高考求曲线方程方略

1、高考求曲线方程方略襄阳三中 陈显宏 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一，是高考的一个热点，在历年高考中出现的频率很高，特别是当今高考的改革以考查学生的创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力、运算能力、分析问题解决问题的能力和创造性思维能力，而曲线方程这一热点，则能很好地反映学生的这些能力具体问题中，几何元素大都互相牵制，处于“连动”状态，学生常因变量多、运算繁、思维容量大而造成思路混乱，放弃探求因此，把握轨迹问题的实质，设计合理的探求途径，应用贴切的求解方法，对探求轨迹方程是至关重要的为此，本文结合近年高考真题对轨迹方程探求的类型及探求方法进行了深入的探讨，以帮助同学们摸清题型规律

2、，达到思路清晰，方法灵活，探求顺利的目的1轨迹形状已知或者可以判断而求方程1.1 待定系数法如果根据题目条件可以确定所求的轨迹是何种曲线，就可先设出其方程，然后利用已知条件，求出其系数，进而求出其轨迹方程常用求系数方法有：直接列方程或方程组求系数，利用韦达定理求系数，利用函数最值问题求系数等 例1 (2005年春季高考上海卷)求右焦点坐标是(2，0)，且经过点（2，）的椭圆的标准方程解析：曲线的形状已知，求标准方程，可用待定系数法设椭圆的标准方程为，由得椭圆的方程为，点（2，）在椭圆上，解得或（舍去），即椭圆的标准方程为1.2定义法 若平面内一动点的变化经分析满足某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、

3、抛物线等）的定义，则可直接根据曲线的定义确定曲线方程图1例2 (2005年高考山东卷)已知动圆过定点，且与直线相切，其中.求动圆圆心的轨迹的方程.解析：如图1，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为2轨迹形状未知，但几何条件已知而求方程2.1 直译法建立适当的坐标系后设动点坐标为，然后找到约束动点运动的最简几何等式，随后将动点满足的最简几何等式直接转化为关于的代数方程，只要化简整理，再补漏查缺，就可得到动点的轨迹方程图2例3 (2005年高考北京卷)如图2,直线0)与直线之

4、间的阴影区域(不含边界)记为,其左半部分记为,右半部分记为(1)分别有不等式组表示和(2)若区域中的动点到的距离之积等于,求点的轨迹的方程 解析：（1）W1=(x, y)| kxykx, x0，W2=(x, y)| kxy0；（2）直线l1：kxy0，直线l2：kxy0，由题意得 , 即，由P(x, y)W，知k2x2y20，所以 ，即所以动点P的轨迹C的方程为2.2 几何法建立适当的坐标系后设动点坐标为，有时约束动点的几何等式比较隐蔽，需要借助于平面几何的知识寻求或转化，随后将动点满足的最简几何等式直接转化为关于的代数方程，再化简整理，补漏查缺，就可得到动点的轨迹方程PMNO1O2Oyx图3

5、例4（2005年高考江苏卷）如图3，圆与圆的半径都是1，过动点P分别作圆、圆的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程解析：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O1（2，0），O2（2，0），由已知：,即，因为两圆的半径都为1,所以有：，设P（x，y）则， 即综上所述，所求轨迹方程为：（或）2.3 相关点法 BAyxO图4当动点P的运动是由另一点P(P称为P的相关点）的运动引起的，而相关点P的运动规律是已知或可求的若能用P点的坐标表示P的坐标，再按P的运动规律（方程），就可以得到动点P的轨迹方程 例5 （200

6、5年高考广东卷）在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（如图所示）求得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程解析：设AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 （1）OAOB ,即，(2)，又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得所以重心为G的轨迹方程为评注：若不便用P点的坐标表示P的坐标或涉及到的相关动点超过两个，可以引入多个未知数，只要列出比未知数个数少1个的独立方程组成的多变量方程组，理论上总可以通过消元来实现轨迹方程的探求看下例：例6（2004年高考辽宁卷）设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线L交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满

7、足，点N的坐标为.当L绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程 解析：这里动点众多，可以根据已知条件逐一翻译为关于这些动点坐标的多元方程组，再通过消元获得动点P的轨迹方程设点P的坐标为，由、在椭圆上，得.（1）；.（2）；由知P为AB中点，得.(3)；.(4)；又点A、B、M、P四点共线，得.(5)（1）（5）式构成一个多元方程组，消元获得关于x的方程即可（1）（2）得，即.当时，有.（6）；将（3）、（4）、（5）代入（6）并整理得.(7)当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，2），这时点P的坐标为（0，0）也满足（7），所以点P的轨迹方程为2.4参数法若利用已知条件直接建立动点(x,y)的关系式

8、比较困难，又不符合利用相关点法的条件，可以看动点运动时是否受到了另一个变量的制约（如坐标、斜率、角、距离等），可以取这样的变量为参数，使动点的坐标和参数建立起关系式，然后消去参数，但一定要注意参数的取值范围制约着曲线的范围例7 （2005年高考江西卷）如图5，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB. （1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且EMF=90，求EMF的重心G的轨迹方程.图5解析：（1）设，直线ME的斜率为，则直线MF的斜率为-K， 直线ME的方程为，由，消得，解得，.同理可得, .(定值).所以直线EF的斜率为定值

9、.(2) 当EMF=90时, MAB=45，所以, 直线ME的方程为: ,由 得 .同理可 设重心 则有，消去参数 得.2.5 交轨法对于求两动曲线交点的轨迹方程，常可考虑交轨法，即选择一个适当的参数，先求出两动曲线的方程，再解出动点坐标含参数的等式，消去参数，即得所求动点轨迹的方程yxOB图6MA例8（2000年春季高考北京卷）如图6，设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知 求点M的轨迹方程解析：由题意知，M是直线AB与直线OM的交点 设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为 ，由，得 或 ， A点坐标为 ；同理由方程组 ，得B点坐标为（4pk2，4pk），则直线AB的斜率为 ，

10、直线AB的方程为 ，即, 直线OM的斜率为，直线OM的方程为, 由消去参数k , 得 动点M的轨迹方程为（此题解法较多，此法尤为直接和简洁）2.6向量法 若条件中出现了点共线、两直线平行、两直线垂直、两直线夹角、两线段相等，可考虑使用两向量的相等、平行、垂直的充要条件及两向量的夹角等知识求出动点的轨迹方程图7例9（2005年高考辽宁卷）已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（1）设为点P的横坐标，证明；（2）求点T的轨迹C的方程解析：（1）证：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以 ；（2）解法一：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是 解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则，因此 ，由得 ，将代入，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是评注：向