（典型题）2014高考数学二轮复习知识点总结平面向量

1、平面向量从近几年高考来看，平面向量有以下几个考查特点：1.向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；试题以选择、填空形式出现，难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等1 平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线l的斜率为k，则a(1，k)是直线l的一个方向向量(5)向量的投

2、影：|b|cosa，b叫做向量b在向量a方向上的投影2 平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底3 平面向量的两个充要条件若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.4 平面向量的三个性质(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)若a(x1，y1)，b

3、(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .考点一平面向量的概念及线性运算例1(1)(2013江苏)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_(2)ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，0且|，则向量在上的投影为 ()A. B3 C D3答案(1)(2)A解析(1)如图，()，则1，2，12.(2)由0，得.又O为ABC外接圆的圆心，OBOC，四边形ABOC为菱形，AOBC.由|2，知AOC为等边三角形故在上的投影为|cosACB2cos . (1)在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算就类似于代数中合并同类项的运算；有

4、的问题采用坐标化解决更简单(2)运用向量加减法解决几何问题时，要善于发现或构造三角形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合 (1)已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m的值为()A2 B3 C4 D5(2)如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若(，R)，则的值为_答案(1)B(2)6解析(1)0，点M是ABC的重心3，m3.(2)方法一如图，11，|1|2，|1|4，42.6.方法二由，两边同乘，得20，4.4，两边同乘，得4，即34().2.6.方法三以O为原点，OA为x轴建立直角坐

5、标系，则A(1,0)，C(2cos 30，2sin 30)，B(cos 120，sin 120)即A(1,0)，C(3，)，B(，)由得，.6.考点二平面向量的数量积例2(1)(2012江苏)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_(2)若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B1C. D2答案(1)(2)B解析(1)方法一坐标法以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)故(，0)，(x,2)，(，1)，(x，2)，(，0)

6、(x,2)x.又，x1.(1，2)(，1)(1，2)22.方法二用，表示，是关键设x，则(x1).()(x)x22x，又，2x，x.()2224.(2)方法一由题意知a2b2c21，又ab0，(ac)(bc)abacbcc20，acbcc21，|abc|2a2b2c22ab2ac2bc32(acbc)1，|abc|1.方法二设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，则x2y21，ac(1x，y)，bc(x,1y)，则(ac)(bc)(1x)(x)(y)(1y)x2y2xy1xy0，即xy1.又abc(1x,1y)，|abc|1. (1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：直接利用数

7、量积的定义；建立坐标系，通过坐标运算求解(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方(1)(2013山东)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若A，且，则实数的值为_(2)(2013重庆)在平面上，|1，.若|，则|的取值范围是()A. B.C. D.答案(1)(2)D解析(1)由知0，即()()(1)A22(1)32940，解得.(2)，()()20，2.，.|1，21122()222(2)22，|，0|2，022，22，即|.考点三平面向量与三角函数的综合应用例3已知向量a(cos ，sin )，b

8、(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0x.(1)若，求函数f(x)bc的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为，且ac，求tan 2的值 (1)应用向量的数量积公式可得f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x值(2)由夹角公式及ac可得关于角的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin

9、xcos x)令tsin xcos x，则2sin xcos xt21，且1t.则yt2t12，1t，t时，ymin，此时sin xcos x，即sin，x，x，x，x.函数f(x)的最小值为，相应x的值为.(2)a与b的夹角为，cos cos cos xsin sin xcos(x)0x，0x，x.ac，cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0，sin(x)2sin 20，即sin2sin 20.sin 2cos 20，tan 2. 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用

10、向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题已知向量a，b(cos x，1)(1)当ab时，求cos2xsin 2x的值；(2)设函数f(x)2(ab)b，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b2，sin B，求f(x)4cos(2A)(x0，)的取值范围解(1)ab，cos xsin x0，tan x.cos2xsin 2x.(2)f(x)2(ab)bsin，由正弦定理，可得sin A，A.f(x)4cossin，

11、x0，2x，1f(x)4cos(2A).1 当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量 (其中O为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量2 根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直3 两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线4 平面向量的综合运用主要体现在

12、三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.1 已知两点A(1,0)，B(1，)，O为坐标原点，点C在第二象限，且AOC120，设2(R)，则等于()A1 B2 C1 D2答案C解析根据AOC120，可知点C在射线yx(x0)上，设C(a，a)，则有(a，a)(2,0)(，)(2，)，即得a2，a，消去a，得1.2 函数ytan(x)(0x4)的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B、C

13、两点，则()_.答案8解析A点坐标为(2,0)，即(2,0)，由ytan(x)的图象的对称性知A是BC的中点2，()22|28.3 在ABC中，向量m(2cos B,1)，向量n(1sin B，1sin 2B)，且满足|mn|mn|.(1)求角B的大小；(2)求sin Asin C的取值范围解(1)由|mn|mn|，可知mnmn0.然而m(2cos B,1)，n(1sin B，1sin 2B)，所以有mn2cos Bsin 2B1sin 2B2cos B10，得cos B，从而B60.(2)sin Asin Csin Asin(120A)sin Acos Asin(A30)又0A120，则30

14、A30150，sin(A30)1.所以sin Asin C，即sin Asin C的取值范围是(，一、选择题1 下列命题中正确的是()A若ab0，则0B若ab0，则abC若ab，则a在b上的投影为|a|D若ab，则ab(ab)2答案D解析根据平面向量基本定理，必须在a，b不共线的情况下，若ab0，则0；选项B显然错误；若ab，则a在b上的投影为|a|或|a|，平行时分两向量所成的角为0和180两种；abab0，(ab)20.2 (2012四川)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|答案C解析利用向量的相等与共线知识解决表示与a同向

15、的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有，观察选择项易知C满足题意3 (2013湖北)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为 ()A. B.C. D答案A解析(2,1)，(5,5)，在方向上的投影为.4 (2013福建)在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为()A. B2 C5 D10答案C解析0，ACBD.四边形ABCD的面积S|25.5 (2013湖南)已知a，b是单位向量，ab0，若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是 ()A1，1 B1，2C1，1 D1，2答案A解析ab0，且a，b是单位向量

16、，|a|b|1.又|cab|2c22c(ab)2aba2b21，2c(ab)c21.|a|b|1且ab0，|ab|，c212|c|cos (是c与ab的夹角)又1cos 1，0c212|c|，c22|c|10，1|c|1.6 若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53，则ABM与ABC的面积比为()A. B. C. D.答案C解析设AB的中点为D，由53，得3322，即32.如图所示，故C，M，D三点共线，且，也就是ABM与ABC对于边AB的两高之比为35，则ABM与ABC的面积比为.二、填空题7 (2013安徽)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_答案解析由已

17、知条件得a2(a2b)2，即ab|b|2，cosa，b.8 (2013北京)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_.答案4解析以向量a和b的交点为原点建直角坐标系，则a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)，根据cab(1，3)(1,1)(6,2)有61，23，解之得2且，故4.9 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动若xy，其中x、yR，则xy的最大值是_答案解析设AOC，则COB90，cos sin ，即.xycos sin sin.10在ABC中，AB2，AC3，1，则BC_.答案解析1，且AB2，1|co

18、s(B)，|cos B1.在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcos B，即94BC22(1)BC.三、解答题11(2013江苏)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值(1)证明由|ab|，即(cos cos )2(sin sin )22，整理得cos cos sin sin 0，即ab0，因此ab.(2)解由已知条件，又0，cos cos cos()，则，sin sin()1，sin ，或，当时，(舍去)当时，.12(2012湖北)已知向量a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x，2cos x)，设函数f(x)ab(xR)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围解(1)因为f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin.由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin1，所以2k(kZ)，即(kZ)又，kZ，所以k1，故.故T.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的图象过点，得f0，即2sin2sin