幂函数的图像性质和应用

1、.幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是：（，、，且）负分数指数幂的意义是：（，、，且）1、 幂函数的图像与性质幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法熟练掌握，当的图像和性质，列表如下从中可以归纳出以下结论： 它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限 时，幂函数图像过原点且在上是增函数 时，幂函数图像不过原点且在上是减函数 任何两个幂函数最多有三个公共点奇函数偶函数非奇非偶函数OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy幂函数基本性质（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）

2、0时，幂函数的图象都通过原点，并且在0，+上，是增函数（3）0时，幂函数的图象在区间（0，+）上是减函数.规律总结1在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2对于幂函数y，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即0，01和1三种情况下曲线的基本形状，还要注意0，1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即0（1）时图象是抛物线型；0时图象是双曲线型；1时图象是竖直抛物线型；01时图象是横卧抛物线型2、 幂函数的应用xOy例1、 幂函数（

3、、，且、互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有 （ ） 、为奇数且为偶数，为奇数，且为偶数，为奇数，且奇数，为偶数，且xOy例2、 右图为幂函数在第一象限的图像，则的大小关系是（ ） 解：取，由图像可知：，应选例3、 比较下列各组数的大小：（1），；（2），；（3），解：（1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题在上单调递增，且，（2）底数均为负数，可以将其转化为，在上单调递增，且，即，（3）先将指数统一，底数化成正数，在上单调递减，且，即：点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，

4、则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小例4、 若，求实数的取值范围分析：若，则有三种情况，或解：根据幂函数的性质，有三种可能：或或，解得：例3已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值解：幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，；，又函数图象关于原点对称，是奇数，或例4、设函数f（x）x3，（1）求它的反函数；（2）分别求出f1（x）f（x），f1（x）f（x），f1（x）f（x）的实数x的范围解析：（1）由yx3两边同时开三次方得x，f1（x）x（2）函数f（x）x3和f1（x）x的图象都经过点（0，0）和（1，1

5、）f1（x）f（x）时，x1及0；在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知f1（x）f（x）时，x1或0x1；f1（x）f（x）时，x1或1x0点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦例5、求函数y2x4（x32）值域解析：设tx，x32，t2，则yt22t4（t1）23当t1时，ymin3函数y2x4（x32）的值域为3，）点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法【同步练习】1. 下列函数中不是幂函数的是（ ）答案：2. 下列函数在上为减函数的是（ ）答案：3. 下列幂函数中定义域为的是（ ）答案：4函数y（x22x）的定义域是（）Ax|x0或x2

6、B（，0）（2，） C（，0）2，D（0，2）解析：函数可化为根式形式，即可得定义域答案：B5函数y（1x2）的值域是（）A0，B（0，1） C（0，1） D0，1解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t1x2，则y1x1，0t1，0y1答案：D6函数y的单调递减区间为（）A（，1）B（，0） C0，D（，）解析：函数y是偶函数，且在0，）上单调递增，由对称性可知选B答案：B7若aa，则a的取值范围是（）Aa1Ba0 C1a0 D1a0解析：运用指数函数的性质，选C答案：C8函数y的定义域是 。解析：由（152xx2）30152xx203x5答案：A9函数y在第二象限内单调递增，则m的最

7、大负整数是_解析：m的取值应该使函数为偶函数故m1答案：m110、讨论函数y的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图思路：函数y是幂函数（1）要使y有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R（2）xR，x20y0（3）f（x）f（x），函数y是偶函数；（4）n0，幂函数y在0，上单调递增由于幂函数y是偶函数，幂函数y在（，0）上单调递减（5）其图象如下图所示12已知函数y（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间解析：这是复合函数问题，利用换元法令t152xx2，则y，（1）由152xx20得函数的定义域为5，3，t16（x1）20，16函数的值域为0，2（2）函数的定义域为5，3且关于原点不对称，函数既不是奇函数也不是偶函数（3）函数的定义域为5，3，对称轴为x1，x5，1时，t随x的增大而