组合图形的惯性矩

1、平面图形的几何性质,本章提要,本章主要研究平面图形的静矩和惯性矩的概念及计算、组合图形的静矩和惯性矩,本 章 内 容,静矩 惯性矩和惯性半径 组合图形的惯性矩,静矩,任意截面的图形如图8.1所示，其面积为A, Z轴和y轴为图形平面内的任意直角坐标轴,静矩,图8.1,取微面积dA， dA的坐标分别为y和z，则ydA、zdA分别称为微面积dA对于z轴和y轴的静矩。它们对整个平面图形面积的定积分 分别称为整个平面图形对于z轴和y轴的静矩,a,在静力学的第章中，已经导出平面图形的形心坐标公式,简单图形静矩的计算,8.1,将公式(8.1)代入式(a)，平面图形的形心坐标公式可写为 由此可得平面图形的静矩

2、为 Sy=zCA Sz=yCA 即平面图形对某轴的静矩等于其面积与形心坐标（形心至该轴的距离）的乘积,例8.1】试计算图8.2所示矩形截面对z轴和y轴的静矩。 【解】矩形截面的面积A=bh，其形心坐标yC=h/2,图8.2,zC=b/2。由式（8.2）有 Sz=yCA=h/2bh=bh2/2 Sy=zCA=b/2bh=b2h/2,工程实际中，有些构件的截面是由矩形、圆形等简单图形组合成，称为组合图形。 根据图形静矩的定义，组合图形对某轴的静矩等于各个简单图形对同一轴静矩的代数和，即,组合图形静矩的计算,例8.2】试计算图8.3所示截面对z轴和y轴的静矩。已知a=30mm。 【解】图示截面可看成

3、是由矩形减去半圆。设矩形的面积为A1，半圆的面积为A2。由于A2是要被减去的，该面积取负值。 由于y轴是对称轴，通过截面形心，所以该截面对y轴的静矩为零，即Sy=0 下面计算该截面对z轴的静矩。 A1=4a2a=8a2 yC1=a,A2=-1/2a2 yC2=4a/3 由式（8.3）有 Sz=yCiAi=yC1A1+yC2A2 =8a2a+(-1/2a2) 4a/3 =1.98105mm3,图8.3,惯性矩和惯性半径,如图8.4所示，在平面图形上取一微面积dA, dA与其坐标平方的乘积y2dA、z2dA分别称为该微面积dA对z轴和y轴的惯性矩，它们在整个图形范围内的定积分 分别称为整个平面图形

4、对z轴和y轴的惯性矩,惯性矩定义,微面积dA与它到坐标原点的距离的平方的乘积2dA，在整个图形范围内的定积分 称为平面图形对坐标原点的极惯性矩。由图8.4可知 2=z2+y2 于是有,即Ip=Iy+Iz 上式表示：平面图形对于位于图形平面内某点的任一对相互垂直坐标轴的惯性矩之和是一常量，恒等于它对该点的极惯性矩,图8.4,工程实际中，常将图形对某轴的惯性矩，表示为图形面积与某一长度平方的乘积，即 式中iz、iy分别称为平面图形对z轴和y轴的惯性半径，常用单位为米（m）或毫米（mm)。 由式（8.7）有，惯性半径,惯性半径,例8.3】图8.5所示圆形截面的直径为D，试计算它对形心轴（即直径轴）的

5、惯性矩。 【解】取平行z轴的微面积 由于对称，圆形截面对任一形心轴的惯性矩都等于D4/64,简单图形的惯性矩,例8.4】图8.6所示的矩形截面，试计算对其形心轴的惯性矩Iz、Iy。 【解】（1） 计算惯性矩Iz 取平行于z轴的微面积dA=bdy (2) 计算惯性矩Iy 取平行于y轴的微面积dA=hdz 表8.1列出了一些常用简单截面图形的几何性质,图8.5,图8.6,表8.1 简单截面图形的几何性质,8.3 组合图形的惯性矩,如图8.7所示，任意平面图形的形心为C，面积为A，zC轴和yC轴为图形的形心轴。y轴平行于yC，两轴间的距离为b；z轴平行于zC，两轴间的距离为a。根据惯性矩的定义，平面

6、图形对z轴的惯性矩为,8.3.1 惯性矩的平行移轴公式,IzC、SzC分别为图形对形心轴zC的惯性矩和静矩。由于图形对形心轴的静矩恒等于零，所以SzC=0。于是有 Iz=IzC+a2A 同理Iy=IyC+b2A 式(8.9)即为惯性矩的平行移轴公式。它表明：平面图形对任意轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图形的面积与两轴距离平方的乘积,图8.7,由惯性矩的定义可知，组合图形对某轴的惯性矩就等于组成它的各简单图形对同一轴惯性矩之和。 简单图形对本身形心轴的惯性矩可通过积分或查表求得，再利用平行移轴公式，便可求得各简单图形对组合图形的形心轴的惯性矩,组合图形的惯性矩,例8.5】空心水泥板的截面图形如图8.8所示，试求它对z轴和y轴的惯性矩。 【解】此组合图形对于z轴或y轴的惯性矩等于矩形对z轴或y轴的惯性矩减去圆形和对z轴或y轴的惯性矩。 计算惯性矩Iz Iz=I1z-I2z-I3z=I1z-2