专题研究球与几何体的切接问题

1、专题研究球与几何体的切接问题1. （2017唐山模拟）正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为（）A. 64 nC. 16nB . 32 nD . 8 n答案 A解析 如图，作 PM丄平面ABC于点M，则球心 O在PM上，PM = 6，连接AM , AO, 则 OP= OA = R（R 为外接球半径），在 Rt OAM 中，OM = 6 R, OA = R,又 AB = 6,且 ABC 为等边三角形，故 AM = 3 ;62 32= 2,3,则 R2 (6 R)2= (2 3)2,则 R= 4,所以 球的表面积S= 4 n R2= 64 n .2已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高

2、为4,体积为16,则这个球的表面积是（）A. 16 nB. 20 nC. 24 nD . 32 n答案 C解析 由V = Sh,得S= 4,得正四棱柱底面边长为2画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球的半径为R= ；“22+ 22 + 42= 6.所以球的表面积为 S= 4 n R2= 24 n .故选C.3若一个正方体的体积是 8,则这个正方体的内切球的表面积是（）A . 8 nB . 6 nC . 4 nD . n答案 C解析设正方体的棱长为a,贝U a3= 8.因此内切球直径为 2, S表=4n r2 = 4 n .4 . （2017课标全国川）已知圆柱的高为1，它的

3、两个底面的圆周在直径长为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）B.nC.y答案 B解析 根据已知球的半径长是 1，圆柱的高是1，如图，所以圆柱的底面半径 以圆柱的体积 V =n r2h=n X （罗）2% 1 = ： n .故选B.5 . （2018安徽合肥模拟）已知球的直径 SC= 6, A , B是该球球面上的两点，且AB = SA = SB = 3,则三棱锥SABC的体积为（）A.于B.9.2D.9*22答案 D解析 设该球球心为 0,因为球的直径 SC= 6, A , B是该球球面上的两点，且 AB = SA = SB = 3，所以三棱 锥S 0AB是棱长为3的正四面体，其体积 V

4、s-oab = 3X 2X 3X.6= 乎，同理V。-abc = 呼，故三棱锥 S ABC 的体积 Vs-ABC = V s-OAB + V。-ABC = 9J2,故选 D.6.已知直三棱柱ABC -AiBiCi的6个顶点都在球0 的球面上，若 AB = 3, AC = 4, AB 丄AC , AA 1 = 12,则球0的半径为（）3 17A2B . 2 .1013C.yD . 3 . 10答案 C解析 如图，由球心作平面 ABC的垂线，则垂足为 BC的中点M.151又 AM = 2BC = ， 0M = AA 1 = 6,所以球0的半径R= 0A =2+ 62=萝7. （2018广东惠州一模

5、）已知一个水平放置的各棱长均为4的三棱锥形容器内有一小球0（质量忽略不计），现从该三棱锥形容器的顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则小球的表面积等于（2c.n答案 CD.*n解析由题知，没有水的部分的体积是三棱锥形容器的体积的1，三棱锥形容器的体积为8i-43 T 4=1T2,所以没有水的部分的体积为于设其棱长为a,则其体积为中予冬屮=a= 2，设小球的半径为r，贝U 4 X 1X 3X r =牛2，解得r= 6，二球的表面积为 4 n X=舟n,故选C.336638.如图，ABCD - A1B1C1D1是棱长为1的正方

6、体，S- ABCD是高为1的正四棱锥，若点 S,A1, B1, C1 , D1在同一个球面上，则该球的体积为 （）A.25 n16B.49 n1681 nC. 16243 nD. 128答案 Cn解析 如图所示，0为球心，设0G1= x,则0B1= S0= 2 x，同时由正方体的性质可知 B1G1=号，则在 Rt OB1G1 中，OB/= G1B12+ OG12，即（2 x）2= x2+，解得x = 7，所以球的半径 R = OB18E, F分别是匸视图9,所以球的表面积S= 4n R2 =警，故选C.8 169. （2018郑州质检）四棱锥P ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视

7、图如图所示,2 , 2,则该球的表面积为（）棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为3n12nC. 2 2n答案 D解析 该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径 即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为 2 .2,可知正方形ABCD对角线AC的长为2 2, 可得正方形 ABCD的边长a= 2,在厶PAC中,PC= 22 +（ 2 2） 2= 2,3,球的半径 R=. 3,二 S 表=4 n R2= 4n X （衫3）2= 12 n .10. （2014湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等

8、于（）正视图俯视图C. 3答案 B解析 此几何体为一直三棱柱，底面是边长为6, 8,10的直角三角形，侧棱为 12，故其最大球的半径为底面1直角三角形内切圆的半径，故其半径为r=1X （6 + 8 10）= 2，故选B.18,则这个球的体积为11. （2017天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为解析 设正方体的棱长为 a,贝U 6a2 = 18,得a= 3，设该正方体外接球的半径为R，则2R= 3a= 3，得R =3，所以该球的体积为4 n R3= 3 n （驴二2 n .s12. 若一个正四面体的表面积为Si,其内切球的表面积为 S2,则F =S2答案乞卫n解析

9、设正四面体的棱长为 a,则正四面体的表面积为Si= 4 j3 - a2= 3a2,其内切球半径为正四面体高的 严，即r =1，a= a,因此内切球表面积为 S2= 4n r2=,则更=亠担=6344 3126S2 n 2 n6a13. 已知一圆柱内接于球 0,且圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，则球0的表面积为 .答案 8 n解析 圆柱的底面圆的直径与母线长均为2,所以球的直径为.22+ 22 = , 8= 2 2，即球半径为 2, 所以球的表面积为4n X （ 2）2= 8 n .14. （2017衡水中学调研卷）已知正三棱锥 P ABC，点P, A , B , C都在半径为 3的球面上，若

10、 PA, PB , PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为.答案 3解析 方法一：先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解 题如图，满足题意的正三棱锥 P ABC可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方 体的体对角线，且面 ABC与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平 面ABC的距离等于体对角线长的 1，故球心到截面 ABC的距离为2 37.663方法二：用等体积法：V P ABC = V A PBC 求解）.15. （2018四川成都诊断）已知一个多面体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方

11、形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为傭视图答案 3 n解析 由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面， 高等于1,其底面是边长为1的正方形,四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球,外接球的直径为.3 ,外接球的表面积AD = 2，AB = 3，AF!16. （2018河北唐山模拟）已知矩形ABEF所在的平面与矩形 ABCD所在平面互相垂直,= 攀,M为EF的中点，则多面体 M ABCD的外接球的表面积为 .答案 16 n解析 记多面体 M ABCD的外接球的球心为 O,如图，过点 O分别作平面 ABCD和 平面ABEF的垂线，垂足分别为 Q, H，连接MH并

12、延长，交 AB于点N，连接OM ,NQ, AQ ,设球O的半径为R,球心到平面 ABCD的距离为d,即OQ = d, ：矩形ABEF 所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直， AF = 乎,M为EF的中点， MN =竽， AN = NB = 2，NQ = 1 , 二 R2=（）2+ d2= 12+ （誓-d）2, d=, R2= 4,多面体 M ABCD的外接球的表面积为 4n R2 = 16n .备选题1. （2017课标全国n ,文）长方体的长，宽，高分别为3, 2, 1，其顶点都在球 O的球面上，则球 O的表面积为.答案 14 n解析 依题意得，长方体的体对角线长为32+ 22+

13、12=, 14,记长方体的外接球的半径为R,则有2R=. 14,R= -4，因此球O的表面积等于4n R2 = 14 n .2. （2018湖南长沙一中模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）C. 12nB.二D.41 n4答案 D解析 根据三视图得出，几何体是正方体中的一个四棱锥O ABCD，正方体的棱长为2,A , D为所在棱的中点根据几何体可以判断，球心应该在过 A, D的平行于正方体底面 的中截面上，设球心到平面BCO的距离为x，则到AD的距离为2 x，所以R2= x2+ （ 2）2,R2 = 12+ （2 -X）2

14、，解得x = R =专，该多面体外接球的表面积为4n r2 =乎故选D.3. （2014陕西，理）已知底面边长为1,侧棱长为.2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）32 nA. 3B . 4 nC. 2n答案 D解析 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r=12+ 12+( 2)2= 1，所以4 n 34 n4.V球=43_x 1 =.故选D.（2018洛阳统一考试）如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为C.200 n100 nB .150 n50 n答案 D解析 由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去3个角后得到，该长方体的长、宽、

15、高分别为5、4、3,所以其外接球半径 R满足2R = ,42+ 32+ 52= 5 2,所以该几何体的外接球的表面积为S= 4 n R2 = 4 nx (节)2=50 n，故选 D.5.（2018广东清远三中月考）某一简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是侧视图13nC.25 nD . 27 nB . 16n答案 C解析 由三视图可知该几何体是底面为正方形的长方体，底面对角线为4,高为3,设外接球半径为r，则 2r=(2 .、2 ) 1 2+( 2 2 ) 2 + 32 = 5,. r = 5 ,.长方体外接球的表面积S= 4 n r2= 25 n .6. （2018福建厦门

16、模拟）已知球O的半径为R, A , B , C三点在球O的球面上，球心 O到平面ABC的距离为,AB = AC = BC = 2 3,则球 O的表面积为（16Ap n16n64C亍n64 n答案 D解析 因为AB = AC = BC = 2 3，所以 ABC为正三角形，其外接圆的半径r = 22sin 602，设 ABC外接圆的圆心为 Oi,贝y OOi丄平面ABC，所以OA2= OO12 + r2,所以R2 =2+ 22,解得R2= 16,所以球O的表面积为4 n R2= 64 n,故选D.7. （2018四川广元模拟）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E, F分别是AB , BC的中点，将 ADE , EBF , FCD分别沿DE , EF, FD折起，使得A , B , C三点重合于点 A ，若四面体 A EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为答案于 解析 由题意可知 A EF是等腰直角三角形，且 A D丄平面A EF.由于 A EF可以补全为边长为1的正方形，则该四面体必能补全为长、宽、高分别为1, 1,2的正四棱柱,三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球