第5章A 应力莫尔圆【严选课资】

1、9.3 应力圆 （ Stresses Circle,为什么叫莫尔圆 ( Mohrs Circle ) ？ 首先由Otto Mohr（1835-1918）提出 ( 又是一位工程师,来由 一点无穷多个微元上的应力 能否在一张图上表示？ 或者说,1,优质课堂,往下是关键的一步-平方和相加，得,一、斜截面应力,在 - 坐标系中， 与 落在一个圆上 （应力圆 或 莫尔圆,2,优质课堂,圆心,半径,二、应力圆的画法,第一种画法,1）在轴上作出 A0(x,0), B0(y,0,2） A0, B0的中点为圆心C,3）过A0垂直向上取xy 得 A， CA为半径,4）以C 为圆心、CA为半径 画圆,3,优质课堂,

2、第二种画法,1）坐标系内画出点 A( x，xy) B (y，yx,2） AB与sa 轴的 交点C是圆心,3） 以 C 为圆心 以AC为半径 画 圆 应力圆 或 莫尔圆,4,优质课堂,以上由单元体公式,应力圆（原变换,下面寻求： 由应力圆,单元体公式（逆变换,只有这样，应力圆才能与公式等价,换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系,5,优质课堂,为什么说有这种对应关系,6,优质课堂,单元体与应力圆的对应关系,1）单元体的右侧立面 应力圆的 A 点（2 0,2）斜截面和应力( ， ) 应力圆上一点 D 点 和坐标( ，,3）单元体上夹角 应力圆上 CA 与 CD 夹角 2 且转向一致,4）主单元体

3、上 1所在面法向 是由x 轴逆时针转 0 轴上应力圆最右端,7,优质课堂,四、应力极值,8,优质课堂,五、平面应力状态的分析方法,1、解析法 精确、公式不好记 7个 一般公式2个（正、切应力），极值应力5个 （极大与极小正应力，极大与极小切应力， 主单元体方位角） 2、图解法 不必记公式、数值不精确 有没有 集二者优点、避二者缺点 的方法 ？ 我提出了这种方法 3、图算法 前半部 画莫尔圆 后半部 看图精确计算,9,优质课堂,例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体,30,1、取 的中点C为圆心,以 AC 为半径画莫尔圆 2、算出心标 0C = -40，半径,3、算出主应力、切应力极值,

4、4、算出方位角,10,优质课堂,5、画出主单元体 （1）A点对应于右垂面 （2）右垂面逆时针转,得主单元体的最大 拉应力所在的面 （3）垂直做主单元体的 另一个面,11,优质课堂,例 求图示单元体的主应力及主平面的位置 (单位：MPa,解： (1)主应力坐标系如图,3)AB的垂直平分线与sa 轴的交点 C 即是圆心， 以 C 为圆心，以 AC为 半径画圆 应力圆,2)在坐标系内画出点,1,12,优质课堂,4)按图计算 心标 和 半径 OC = (A 横坐标 + B 横坐标)/2 = 70,5)计算主应力及方位角,6)在图上画主单元体、主应力,13,优质课堂,9.4 梁的主应力及其主应力迹线,梁

5、发生横力弯曲， M与Q 0，试确定截面上 各点主应力大小及主平面 位置,单元体上,14,优质课堂,15,优质课堂,主应力迹线（Stress Trajectories) 主应力方向线的包络线 曲线上每一点的切线 都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位,实线表示主拉应力迹线 虚线表示主压应力迹线,16,优质课堂,主应力迹线的画法,17,优质课堂,9.5 三向应力状态应力圆法,1、空间应力状态,18,优质课堂,2、三向应力分析,1）弹性理论证明，图 a 单元体内任意一点任意截面上 的应力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点,2）整个单元体内的最大剪应力为,19,优质课堂,例 求图示单元体的主

6、应力和最大剪应力（MPa,解： (1)由上图知 y z面为主 面之一,2）建立应力坐标 系，画应力圆,20,优质课堂,9.6 复杂应力状态下的单元体的变形 （广义郑玄 - 虎克定律,一、单拉下的本构关系,二、纯剪的本构关系,21,优质课堂,三、复杂状态下的本构关系,依叠加原理,得,22,优质课堂,主单元体本构关系,四、平面状态下的应力-应变关系,用 应力 表示 应变 的本构关系,23,优质课堂,三个弹性常数之间的关系,24,优质课堂,五、体积应变与应力分量间的关系,体积应变,代入本构关系，得到体积应变与应力分量间的关系,25,优质课堂,例 构件表面上某点的两个面内主应变为 1=24010-6

7、2= 16010-6， E=210GPa， =0.3， 求该点的 主应力及另一主应变,故为平面应力状态,26,优质课堂,27,优质课堂,例 为测量薄壁容器所承受的内压力，用电阻应变片 测得容器表面环向应变 t =350l06；容器平均直径 D = 500 mm，壁厚 =10 mm，E =210GPa， =0.25 求： 1.横截面和纵截面上的正应力表达式 2.内压力,28,优质课堂,1、轴向应力( Longitudinal stress,解：容器的环向和纵向应力表达式,容器截开后受力如图所示,据平衡方程,p,sm,sm,x,D,29,优质课堂,纵截面将容器截开后受力,2、环向应力(Hoop stress,3、内压（以应力应变关系求之,30,优质课堂,9.7 变形位能,为了剖析变形位能同体积变形和形状变形的关系，引入,为什么,因,是体积应变,按迭加原理得左图,交互项,应力迭加没有交互项，位能迭加有,31,优质课堂,因,故第3项 应力状态同 体积应变 无关，只与形状变化有关，称为 畸变（或偏斜）应力 相应地分成,体积应变 比能 ，畸变 比能（形状改变比能,32,优质课堂,体积应变