 0 ,2f)罟 0,所以f (x)在区间(1, e上仅有一个零点.综上可知，若f(x)存在零点，则f (x)在区间(1r.e上仅有一个零点.考点：导数的运算、禾U用导数判断函数的单调性、禾U用导数求函数的极值、函数零点问题【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题利用导数求函数f x的单调性与极值的步骤：确定函数f

46、x的定义域；对f x求导；求方程f x 0的所有实数根；列表格证明函数仅有一个零点的步骤：用零点存在性定理证明函数零点的存在性;证明函数零点的唯一性.用函数的单调性f (x)在x, k处取得极小值f (. k)（6为十口）住一（3j?十一知十（6口）工十应【解析】（D对于（对求导得rw=-一冷一一=-一丄一一的-因为/閃在龙“处取得极值，所a/r（o）=o,即农皿一当0时，=3/=3从而/仪）在点（l /处的切鱼肪程 eeee3 3为y- - =-（x-1）北简得女-即二0 e亠 曰 “ 、一3/十（61）工+ 由得，rw-.电令乌（X） -3x2 十（&- ajx-aAza石-er- Ju十

47、 36g- a+Jd 十 3$由 （） = 0,解得两二=6 &当尤卍西时/或闺疋6故/対次减函数j当珂帀时，E（x0,ti/W为增函数；当XX2时或x）-26 2- E 9故a的取値范围为H3h）-【考点定位】复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性考查综合运用数学思想方法分 析与解决问题的能力.【名师点晴】导数及其应用通常围绕四个点进行命题.第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的 同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数 的单调性、极值（最值）展开，设计求函数的单调区间、极值

48、、最值，已知单调区间求参数或 者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式 的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来 分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，数研究函数性质的方法和函数性质的应用；本题涉及第一个点和第二个点,考查的核心是导主要注意问题的转化，

49、转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质.4.【2015高考福建，文22】已知函数f(X)In x(x 1)22(I )求函数f x的单调递增区间;(n)证明：当x 1时，f x x 1 ；(川)确定实数k的所有可能取值，使得存在x0 1，当x (1,x0)时，恒有f x k x 15. 【2015高考山东，文20】设函数-，- 一 已知曲线在点(1, f (1)处的切线与直线:上_、- F：平行.(I)求a的值；(n)是否存在自然数 k，使得方程f (x) g(x)在(k,k 1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ;如果不存在，请说明理由；(川)设函数 m(x) min f (x), g(x) ( min p,q表示，p,q中的较小值)，求m x的4